1、2020-2021学年河南省上学期高中毕业班阶段性测试（一）数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先求解二次不等式化简集合，然后计算.【详解】或，则.故选：C.【点睛】本题考查集合的表示与运算，考查二次不等式的解法，较简单.2复数满足，则的虚部是（ ）ABCD-1【答案】D【解析】由可知，然后化简判断的虚部.【详解】由已知得，所以的虚部为-1. 故选：D.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属于简单题.3已知平面向量，的夹角为，且，则（ ）A1BC3D2【答案】A【解析】把平方，再解方程，即可得出答案.【详解】，所以，解得（负值舍去）.故选：A .【点睛】本题考查
2、平面向量的数量积运算.4已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的性质，结合中间值1和2比较大小【详解】，.故选：D【点睛】本题考查指数、对数函数的性质以及不等式的性质，对不同类型的数比较大小时，可借助中间值比较5设等差数列的前项和为，若，则（ ）A7B14C24D48【答案】B【解析】利用等差数列的通项公式：以及求和公式：即可求解.【详解】由题设，得，.故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，需熟记公式，属于基础题.6若，满足约束条件，则的最小值为（ ）A-3B-1C0D2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最
3、优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得，由目标函数得，可知当直线经过点时，其纵截距最大，最小，最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7九章算术商功中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”其中“解”
4、字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体，随机在线段上取一点，过该点作垂直于的平面，则平面“解”正方体所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图所示，由正方体的性质可知，垂直于平面和平面，设和分别是平面和平面与线段的交点， 当平面取平面或平面时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，即可得答案；【详解】如图所示，由正方体的性质可知，垂直于平面和平面，设和分别是平面和平面与线段的交点， ，当平面取平面或平面时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，要满足条件，应在线段或上取点，而，所以所求的概率为.故选：D.【点睛】本题考查正方体截面的性质与几何概
5、型的交会，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8的图象大致为（ ）ABCD【答案】C【解析】先利用奇函数排除B,再利用在上的单调性即可选出C.【详解】因为且满足，所以为奇函数，排除B，时，所以在上单调递增，符合的只有C.故选：C【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，函数的奇偶性，利用函数的导数研究函数的单调性，属于中档题.9执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于（ ）ABCD【答案】C【解析】利用程序框图，写出结束循环时，然后利用等比数列求和即可.【详解】由程序框图可知，结束循环时，.故选：C【点睛】本题考查了求出程序框图的运行结果、等比数列的求和公式，属
6、于基础题.10已知向量，则函数在上的所有零点之和为（ ）ABCD【答案】A【解析】应用向量数量积的坐标表示，结合两角和差公式化简函数式，在上求所得函数的零点，进而求零点之和.【详解】，令，则，则有，或，解得或.故选：A【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示及运算，应用三角恒等变换以及三角函数的性质求零点之和.11已知数列满足，则的前30项之和为（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得到，从而是等比数列，求得通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求解【详解】因为，所以，所以是公比为2的等比数列，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查递推数列以及等比数列的求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.1
7、2已知双曲线：的左、右焦点分别为，离心率为2，且经过点，点在上，则点到轴的距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】先利用离心率和已知点求出双曲线方程，再利用余弦定理和双曲线的定义，即可得出结论.【详解】由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，将点代入双曲线方程得,根据对称性，不妨设点在第一象限，到轴的距离为，由余弦定理得，所以，由三角形面积公式可得，得.故选：B.【点晴】本题考双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，焦点三角形的处理方法，属于较易题.二、填空题13下表是，之间的一组数据：0123457819且关于的回归方程为，则表中的_.【答案】11【解析】根据回归直线经过样本中心点求解.【详
8、解】回归直线经过样本中心点，解得.故答案为：C【点睛】本题主要考查回归方程的概念与性质，属于基础题.14已知直线与曲线相切，则_.【答案】【解析】设切点坐标为，然后利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，利用待定系数法求解的值即可.【详解】设直线与曲线的切点坐标为，则在点处的切线方程为，则，且，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查曲线在某一点处的切线方程，属于简单题.15已知抛物线的焦点为，为抛物线上位于轴上方的一点，点到抛物线准线的距离为，为坐标原点，若的面积为，则_.【答案】【解析】由抛物线，求得焦点坐标和准线方程，然后再利用，求得点p的坐标求解.【详解】因为抛物线，所以，准线方程为，
9、所以，代入抛物线方程中可得，则，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线方程与性质，抛物线与直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16已知，是球表面上的三点，是球面上的动点.三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为_.【答案】【解析】设的中点为，则点为外接圆圆心，可知当，三点共线且面和位于点的异侧时，三棱锥的体积最大，即可根据体积求出，进而建立勾股定理求出球半径，得出表面积.【详解】如图，为等腰直角三角形，设的中点为，则点为外接圆圆心，当，三点共线且面和位于点的异侧时，三棱锥的体积最大，则，解得.设球的半径为，则，所以，解得，所以球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查几何体的
10、外接球问题，属于基础题.三、解答题17在中，内角，的对边分别为，已知.（）求；（）若，求的面积.【答案】（）；（）.【解析】（）根据正弦定理的边角互化可得，再利用辅助角公式即可求解.（）利用正弦定理的边角互化可得，再利用余弦定理求出，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（）根据条件及正弦定理可得，所以，整理得，因为，所以.（）由及正弦定理得，由余弦定理得，将，代入可得，解得，所以.所以.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，需熟记定理内容，属于基础题.18某歌唱比赛中甲、乙两位歌手争夺最后的冠军，两人演唱结束后，从普通观众中任选人为大众评审，他们对两人的评分（分数越高表明评价越高）的茎叶图
11、如图.（）分别求大众评审对甲、乙两位歌手评分的中位数；（）分别估计普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于分的概率；（）根据茎叶图，从集中趋势和离散程度两方面分析普通观众对甲、乙两位歌手的评价.【答案】（）大众评审对甲、乙歌手评分的中位数分别为、；（）普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于分的概率的估计值分别为、；（）答案见解析.【解析】（）将大众评审对甲、乙两位歌手评分由小到大进行排列，利用中位数的定义可求得结果；（）根据茎叶图可计算出大众评审对甲、乙两位歌手的评分高于分的频率，进而可得出结果；（）根据大众评审对甲、乙歌手的评分的中位数，并根据茎叶图中大众评审对甲、乙两位歌手评分数据的离散程度可得出结
12、论.【详解】（）由茎叶图知，位大众评审对甲歌手的评分从小到大排序，排在第、位的是、，故中位数是.位大众评审对乙歌手的评分从小到大排序，排在第、位的是、，故中位数是；（）由茎叶图知，大众评审对甲、乙两位歌手的评分高于分的频率分别为、.故普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于分的概率的估计值分别为、.（）由茎叶图知，大众评审对甲歌手的评分的中位数高于乙歌手的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出，对甲歌手的评分的离散程度要低于对乙歌手的离散程度，说明对甲歌手的评分的方差要低于对乙歌手的方差，说明普通观众对甲歌手的评价较高，评价较为一致，对乙歌手的评价较低、评价差异较大.【点睛】本题考查茎叶图的理解，用
13、样本估计总体的思想，考查数据分析的能力，属于基础题.19如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，.（）证明：；（）若与平面所成角的大小为，求点到平面的距离.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（1）由题目条件易证，然后可证明平面，得出；（2）由（）可知平面，所以与平面所成的角即，则可计算出四棱锥的各棱长，然后利用等体积法求解点到平面的距离.【详解】解：（）因为，所以，因为平面平面，交线为，所以平面，于是.在等腰直角三角形中，所以，又因为，所以平面，所以.（）由（）知平面，所以与平面所成的角即，结合已知可得，.可得是以为斜边的直角三角形.设点到平面的距离为，则.又因为，所以，.【点睛】本
14、题考查空间利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查线面角的概念，考查利用等体积法计算点到面距离，难度一般.20已知椭圆:,直线:过的右焦点.当时,椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍.()求椭圆的方程.()设直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在定点,使得当变化时,总有(为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】();()在轴上存在点满足题设条件.【解析】()利用已知条件,建立方程组,即可解出,.()当时, 显然存在, 当时,联立方程,利用韦达定理,即可解出.【详解】()设椭圆的焦距为,直线恒过定点,所以.当时,直线:,椭圆的下顶点到直线的距离,由题意得,解得,.所以椭圆的方程
15、为.()当时,显然在轴上存在点,使得.当时,由消去可得.设,则,.设点满足题设条件,易知,的斜率存在,则,则,即,时,上式恒成立.所以在轴上存在点满足题设条件.【点睛】本题考查直线、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系.21已知函数，.（）函数，分析在上的单调性.（）若函数.（i）当时，求的最小值；（ii）当时，求零点的个数.【答案】（）在上单调递减；（）（i）；（ii）有且只有一个零点.【解析】（）求出，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.（）求出，（i）判断的符号得到函数的单调区间，根据函数的单调性即可求出最值；（ii）利用导数判断函数在上单调递减，再利用零点存在性定理即可求解.【详解】
16、（），则，当时，所以，所以在上单调递减.（），则.（i），当时，所以，在上单调递增，所以的最小值为.（ii）.因为时，所以，函数在上单调递减，又，因此，函数在上有且只有一个零点.【点睛】本题考查导数的运算法则，及导数在研究函数单调性、最值以及函数零点中的应用，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（）求圆的圆心的直角坐标和半径；（）已知直线交圆于，两点，点，求.【答案】（）直角坐标为，半径为1；（）.【解析】（）将，代入求解.（）易知当时，由直线的参数方程得，即点在上，然后将的
17、参数方程改写标准参数方程（为参数）代入圆的方程,利用参数的几何意义求解.【详解】（）因为，所以圆的直角坐标方程为，即，所以圆的圆心的直角坐标为，半径为1.（）当时，由直线的参数方程得，所以点在上，将的参数方程改写为（为参数）.代入圆的方程，整理得，由参数的几何意义得.【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标系，直线参数方程中参数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23已知集合.（）若存在使不等式成立，求的取值范围；（）取为（）所求范围中的最小正整数，解不等式.【答案】（）；（）.【解析】（）设,存在使不等式成立，等价于求出时的取值范围，再求补集即可；（）分三种情况讨论，去绝对值符号、解不等式组、再求并集即可.【详解】（）设，因为或，存在使不等式成立，等价于，当即时，故所求的的取值范围是.（）由题意知.当时，原不等式转化为，无解；当时，原不等式转化为，解得；当时，原不等式转化为，解得.综上，不等式的解集为.【点睛】本题主要考查分类讨论解绝对值不等式，考查了集合交集的定义，同时考查了计算能力，属于中档题.
