1、2021届百师联盟高三上学期新高考一轮复习联考（一）数学试题一、单选题1已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】本题先化简出，再求即可.【详解】解：因为，所以又因为，所以故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的并集运算，是基础题2设，其中，是虚数单位，则在复平面内对应的点在（ ）A第一象限或轴B第二象限或轴C第三象限或轴D第四象限或轴【答案】D【解析】本题先表示出复数在复平面对应的点，再判断实部为，虚部为，最后判断对应的点所在位置即可.【详解】解：因为，所以实部为，虚部为，所以在复平面内对应的点在第四象限或轴上，故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义即复数在复平面内对应
2、的点在第几象限或哪条轴上，是基础题.3命题：“，”的否定形式为（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“，”的否定形式为：，故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.4棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为ABCD【答案】A【解析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，该球面的半径，该球面的表面积为故选A【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知
3、识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题5将不超过实数的最大整数记为，设函数，则（ ）A4B2C1D0【答案】B【解析】先求出，再求出，最后求即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查求分段函数的函数值，是基础题.6已知向量，若，则、可以是（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】根据可得.【详解】因为，所以，即，故选：A.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题.7已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ）ABCD【答案】D【解析】利用函数的奇偶性，以及利用特殊值，即可判断函数的解析式【详解
4、】由图象知，该函数为偶函数，排除B选项；当时，而，排除A、C选项，故选D.故答案选：D【点睛】本题考查根据图像求函数解析式问题，属于基础题8若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】作出函数简图，设函数的最小正周期为，则且，解出不等式可得的取值范围【详解】如图作出简图，由题意知，设函数的最小正周期为，因为，则，结合有且，解得，故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力二、多选题9等差数列的首项，设其前项和为，且，则（ ）ABCD的最大值是或者【答案】BD【解析】由，即，进
5、而可得答案【详解】解：，因为所以，最大，故选：【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题10已知，且，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】ABD【解析】A、B、D选项可直接利用基本不等式判断是否正确，C选项可通过基本不等式进行计算并判断出是否正确.【详解】A因为，所以，所以，取等号时，故正确；B因为，取等号时，故正确；C因为，取等号时，故错误；D因为，所以，取等号时，故正确.故选：ABD.【点睛】本题考查基本不等式链的简单运用，难度一般.当时，当且仅当时取等号.11材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”
6、给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（ ）A无极小值B有极小值C无极大值D有极大值【答案】AD【解析】将函数的解析式变形为，利用复合函数的求导法则可求得，利用导数可求得函数的极值，由此可得出结论.【详解】根据材料知：，所以，令得，当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以有极大值且为，无极小值.故选：AD.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了复合函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于
7、中等题.12已知函且，则（ ）A为偶函数B在单调递增CD【答案】ABC【解析】对于利用函数奇偶性的定义即可判断；对于先去绝对值再求导即可判断单调性，对于和，先构造函数，即可根据该函数的单调性比较的大小关系，再利用的单调性即可判断.【详解】对于：因为，所以函数为偶函数，故选项正确；对于：当时，此时单调递增；故选项正确；对于和：令，则，则在单调递增，在单调递减，因为，所以，由函数的单调性有：.即，故选项正确，选项不正确故选：【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性和单调性，以及利用单调性比较函数值的大小关系，属于中档题.三、填空题13已知向量、，满足，且，则_.【答案】【解析】利用平面向量数量积的运
8、算性质可求得的值.【详解】由平面向量数量积的运算性质可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算性质计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于基础题.14已知函数，则在曲线的所有切线中，斜率的最大值为_.【答案】【解析】转化为求导函数的最大值即可得解.【详解】因为，所以，因为当时取得最大值为，所以根据导数的几何意义可知，曲线的切线中斜率的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.15设函数，若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】作出函数的图象，设，设关于有两个不同的实数根、，可得知、，进而可知关于的二次方程在区间内有两个不
9、等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】作出函数的简图如图，令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，则方程有两个不同的实数根、，且由图知、，设，则有，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于难题.四、双空题16函数的部分图象如图所示，则函数的解析式_；将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则_.【答案】 1 【解析】由图象可得函数的最小正周期，进而得出的解析式；利用平移求出函数，代值计算可得答案【详解】设函数的最小正周期为，由图知，解得
10、，所以，因为函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则，因为，所以.故答案为：；1.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查周期的求法，考查图象的平移，属于中档题五、解答题17已知顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角的终边.（1）求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由点坐标可得和，利用二倍角公式代入计算可得答案；（2），利用两角和与差的正弦公式集合正弦函数的有界性可得的取值范围【详解】（1）由题意得，所以.（2），化简得，因为，所以，.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性
11、质，属于中档题18在，的面积，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）在中，角、所对的边分别为、，且角为锐角，（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】选，利用余弦定理求解即可；选，利用正弦定理直接求解即可；选，利用正弦定理直接求解即可利用正弦定理，得到，然后，由（1）可求出，最后利用三角恒等变换，化简得：，再根据角的范围，即可求出的取值范围【详解】（1）选由，得由正弦定理，得.所以因为，所以.选，则，.，所以.选，则.，所以，又，所以.（2），化简得：.因为，所以，即.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理以及三
12、角函数两角和公式的运用，主要考查学生的运算能力，属于基础题19已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，.（1）若函数的图象过点，求的解析式；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点在函数的图象上，利用点关于直线的对称点在函数的图象上，可得，再根据可得；（2）转化为，即在上恒成立，求出在上的最大值可得解.【详解】（1）设点在函数的图象上，则点关于直线的对称点在函数的图象上，即有，化简得，所以，因为函数的图象过点，所以，解得，所以.（2），（），若函数在上单调递增，则在上恒成立.所以，所以的取值范围为.【点睛】本题考查了根据对称性求解析式，考查了利用导数研
13、究函数的单调性，考查了等价转化思想，属于中档题.20已知函数的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设函数的最小正周期为，根据可求出，根据可求出；（2）根据周期变换得到，然后求出在上的最小值，将不等式有解化为，再解关于的一元二次不等式可得解.【详解】（1）由题意得的最大值为2，最小值为，设函数的最小正周期为，则，解得，所以，因为的图象过点，所以，即，因为，所以，.（2）因为将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵
14、坐标不变）得到函数的图象，所以，当时，则，因为不等式在上有解，即有，解得，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了根据三角函数的图象求解析式，考查了由图象变换求解析式，考查了不等式有解问题，属于中档题.212020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力，近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”.某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的万元赞助费后，商品的销售量将增加到万件，为气象相关系
15、数，若该销售商出售万件商品还需成本费万元.（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润万元与平台投人的赞助费万元的关系式；（注：总利润赞助费出售商品利润）（2）若对任意万元，当满足什么条件时，该销售商才能不亏损？【答案】（1），；（2）满足时，该销售商才能不亏损.【解析】（1）根据 “总利润赞助费出售商品利润”写出函数解析式并化简，注意函数定义域；（2）不亏损的含义为，由此列出不等式，采用分离参数的方法得到满足的的不等式并利用对勾函数的单调性求解出的取值范围.【详解】（1）由题意得，.（2）要使对任意（万元）时，该销售商才能不亏损，即有，变形得在上恒成立，而，由对勾函数的性质易知，函数在单调递减，
16、在单调递增，（注：求导确定单调性也可），因为，所以有，解得，即当满足时，该销售商才能不亏损.【点睛】本题考查函数的实际应用，对学生根据实际问题构建函数并进行分析求解的能力要求较高，难度一般.（1）实际问题的函数要注意函数的定义域；（2）实际问题的函数求解最值的常见方法：基本不等式、函数单调性、导数.22已知函数，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）记，求证：对任意，恒成立.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）先求解，根据与的关系分析出的单调性，从而求解出单调区间；（2）考虑将定义域分为两段：和，在上证明可转化为证明恒成立，在上证明可考虑直接求导分析单调性并完成证明.【详解】（1）因为，所以，令得，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数的递增区间为，递减区间为.（2），当时，令，此时，所以，在单调递增，所以恒成立，即恒成立；当时，令，所以，故在单调递减，所以，即，所以在单调递减，所以.综上：对任意，恒成立.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性以及用导数证明不等式，其中还涉及到分类讨论的思想，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.证明不等式的问题，可转化为分析函数的最值与的关系，也可以转化为两个函数之间的不等关系.
