1、函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015四川高考)下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()A.y=cosB.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx【解析】选A.A:y=cos=-sin2x;B:y=sin=cos2x;C:y=sin 2x+cos2x=sin;D:y=sinx+cosx=sin.只有A选项符合要求.2.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【解析】选C.因为sin
2、=sin2,所以由函数y=sin2x到函数sin=sin2,只需要向右平移个单位.3.已知函数f(x)=sinx+cosx(0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于,则f(x)的单调递增区间是()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ【解析】选C.由题设知f(x)=2sin,f(x)的周期为T=,所以=2,由2k-2x+2k+,kZ得,k-xk+,kZ.【加固训练】设函数f(x)=sin(x+)+cos(x+)的最小正周期为,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在上单调递减B.f(x)在上单调递减C.f(x)在上单调递增D.f(x)在上单调递增【解析】选A.f(x)
3、=sin(x+)+cos(x+)=sin,因为T=,所以=2,又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,所以+=k+,=k+,kZ,又|,所以=,所以f(x)=sin=cos2x,易得f(x)在上单调递减.4.(2016咸阳模拟)一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是()A.h(t)=-8sint+10B.h(t)=-cost+10C.h(t)=-8sint+8D.h(t)=-8cost+10【解析】选D.设h(t)=Acost+B,因为12min旋转一
4、周,所以=12,所以=,由于最大值与最小值分别为18,2.所以解得A=-8,B=10,所以h(t)=-8cost+10.5.(2016阜阳模拟)若函数f(x)=sinx+cosx(0)对任意实数x都有f=f,则f的值等于()A.-1B.1C.D.-【解析】选A.因为f=f,所以f(x)的图象关于x=对称,因为f(x)=sinx+cosx=sin(0),所以+=+k,=+6k,kZ,所以f=sin=sin=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=2sin(x+)(0)的图象如图所示,则f=.【解析】由图象知最小正周期T=,故=3,又x=时,f(x)=0,即2sin=0,所以
5、+=k,kZ,又00,0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.【解析】记f(x)的最小正周期为T,由题意知-=,又f=f=-f,且-=,可作出示意图如图所示(一种情况):所以x1=,x2=,所以=x2-x1=-=,所以T=.答案:8.(2016临汾模拟)把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断:该函数的解析式为y=2sin;该函数图象关于点对称;该函数在上是增函数;若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中,正确判断的序号是.【解析】将函数
6、y=sin2x的图象向左平移个单位得到y=sin2=sin的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象,所以不正确.f=2sin=2sin=0,所以函数图象关于点对称,所以正确.由-+2k2x+2k,kZ,得-+kx+k,kZ,所以函数的单调递增区间为,kZ,所以不正确.y=f(x)+a=2sin+a,当0x时,2x+,所以当2x+=,即x=时,函数取得最小值,ymin=2sin+a=-+a,令-+a=,得a=2,所以正确,所以正确判断的序号为.答案:【加固训练】(2016汕头模拟)函数f(x)=3sin的图象为C,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).图象C关于直线x=对
7、称;图象C关于点对称;函数f(x)在区间内是增函数;由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.【解析】对于:把x=代入f(x)=3sin得f=3sin=-3,恰好是最小值,故正确;对于:把x=代入f(x)=3sin得f=3sin=0,恰好是零点,故正确;对于:由-2x-得-x,所以f(x)=3sin的一个增区间为,故正确;对于:由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin2=3sin,所以错误.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016菏泽模拟)已知函数f(x)=sin,其最小正周期为.(1)求f(x)的表达式.(2)将函数f(x)的图象向右平移
8、个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0,在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.【解析】(1)由题意知函数f(x)=sin,其最小正周期为=,所以=2.所以f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=sin的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象.所以g(x)=sin.因为0x,所以-2x-,g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数g(x)与y=-k在区间上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知-k或-k=1,即-1.25(t0,
9、24)得cost.又t0,24,t0,4,因此0t或t2+或2+t2+2,即0t2或10t14或22t24,在一日内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时.(20分钟40分)1.(5分)若函数y=cos(N*)图象的一个对称中心是,则的最小值为()A.1B.2C.4D.8【解析】选B.由题意知+=k+(kZ)=6k+2(kZ),又N*,所以min=2.2.(5分)(2015安徽高考)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.fffB.fffC.fffD.fff【解题提示】求出函数f(x)的解析式
10、,利用正弦函数的图象和性质进行判断.【解析】选A.因为函数f=Asin(A,均为正的常数)的最小正周期为,所以T=2,所以f=Asin,当x=时,2+=+2k,kN=+2k,kN,所以f=Asin,当2x+=+2k,kZ,即x=+k,kZ时函数f取得最大值.下面只需要判断2,-2,0与最近的最高点处对称轴的距离,距离越大,函数值越小.当k=0时,x=,0.52,1.48;当k=1时,x=,1.67;当k=-1时,x=-,0.62,所以fff.3.(5分)(2016洛阳模拟)已知函数f(x)=Acos2(x+)+1的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离
11、为2,则f(1)+f(2)+f(2015)=.【解析】由已知得,f(x)=cos(2x+2)+1,由相邻两条对称轴间的距离为2,知=2,得T=4=,=,由f(x)的最大值为3,得A=2.又f(x)的图象过点(0,2),所以cos2=0,所以2=k+(kZ),又00)的最小正周期为.(1)求的值.(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到,求y=g(x)的单调递增区间、对称轴和对称中心.【解析】(1)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=sin+2,依题意得=,故的值为.(
12、2)依题意得:g(x)=sin+2=sin+2,由2k-3x-2k+(kZ),解得k+xk+(kZ),故y=g(x)的单调递增区间为(kZ),因为g(x)=sin+2,所以由3x-=k+,kZ,得x=+,kZ,所以y=g(x)的对称轴为x=+,kZ.由3x-=k,kZ,得x=+,kZ,所以y=g(x)的对称中心为.综上所述,y=g(x)的单调递增区间为k+,k+(kZ),对称轴为x=+,kZ,对称中心为,.【一题多解】解答本题(2),还有以下解法:由题意得g(x)=sin+2=sin+2,由五点法列表如下:xX=3x-02sinX010-10y22+22-2画出y=g(x)的简图,由图象可得单调增区间为(kZ),对称轴为x=+,kZ,对称中心为,(kZ).
