1、求极限的十种方法求极限的十种方法证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法判断函数的连续性或确定间判断函数的连续性或确定间断点的类型的常用方法断点的类型的常用方法常见题型举例常见题型举例例如：用定义证明例如：用定义证明 1999.0lim,1lim nnnnanaaaaxnnnn 21limlim2211lim nknk如如2sinlim,1sinlim0 xxxxxxxx mnyyyyyyyyyyyxxxmmnnymnymnnmx )1)(1()1)(1(lim11lim11lim2121111令令例例如如111lim nn证证明明极极限限例例如如.,222,22,2:的极限存在，并求其值的极
2、限存在，并求其值数列数列证明证明 121sintanlim,111lim,1ln1lim,1)1ln(lim,11lim300000 xxxnxxaxaxxxexnxxxxxx常常用用的的等等价价无无穷穷小小有有：101lim,sinlim0sinlim,1sin)1ln(lim exxxxxxxxxxxxx 如如0001sin111)(1 xxxxxexfx xxx1)1(lim0230011lim,sinlnlimxxxxxx 例例如如求求极极限限34271913118141211lim n例例如如求求极极限限1.1.利用柯西准则判断极限不存在；利用柯西准则判断极限不存在；2.2.利用两个
3、单边极限存在但不等或者至少有一个不利用两个单边极限存在但不等或者至少有一个不存在，确定极限不存在；存在，确定极限不存在；3.3.利用子列或部分极限来判断；利用子列或部分极限来判断；)(lim0 xfxx只求只求1.1.是非题是非题 2.2.选择题选择题 3.3.填空题填空题 4.4.计算题计算题 5.5.证明题证明题例例1 1 的连续区间、间断点并判断其类型的连续区间、间断点并判断其类型例例2 2 求极限求极限例例3 3 例例4 4 求极限求极限例例5 5确定确定xxexf 111)(求求xxxxxxsincossin1lim0 nnnn1321lim 求求nnxxx2cos4cos2cosl
4、im.1201,)1)()(是是可可去去间间断断点点）（是是无无穷穷间间断断点点；）（的的值值中中 xxbaxaxbexfx.1,01是函数的间断点是函数的间断点显然显然解：解：例例 xx xxxxexf10011lim)(lim.0是无穷间断点是无穷间断点 xxxxxexf 11111lim)(lim0 xxxxexf 11111lim)(lim1.11)(是是跳跳跃跃间间断断点点但但不不相相等等，处处的的左左右右极极限限都都存存在在，在在可可见见函函数数 xxxfxxxxxxxxxxxxsin)cos1()1sin1(limsincossin1lim200 解：解：22021sin21li
5、mxxxxx 1lim220 xxxnnnn3332133 解：解：nnnn1133)321(3 .3)321(lim1 nnnn由由夹夹逼逼准准则则知知nnnnnnxxxxx2sin22sin22cos2cos2coslim42 解：原极限解：原极限nnnxx2sin2sinlim nnnxx22sinlim )0(sin xxx )1)(lim)(lim)(0)1(500 xaxbexfxfxxxx的的无无穷穷间间断断点点，则则是是若若解解：01)1)()1)(lim00 babeabexaxxx即即.)(01,0的的无无穷穷间间断断点点是是时时，当当xfxba .)1)(lim)(1)2(1存存在在极极限限的的可可去去间间断断点点，则则是是若若 xaxbexfxxx)1)()()1)(1 xaxebeexaxbexx011 xx,111 xex时时，有有，当当eba 1)1)()1(lim)1)(lim111 xaxeexaxbexxxx.1lim)1)()1(lim11aeaxexaxxexx .1)(,10)(1,0)2)(1(xxfebaxxfba有有可可去去间间断断点点时时，当当；有有无无穷穷间间断断点点时时，当当知知：综综合合
