2006年全国高中数学联合竞赛加试及解答.doc

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1、 2006 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 (考试时间:上午 10:0012:00) 一、以 B0和 B1为焦点的椭圆与 AB0B1的边 ABi交于 Ci(i=0,1) 。在 AB0的延长线上任取点 P0, 以 B0为圆心,B0P0为半径作圆弧 P0Q0交 C1B0的延长线于 Q0;以 C1为圆心,C1Q0为半径作圆弧 Q0P1交 B1A 的延长线于 P1;以 B1为圆心,B1P1为半径作圆弧 P1Q1交 B1C0的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1为半径作圆弧 Q1P0,交 AB0的延长线于 P0。试证: (1)点 P0与点 P0重合,且圆弧 P0Q0与 P0Q1相内切于 P0; (

2、2)四点 P0、Q0、Q1、P1共圆。 二、已知无穷数列an满足 a0=x,a1=y, 1 1 1 1 nn nn n aa aa a,n=1、2、。 (1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 n0n 时 an恒为常数? (2)求数列an的通项公式。 三、解方程组 66 20 6 2 4444 3333 2222 wzyx wzyx wzyx wzyx 。 2006 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、 (本题满分 50 分)以 B0和 B1为焦点的椭圆与 AB0B1的边 ABi交于 Ci(i=0,1) 。在 AB0的延长 线上任取点 P0,以 B0为圆心,B0P0为

3、半径作圆弧 P0Q0交 C1B0的延长线于 Q0;以 C1为圆心,C1Q0 为半径作圆弧 Q0P1交 B1A 的延长线于 P1;以 B1为圆心,B1P1为半径作圆弧 P1Q1交 B1C0的延长线 于 Q1;以 C0为圆心,C0Q1为半径作圆弧 Q1P0,交 AB0的延长线于 P0。试证: (1)点 P0与点 P0重合,且圆弧 P0Q0与 P0Q1相内切于 P0; (2)四点 P0、Q0、Q1、P1共圆。 证明: (1)显然 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0和 Q0P1,Q0P1和 P1Q1,P1Q1和 Q1P0分别相内切于点 Q0、P1、Q1,得 C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+

4、C1P1=B1C0+C0Q1以及 C0Q1=C0B0+B0P0。四式相加,利用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0以及 P0在 B0P0或其延长线上,有 B0P0=B0P0。 从而可知点 P0与点 P0重合。由于圆弧 Q1P0的圆心 C0、圆弧 P0Q0的圆心 B0以及 P0在同一直线上, 所以圆弧 Q1P0和 P0Q0相内切于点 P0。 (2)现在分别过点 P0和 P1引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1引相应相 切圆弧的公切线 R1S1,分别交 P0T 和 P1T 于点 R1和 S1。连接 P0Q1和 P1Q1,得等腰三角形 P0Q1R1 和 P1Q

5、1S1。基于此,我们可由 P0Q1P1=P0Q1R1P1Q1S1=(P1P0TQ1P0P1)(P0P1TQ1P1P0) 而 P0Q1P1=Q1P0P1+Q1P1P0,代入上式后,即得 R1 S1 T Q1 P1 Q0 C0 B1 B0 A C1 P0 )( 2 1 1001110 TPPTPPPQP,同理可得)( 2 1 1001100 TPPTPPPQP。所以四点 P0、Q0、Q1、P1共圆。 二、 (本题满分 50 分)已知无穷数列an满足 a0=x,a1=y, 1 1 1 1 nn nn n aa aa a,n=1、2、。 (1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 n0

6、n 时 an恒为常数? (2)求数列an的通项公式。 解: (1)我们有 1 2 1 1 1 11 nn n nn nn nnn aa a aa aa aaa,n=1、2、。 (2.1) 所以,如果对某个正整数 n,有 an+1=an,则必有(an)2=1,且 an+an10。 如果该 n=1,我们得|y|=1 且 xy。 (2.2) 如果该 n1,我们有 21 21 21 21 ) 1)(1( 1 1 1 nn nn nn nn n aa aa aa aa a,n2, (2.3) 和 21 21 21 21 ) 1)(1( 1 1 1 nn nn nn nn n aa aa aa aa a,

7、n2。 (2.4) 将式(2.3)和(2.4)两端相乘,得 21 2 2 21 2 1 2 11 1 nn n nn n n aa a aa a a,n2。 (2.5) 由(2.5)递推,必有(2.2)或|x|=1 且 yx。 (2.6) 反之,如果条件(2.2)或(2.6)满足,则当 n2 时,必有 an=常数,且常数是 1 或1。 (2)由(2.3)和(2.4) ,我们得到 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 n n n n n n a a a a a a ,n2。 (2.7) 记 1 1 n n n a a b,则当 n2 时, 2 4 3 33 2 433 2 223221 )()

8、( nnnnnnnnnnnnn bbbbbbbbbbbbb 由此递推,我们得到 21 ) 1 1 () 1 1 ( 1 1 nn FF n n x x y y a a ,n2, (2.8) 这里 Fn=Fn1+Fn2,n2,F0=F1=1。 (2.9) 由(2.9)解得) 2 51 () 2 51 ( 5 1 11 nn n F。 (2.10) 上式中的 n 还可以向负向延伸,例如 F1=0,F2=1。 这样一来,式(2.8)对所有的 n0 都成立。由(2.8)解得 2112 2112 ) 1() 1() 1() 1( ) 1() 1() 1() 1( nnnn nnnn FFFF FFFF

9、n yxyx yxyx a,n0。 (2.11) 式(2.11)中的 F1、F2由(2.10)确定。 三、 (本题满分 50 分)解方程组 66 20 6 2 4444 3333 2222 wzyx wzyx wzyx wzyx 。 解:令 p=x+z、q=xz,我们有 p2=x2+z2+2q,p3=x3+z3+3pq,p4=x4+z4+4p2q2q2。同样,令 s=y+w、t=yw, 有 s2=y2+w2+2t,s3=y3+w3+3st,s4=y4+w4+4s2t2t2。 在此记号系统下,原方程组的第一个方程为 p=s+2。 (3.1) 于是 p2=s2+4s+4,p3=s3+6s2+12s

10、+8,p4=s4+8s3+24s2+32s+16。现在将上面准备的 p2、p3、p4和 s2、s3、 s4的 表 达 式 代 入 , 得x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4 , x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8 , x4+z4+4p2q2q2=y4+w4+4s2t2t2+8s3+24s2+32s+16。 利用原方程组的第二至四式化简,得 q=t+2s1, (3.2) pq=st+2s2+4s4, (3.3) 2p2qq2=2s2tt2+4s3+12s2+16s25。 (3.4) 将(3.1)和(3.2)代入(3.3) ,得1 2 s t, (3.5) 将(3.

11、5)代入(3.2) ,得2 2 5 s q, (3.6) 将(3.1) (3.5) (3.6)代入(3.4) ,得 s=2。所以有 t=0,p=4,q=3。 这样一来,x、z 和 y、w 分别是方程034 2 XX和02 2 YY的两根,即 1 3 z x 或 3 1 z x ,且 0 2 w y 或 2 0 w y 。详言之,方程组有如下四组解:x=3,y=2,z=1,w=0;或 x=3,y=0,z=1,w=2;或 x=1,y=2,z=3,w=0;或 x=1,y=0,z=3,w=2。 注:如果只得到一组解,或者不完整,最多得 40 分。 2006 年全国高中数学联赛加试试题的另解年全国高中数

12、学联赛加试试题的另解 2006 年全国高中数学联赛加试第一题 以 0 B和 1 B为焦点的椭圆与 01 AB B 的边 i AB交于(0,1) i C i 。在 0 AB的延长线上任取点 0 P,以 0 B为圆心, 00 B P为半径作圆弧 00 P Q交 10 C B的延长线于 0 Q;以 1 C为圆心, 10 C Q为半 径作圆弧 01 Q P交 1 B A的延长线于 1 P;以 1 B为圆心, 11 B P为半径作圆弧 11 PQ交 10 B C的延长线 于 1 Q;以 0 C为圆心, 01 C Q为半径作圆弧 10 Q P,交 0 AB的延长线于 0 P。 试证: (1) 点 0 P与

13、点 0 P重合,且圆弧 00 P Q与 01 P Q相切于点 0 P; (2) 四点 0 P、 0 Q、 1 Q、 1 P共圆。 (原题图略) 第(1)问的证明略,下面着重讨论第 2 问的另一种证明方法: 构思:证明四点共圆,如果能找(或猜测)到该圆的圆心,转而证明圆心到四点距离相等,也 是一个常用的方法,那么圆心究竟在哪里? 试验:由题意可以知道: 00101101 BCBCBCBC=常数(大于 10B B) 。 利用几何画板制作如图 1 所示的试验场景,其中圆O为四边形 001 1 PQ Q P的外接圆。 拖动点拖动点A观察圆心观察圆心O的位置变化的位置变化 C0B1+C0B0 = 5.9

14、5318 厘米厘米 C1B0+C1B1 = 5.95318 厘米厘米 C0B0 = 1.33625 厘米厘米 C0B1 = 4.61694 厘米厘米 C1B1 = 1.87466 厘米厘米 C1B0 = 4.07852 厘米厘米 O Q1 P1 Q0 C0C1 A B1B0 P0 图 1 拖动点A,观察圆心O位置的变化,猜测点O可能是 01B AC的内心与 10B AC的内心(这两 个三角形的内心可能是重合的) 。利用几何画板中的测量工具测得相关角的度数,可以验证这个 猜想是正确的! 所以我们就有了下面的另解: 证明:首先证明 01B AC的内心与 10B AC的内心重合: 假设这两个三角形的

15、内心不重合,并设O为 01B AC的内心,M、N、F分别为切点。则可 从点 1 B引圆O的切线与圆O切于点E、与线段 0 AB交于点D,而且点D与点 0 C不重合,如图 2。 由切线性质,可以得到: DNDEMBEB, 11 . NBFBMCFC 0011 , 分别将、中的等式相加,得到: DNMBDB 11 NBMCBC 0101 . FE N M O D C1 B0 B1 A C0 -: )( 011011 DNNBMCMBBCDB 图 2 011101 BCBCDBDB 又因为 01110010 BCBCBCBC, 001001 BCBCDBDB 1001 BCDCDB,这与点D与点 0

16、 C不重合矛盾,所以 假设不成立,因此: 01B AC的内心与 10B AC的内心重合。 设 01B AC、 10B AC的内心为O,如图 3。 由于直线 0 OC平分 10B AC,又 0010 PCQC,直线 0 OC 垂直平分线段 1 0Q P, 1 0 OQOP 同理: 直线 0 OB垂直平分线段 00Q P, 00 OQOP 直线OC1垂直平分线段 01Q P, 01 OQOP 图 3 直线OB1垂直平分线段 11Q P, 11 OQOP 01 OQOQ , 00 OPOP 又点P、 0 P都在 0 AB的延长线上,点 0 P、 0 P重合,且圆弧 00 P Q与 01 P Q相切于点 0 P。 0101 OQOQOPOP 所以四点 0 P、 0 Q、 1 P、 1 Q共圆 O Q1 P1 Q0 C0 C1 A B1B0 P0

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