1、一、选择题1已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（ ）ABCD2已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）ABCD3在中，的平分线交于.若，则长度的最大值为（ ）AB2C3D4设，且，则（ ）ABCD5在中，分别为内角，所对的边，且，若点是外一点，.则平面四边形的面积的最大值是（ ）ABC3D6在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD7已知中，则ABC一定是A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形8已知点为的外心，且，则的形状是（ ）A直角三角形B等边三角形C直角三角形或等边三角形D钝角三角形9已知
2、数列中，设数列的前项和为，则满足)的的最大值为（ ）ABCD10两个公比均不为的等比数列，其前项的乘积分别为，若，则()A512B32C8D211已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）A5B6C7D812已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前项和为（ ）ABCD二、填空题13已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数的值为_14满足关于x的不等式的解集为，则满足条件的一组有序实数对的值可以是_15在中，角、的对边分别为、，则的面积是_.16已知锐角三角形的边长分别为1，3，则的取值范围是_17在中，角，所对的边分别
3、为，若，则面积的最大值是_18已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为1，则的最小值为_19已知数列的通项公式为，若不等式对任意恒成立，则整数的最大值为_.20已知下列结论：若数列的前n项和，则数列一定为等差数列.若数列的前n项和，则数列一定为等比数列.非零实数不全相等，若成等差数列，则可能构成等差数列.非零实数不全相等，若成等比数列，则一定构成等比数列.则其中正确的结论是_.三、解答题21已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求关于的方程的解；（2）若，且在上有两个零点，求实数的取值范围.22新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴
4、，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.23已知的内角，的对边分别为，且（1）求；（2）若，的面积为，求的周长24如图，在中，点在上，且（1）求；（2）若，求的面积25已知是等差数列，是递增的等比数列且前和为，_
5、.在成 等差数列，(为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.26己知数列中，点，在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，Sn为数列的前n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据可得出，利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】正项等比数列中，所以.因为，所以.因为，当且仅当，即时取等号，因为、，所以，所以
6、的最小值为5.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.2C解析：C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点取得最大值，在点取得最小值.由图可知，当时，当时，故取值范围是.考点：线性规划.3A解析：A【分析】根据题意，设由三角形面积公式可表示出三者之间的关系，进而得边长关系为最后通过基本不等式求得的最大值。【详解】根据题意，如图所示：平分,设则, ,即 ,当且仅当时等号成立， 所以长度的最大值为 故选：A【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，通过面积之间的关系得到边长的关系，最终利用基本不等式求得最值。4D解析：D【分析
7、】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立.【详解】A选项，当 时，由不能得到，故不正确；B选项，当，（如，）时，由不能得到，故不正确；C选项，由及可知当时（如，或，）均不能得到，故不正确；D选项，因为不同时为，所以，所以可由知，即，故正确.故选：D【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.5A解析：A【分析】由条件整理可得是等边三角形，利用可化简得，即可求出最值.【详解】在中，即，是等边三角形，则当，即时，取得最大值1，故四边形OACB面积的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理，考查三角恒等变换
8、的应用，解题的关键是利用三角形面积公式结合三角恒等变换化简得.6A解析：A【分析】取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案【详解】如下图所示，取的中点，连接、，由于、分别为、的中点，则，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3
9、）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角7B解析：B【解析】试题分析：由和正弦定理得，即因，故不可能为直角，故再由，故选B考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式三角形中的问题，要特别注意角的范围8B解析：B【分析】取、的中点、，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得，再利用余弦定理得，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出，即证.【详解】取、的中点、，则，同理，所以，又，由余弦定理，得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以，即，因为，所以，解得，所以， 所以是等边三
10、角形.故选：B【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.9C解析：C【分析】利用累加法可求得数列的通项公式，利用裂项求和法可求得，然后解不等式即可得解.【详解】因为，所以，,，所以，由，化简得，解得，所以，满足的的最大值为.故选：C.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.10A解析：A【分析】直接利用等比数列的性质化简,再代入即得
11、解.【详解】由题得.故答案为A.【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.11C解析：C【分析】首先分析题目已知3an+1+an=4（nN*）且a1=9，其前n项和为Sn，求满足不等式|Snn6|的最小整数n故可以考虑把等式3an+1+an=4变形得到，然后根据数列bn=an1为等比数列，求出Sn代入绝对值不等式求解即可得到答案【详解】对3an+1+an=4 变形得：3（an+11）=（an1）即：故可以分析得到数列bn=an1为首项为8公比为的等比数列所以bn=an1=8 an=8+1所
12、以 |Snn6|= 解得最小的正整数n=7故选C【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列an1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目12A解析：A【分析】由题意可知，直线与直线垂直，且直线过圆心，可求得和的值，然后利用等差数列的求和公式求得，利用裂项法可求得数列的前项和.【详解】由于直线与圆的两个交点关于直线对称，则直线与直线垂直，直线的斜率为，则，可得，且直线过圆的圆心，则，可得，则，因此，数列的前项和为.故选：A.【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，
13、考查计算能力，属于中等题.二、填空题1323【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值解析：23【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出取最大值的点，即可建立关系求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线在轴上的截距为，则由图可知，即，将化为，观察图形可知，当直线经过点时，取得最大值，由解得，故，解得.故答案为：23.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）可看作是可行域内的点到点的斜率；（2），可看作直线的截距问
14、题；（3）可看作可行域内的点到点的距离的平方.14【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等解析：【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出，写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为，方程的实数根为和2，且，即，则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题15【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得
15、因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理解析：【分析】利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】由余弦定理可得，可得，则，解得，因此，的面积是.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等
16、变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.16【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析：【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足，解得，实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的
17、范围17【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】可得由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思解析：【分析】先根据余弦定理求出，结合平方关系求得，利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值.【详解】，可得，由，可得，即，则的面积，当且仅当时，即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养.18【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-
18、1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线的斜率为，由可得，因为直线的斜率为-1，所以当直线过点时，取得最小值1可得，利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部，如图由 可得点当直线过点时，取得最小值1所以所以当且仅当 即时，上式取“=”号 所以的最小值为18.点睛： 线性规划问题应先画出平面区域，求的最值时，当时，直线越向上平移，取值越大；当时，直线越向上平移，取值越小； 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小若为常数，则，然后利用基本不
19、等式求最值即可194【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：不等式等价于记时即时数列单调递减又即整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立，再求数列的最大值即可得答案.【详解】解：，不等式等价于，记，时，即时数列单调递减，又 ， ，即，整数的最大值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.20【分析】先求出再当时求出判断当时有判断错误；先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断正确；先建立方程组再整理得与非零实数不全相
20、等矛盾判断错误；先得方程整理得判断解析：【分析】先求出，再当时求出，判断当时有，判断错误；先求出，再当时求出，判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列，判断正确；先建立方程组，再整理得与非零实数不全相等矛盾，判断错误；先得方程，整理得，判断正确.【详解】：数列的前n项和，当时，当时，当时，故错误；：数列的前n项和，当时，当时，当时，且 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故正确；：若是等差数列，则，因为成等差数列，则，则，整理得，与非零实数不全相等矛盾，故错误；：因为非零实数不全相等，且成等比数列，所以，则，则一定构成等比数列.故正确.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判
21、断，是基础题.三、解答题21（1）；（2）.【分析】（1）利用韦达定理求出，代入中可得，从而解得不等式.（2）由可得关于对称，求出值.再利用根的分布知识结合二次函数图象求解的取值范围.【详解】解:（1）因为不等式的解集为，所以和是方程的两解，所以即所以，因为，所以，故因为，所以的图像关于直线对称，所以，得故有因为在有两个零点，所以即解得.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析22（1），；（2）；（3）【分析】（1）根据已知条件列
22、出关系式，即可得出答案；（2）由，进而结合基本不等式求出的最小值，此时取得最大值，从而可求出答案；（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，可知在上恒成立，利用参变分离，可得，求出的最大值，令，即可得出答案.【详解】（1）由题意，即，.（2），因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，不等式整理得，令，则，则，由函数在上单调递增，可得，所以，即.所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查
23、不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.23（1）；（2）6【分析】（1）根据，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到，又，由求解；（2）根据，的面积为，由面积公式得到，再结合余弦定理求得即可.【详解】（1）因为所以，所以，因为，所以，因为，所以因为，所以（2）因为，的面积为，所以，解得，由余弦定理，得，所以，所以所以的周长为6【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正
24、弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制24（1）3；（2）【分析】（1）先求出，再由余弦定理求出；（2）先求出，再由正弦定理求出，进而得出，再由三角形面积公式求解即可；【详解】（1）在中，由余弦定理得或（舍）（2）由已知，由正弦定理得【点睛】关键点睛：解决本题一的关键是由诱导公式求出，再由余弦定理求出.25条件选择见解析；（1），；（2）.【分析】选，（1）列出关于首项与公差、首项与公比的方程组，求出首项与公差、首项与公比，从而求出数列和的通项公式；（2）由（1）知，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.
25、选，（1）列出关于首项与公差的方程组可求出数列的通项公式，利用可求的通项公式；（2）由（1）知，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.【详解】选解： （1）设等差数列的公差为，.由题意知，得，设等比数列的公比为，即，解得，或，由数列为递增等比数列可知不合题意，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，.选解：（1）设等差数列的公差为，.令，则，当时，当时，也满足上式.（2）由（1）知，.【点睛】方法点睛：利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等
26、比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.26（1）；（2）存在，证明见解析.【分析】（1）根据点在直线上，将点坐标代入方程，可得与的关系，根据等差数列的定义，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，进而可求得的表示式，化简整理，可得，利用累加法，即可求得的表达式，结合题意，即可得答案.【详解】（1）因为点，在直线上，所以，即，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；（2），所以，所以，即，所以，所以所以，根据题意恒成立，所以，所以存在关于n的整式，使得恒成立，【点睛】解题的关键是根据表达式，整理得与的关系，再利用累加法求解，若出现（关于n的表达式）时，采用累加法求通项，若出现（关于n的表达式）时，采用累乘法求通项，考查计算化简的能力，属中档题.
