1、第五章平面向量 时间：120分钟分值：150分第卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1称d(a，b)|ab|为两个向量a、b间的“距离”若向量a、b满足：|b|1；ab；对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，则()AabB.a(ab)Cb(ab)D.(ab)(ab)解析：依题意得|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，亦即t22tab(2ab1)0对任意的tR都成立，因此有(2ab)24(2ab1)0，即(ab1)20，故ab10，即abb2b(ab)0，故b(ab)，选C.答案：C2在OAB中
2、，a，b，OD是AB边上的高，若，则实数等于()A.B.C.D.解析：依题意得0，选C.答案：C3已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则的值为()A.B.C.D.解析：记向量a与b的夹角为.注意到ab|a|b|cos|a|b|，即6cos6，cos1，向量a，b反向且共线，ab，即(x1，y1)(x2，y2)，选B.答案：B4已知向量a、b满足|a|1，|b|2，|2ab|2，则向量b在向量a方向上的投影是()AB.1C.D.1解析：依题意得(2ab)24,4a2b24ab4,444ab4，ab1，向量b在向量a方向上的投影等于1，选B.答案：B5AB
3、C的外接圆的圆心为O，半径为1，()且|，则为()A1B.C1D.解析：由()，知O是BC的中点又|1|，ABC是直角三角形，且B，|cos121.故选A.答案：A6(理)已知两点M(1，6)，N(3,0)，点P(，y)分有向线段的比为，则，y的值为()A，8B.，8C，8D.4，解析：依题意得解得答案：C(文)若点P分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比是()AB.C.D.3解析：由已知条件可得点P在线段AB的反向延长线上，且，因此向量与方向相反且，故点B分有向线段所成的比是，故选A.答案：A7已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式(1)(1)(1
4、2)(R且0)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B.垂心C外心D.重心解析：依题意，设ABC的三边AB、BC、CA的中点分别为H、M、N，AM、CH、BN的交点为G.(1)(1)(12)(1)()(1)(12)2(1)()(1)(12)32(1)(1)，所以(2)()，即，所以点P的轨迹一定通过ABC的重心，选择D.答案：D8平面向量的集合A到A的映射f由f(x)x2(xa)a确定，其中a为常向量若映射f满足f(x)f(y)xy对任意的x，yA恒成立，则a的坐标不可能是()A(0,0)B.C.D.解析：由题意知，f(x)f(y)x2(xa)ay2(ya)axy4(xa)(ya)4(xa)
5、(ya)a2xy，即4(xa)(ya)(a21)0对任意的x，yA恒成立，则xa0，或ya0，或a210即|a|1，结合各选项知，选B.答案：B9在ABC中，C120，tanAtanB，则tanAtanB的值为()A.B.C.D.解析：tan(AB)tan(180C)tan60，将tanAtanB代入，得tanAtanB，故选B.答案：B10在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对边的长，若bsinAasinC，则ABC的形状是()A钝角三角形B.直角三角形C等腰三角形D.等腰直角三角形解析：由题设及正弦定理得，化简得bc，故ABC为等腰三角形，故选C.答案：C11已知向量a(cos
6、，sin)，b(cos，sin)，若，则向量a与向量ab的夹角是()A.B.C.D.解析：以原点O为起点分别表示向量a，b，易知相应的终点A，B位于以原点O为圆心的单位圆上，以|，|为邻边作平行四边形OACB，则AOB，OAOB1，即平行四边形OACB是菱形，则COA，而ab，故a，ab的夹角等于，选B.答案：B12在ABC中，下列结论正确的的个数是()ABcosABsinAsinB；ABcos2Acos2B.A0B.1C2D.3解析：在ABC中，因为0A，0BBcosA0，sinB0，故由正弦定理可得ABabsinAsinB，正确；cos2Acos2B12sin2AsinBAB，正确因此选择
7、D.答案：D第卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13设向量a，b，c满足abc0，ab，|a|1，|b|2，则|c|_.解析：cab，|c|2(ab)2a2b22ab1405，所以|c|.答案：14已知向量a(1,2)，b(3,2)，则ab_，若kab与b平行，则k_.解析：由已知得ab1(3)221；kab(k3,2k2)，当kab与b平行时，有3(2k2)2(k3)，由此解得k0.答案：1015已知A、B是定直线l同侧的两个定点，且到l的距离分别为a、b，点P是直线l上的一个动点，则|3|的最小值是_解析：以直线l为x轴，点
8、B在l上的射影O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B(0，b)，A(n，a)(n0)，设P(x,0)，则3(nx，a)3(x，b)(n4x，a3b)，|3|2(n4x)2(a3b)2，当n4x0时，|3|mina3b.答案：a3b16ABC中，边AB为最大边，且sinAsinB，则cosAcosB的最大值是_解析：依题意得cos(AB)cosAcosBsinAsinB，即有cos(AB)cosAcosB，cosAcosBcos(AB).由于AB边是最大边，因此内角C最大，cos(AB)的最大值是1(当且仅当AB时取得等号)，cosAcosB的最大值是1.答案：三、解答题：(本大题共6小题
9、，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知向量a(cosx,2)，b(sinx，3)(1)当ab时，求3cos2xsin2x的值；(2)求函数f(x)(ab)a在x，0上的值域解析：(1)ab，3cosx2sinx，tanx.3cos2xsin2x.(2)f(x)(ab)acos2xsinxcosx10sin2x10cos.x.2x，cos，10cos，即f(x)的值域为.18(本小题满分12分)已知ABC的面积为3，且满足06，设和的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()2sin2cos2的最大值与最小值解析：(1)设ABC中角A，B，C的对边分别
10、为a，b，c.则由bcsin3,0bccos6，可得0cot1，(2)f()2sin2cos21coscos2(1sin2)cos2sin2cos212sin1.，2，22sin13.即当时，f()max3；当时，f()min2.19(本小题满分12分)已知向量a(sinx,2cosx)，b(2sinx，sinx)，设f(x)ab1.(1)若x，求f(x)的值域；(2)若函数yf(x)的图象按向量m(t,0)作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求向量m的坐标解析：(1)f(x)ab12sin2x2sinxcosx1sin2xcos2x2sin.x2xsinf(x)的值域y1,2(2)由(1
11、)可设平移后的函数解析式为y2sin，即y2sin，其图象关于原点对称，2k，kZ.即，kZ.令k0得所求的.因此所求的m(，0)20(本小题满分12分)已知向量a(sin(x)，2)，b(1，cos(x)，函数f(x)(ab)(ab)，yf(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点M.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当1x1时，求函数f(x)的单调区间解析：(1)f(x)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2sin2(x)41cos2(x)cos(2x2)3，由题意得周期T4，故，又图象过点M，所以3cos，即sin2，而0，所以2，f(x)3cos.(2)当1
12、x1时，x，当x0时，即x时，f(x)是减函数当0x时，即x时，f(x)是增函数函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.21(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解析：(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.22(本小题满分12分)已知O为坐标原点，向量(sin
13、，1)，(cos，0)，(sin，2)，点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1.(1)记函数f()，讨论函数f()的单调性，并求其值域；(2)若O、P、C三点共线，求|的值解析：依题意可知，A(sin，1)，B(cos，0)，C(sin，2)，设点P的坐标为(x，y)，则cos，0，所以x2cossin，y1，所以点P的坐标为(2cossin，1)(1)(sincos，1)，(2sin，1)，f()2sin22sincos1(sin2cos2)sin.由2可知，当2即时，函数f()单调递增，当2即时，函数f()单调递减，又sin，所以函数f()的值域为，1)(2)由O、P、C三点共线可知，1(sin)2(2cossin)，tan，sin2，|.
