1、【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第4章 三角函数、解三角形 第5节 解三角形高考AB卷 理正弦、余弦定理的应用1.(2016全国，13)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A，cos C，a1，则b .解析在ABC中由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.答案2.(2014全国，16)已知a，b，c，分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为 .解析因为a2，所以(2b)(sin Asin B)
2、(cb)sin C可化为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又0A，故A，又cos A，所以bc4，当且仅当bc时取等号，由三角形面积公式知SABCbcsin Abcbc，故ABC面积的最大值为.答案解三角形及其应用3.(2014全国，4)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A.5 B. C.2 D.1解析SABCABBCsin B1sin B，sin B，B45或B135.若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，若B135，由余弦定理得AC2AB2BC
3、22ABBCcos B12215，AC.此时ABC为钝角三角形，符合题意.故选B.答案B4.(2016全国，17)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知，absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC
4、的周长为5.5.(2015全国，17)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长.解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.正弦、余弦定理的应用1.(2013辽宁，6)在ABC中，内角A，
5、B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B. C. D.解析根据正弦定理得，sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，由于sin B0，即sin Acos Csin Ccos A，所以sin(AC)，即sin B，因为ab，B.选A.答案A2.(2013湖南，3)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.解析由，得sin A，又因为ABC为锐角三角形，所以A.答案D3.(2012上海，16)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则AB
6、C的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定解析sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2.则cos C0，C为钝角，ABC为钝角三角形.答案C4.(2015福建，12)若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于 .解析SABACsin A，sin A，在锐角三角形中A，由余弦定理得BC7.答案75.(2015广东，11)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b .解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案16.(2015北京，12)在ABC中，a4，b5，
7、c6，则 .解析由余弦定理：cos A，A(0，)，sin A，cos C，又C(0，)，sin C，1.答案17.(2015重庆，13)在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC .解析由正弦定理得，即，解得sinADB，因ADB是ABD一内角且B120，ADB45，从而BAD15DAC，所以C1801203030，AC2ABcos 30.答案8.(2014天津，12)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca，2sin B3sin C，则cos A的值为 .解析由已知及正弦定理，得2b3c，因为bca，不妨设b3，c2，所以a4，所以cos A.答案9.(20
8、14江苏，14)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是 .解析由正弦定理可得ab2c，又cos C，当且仅当ab时取等号，所以cos C的最小值是.答案10.(2016山东，16)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值.(1)证明由题意知2.化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C，从而sin Asin B2sin C，由正弦定理得ab2c.(2
9、)解由(1)知c，所以cos C，当且仅当ab时，等号成立，故cos C的最小值为.11.(2015安徽，16)在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长.解设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理，得sin B，由题设知0Bc.已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值.解(1)由2得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292213.解得a2，c
10、3或a3，c2.因ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因abc，所以C为锐角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.解三角形及其应用14.(2015天津，13)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为 .解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.答案815.(2014山东，12)在ABC中，已知tan A，
11、当A时，ABC的面积为 .解析根据平面向量数量积的概念得|cos A，当A时，根据已知可得|，故ABC的面积为|sin.答案16.(2016北京，15)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)求cos Acos C的最大值.解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA，0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin0A，A，故当A，即A时，cos Acos C取得最大值为1.17.(2016四川，17)在ABC中，角
12、A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B.(1)证明根据正弦定理，可设k(k0)，则aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C.所以sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B.故ta
13、n B4.18.(2016浙江，16)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)
14、，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.19.(2015陕西，17)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行. (1)求A; (2)若a，b2，求ABC的面积.解(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsin A.法二由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知A
15、B，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为Sabsin C.20.(2014北京，15)如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长.解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB825228549.所以AC7.21.(2014安徽，16)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值.解(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin BcosB.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.
