1、选考4-2二阶矩阵与平面向量知识体系几种常见的平面变换矩阵与变换变换的复合与矩阵的乘法逆变换与逆矩阵特征值与特征向量矩阵的简单运用最新考纲1. 二阶矩阵与平面向量了解矩阵的有关概念，掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法.2. 几种常见的平面变换理解矩阵对应的变换，把平面上的直线变成直线，即A(1+2)1A+2A.理解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵.3. 矩阵的复合与矩阵的乘法掌握二阶矩阵的乘法，理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）.4. 逆变换与逆矩阵理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.理解逆矩阵的
2、唯一性和等简单性质，并了解其在变换中的意义.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵.了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义.会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组.理解二元线性方程组解的存在性、唯一性.5. 特征值与特征向量掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义.会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）.会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.了解三阶或高阶矩阵.了解矩阵的简单应用.基础热身1. 矩阵的相关概念(1) 矩阵定义：在数学中，我们把形如这样的 阵列称为矩阵.同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的
3、 ，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的 ，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的 .（2）上述三个矩阵分别是21矩阵，22矩阵（二阶矩阵），23矩阵，注意行的个数在前.（3）矩阵相等：行数、列数分别 ,对应的元素也分别 的两个矩阵，此时记作A=B.（4）行矩阵：a11,a12（仅有一行），列矩阵：（仅有一列）.（5）向量a=(x,y)，平面上的点P(x,y)都可以看成行矩阵x,y或列矩阵，规定所有的平面向量均写成向量xy的形式.(6)重点在于对矩阵概念的理解，二阶矩阵与平面列向量的乘法运算.明确一个二阶矩阵和一个平面向量的乘法对应着一个变换，它把平面上的一个向量变成另一个向
4、量.2. 二阶矩阵与平面向量的乘法（1）定义：规定行矩阵与列矩阵的乘法规则为= ，二阶矩阵与列向量的乘法规则为= .（2）由矩阵M确定的变换T通常记作，要求能够熟练地进行矩阵的乘法形式与坐标形式之间的转换，并能从几何的角度理解这种变换.3. 二阶矩阵与线性变换（1）一些常见的基本的变换矩阵，如：等，理解这些变换的几何意义.（2）二阶矩阵对于平面向量所实施的变换，都是，即有M（1+2）=1M +2M ，这样，我们在研究多边形以及直线在矩阵的变换作用下所形成的图形时，只须考虑端（顶）点的变化结果即可，这也是后面运用特征值与特征向量求解问题的依据.（3）伸压、反射、切变变换这三种几何变换称为 ，对应
5、的变换矩阵称为 .4. 变换的复合、矩阵的乘法以及矩阵乘法的简单性质（1）数乘平面向量：由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或的 复合.（2）矩阵的乘法：一般地，对于矩阵，规定乘法法则为.(3)性质：设A、B、C为三个不相等的非零矩阵，则ABBA（即矩阵不满足交换律）.A（BC）=（AB）C（即矩阵满足结合律）.若AB=AC，但BC（即矩阵不满足消去律）.5. 二阶行列式与逆矩阵、逆矩阵与二元一次方程组（1）逆矩阵的定义：对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA= ，则称A是可逆的，B称为A的 .逆矩阵是唯一的.（2）性质：若二阶矩阵A，
6、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且= .已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则 .（3）行列式定义：我们把称为 ，它的运算结果是一个 ，记为det(A)=.6. 特征值与特征向量（1）定义：设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个 向量a，使Aa=a，那么 称为A的一个特征值，而a称为A的属于特征值的一个 .（2）特征多项式：设A=是一个二阶矩阵，R,我们把行列式f()= 称为A的特征多项式.基础达标1. = .2. 点M（1，3）在矩阵作用下变换得到点M1，点M1在矩阵作用下变换得到点M2，则M2的坐标是 .3. 曲线y=在M=作用下变换的结果是曲线方程 .4.
7、 已知方程AX=B，其中A=,B=，则X= .5. 已知向量1=,2=,=，若=m1+n2，则m,n的值分别为 .互动学案典例分析【例1】（1）已知变换，试将它写成坐标变换的形式；（2）已知变换，试将它写成矩阵乘法的形式.分析 对矩阵变换的基础知识，首先要理解二阶矩阵与平面向量的乘法对应着平面向量之间的变换，并掌握这种变换的坐标形式与矩阵乘法的形式.解 （1）T：.（2）T：.举一反三1. 向量=在矩阵作用下变换得到的向量是 .【例2】计算下列各式，并从变换角度说明其几何意义.（1）；（2）;（3）.分析 运用二阶矩阵与平面向量的乘法法则进行计算，通过比较变换前后的点的坐标说明其几何意义.解
8、（1），显然变换前后点的横坐标不变，纵坐标相反，这是关于x轴对称的反射变换.（2），变换前后点的横、纵坐标交换，这是关于直线y=x对称的反射变换.（3），此变换保持点的纵坐标不变，横坐标按纵坐标的一倍减少，这是沿x轴负方向的切变变换.举一反三2. 直线y=-3x在矩阵M=作用下变换得到的图形是 .【例3】按要求解方程组.（1）用行列式求解；（2）用逆矩阵求解.分析 用行列式求解二元一次方程组，就是求相应的D,Dx,Dy，而运用矩阵解方程组，首先要把方程组改写为AX=B的形式，再由X=求解.解 (1)因为D=32-(-1)1=7，Dx=52-(-1)(-3)=7,Dy=3(-3)-51=-14，
9、所以，即,即原方程组的解为.（2）设A=,X=,B=，则方程组可以表示为AX=B的形式，因为=，所以X=B=，则原方程组的解为.举一反三3. 利用逆矩阵解下列方程组.(1)；（2）.【例4】求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）；（2）.分析 常规方法应是根据矩阵写出特征多项式f()，由f()=0求出特征值，代入方程A=求出相应的特征向量，但若矩阵变换有明显的几何意义，则可根据变换特点写出特征值与特征向量.解 （1）从变换的几何意义来看，矩阵的作用是关于直线y=-x的反射变换，因此，与直线y=-x平行的向量保持变换前后的大小与方向都不变，有特征值1=1及相应的特征向量（1，-1）；又与直线y=-
10、x垂直的向量保持变换前后大小不变而方向相反，故有特征值2=-1及相应的特征向量（1，1）.（2）特征多项式f()=-5+6.由f（）=0，解得1=2，2=3.当1=2时 ；2=3时，.综上所述，矩阵有特征值1=2及相应的特征向量（2，1）；特征值2=3及相应的特征向量（1，1）.举一反三4. 设矩阵A=的一个特征值为-1，则x的值是 .【例5】为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：明文X密文Y密文Y明文X现在加密方式为：把发送的数字信息X写为“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩阵A=，再左乘矩阵B=，得到密文Y，现在已知接收方得到的密文是4,12,32,64，
11、试破解该密码.分析 加密的过程经过了两次矩阵变换，可以先运用矩阵的乘法求出其变换的复合，再求其逆矩阵破解密码.解由题意，BA=,=,（BA）X=，X=.即发送的数据信息是2008.举一反三5. 当兔子和狐狸处于同一栖息地时，若忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，两个种群的变化有如下规律：由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；第n年时，兔子数量用Rn表示，狐狸数量用Fn表示；初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只.请用所学知识解决如下问题：（1）列出
12、兔子与狐狸的生态模型；（2）求出Rn、Fn关于n的关系式；（3）讨论：当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由.易错警示【例1】求AB的逆矩阵,其中A=，B=.错解 .错解分析 运用公式求出AB的逆矩阵，而“错解”中错将公式记忆成.正解 ，.【例2】求矩阵的特征值和特征向量.错解 特征多项式f()=-3+2.由f()=0，解得1=1，2=2.错解分析 行列式的运算公式运用错误导致特征值求错.常规方法应是根据矩阵写出特征多项式f()，由f()=0求出特征值，代入方程A=求出相应的特征向量.正解 特征多项式f()= =-3-18.由f()=0,解得1=6,2=-3
13、.当1=6时，；当2=-3时，.综上所述，矩阵有特征值1=6及相应的特征向量(2,1)；特征值2=-3及相应的特征向量（1，-4）.考点演练1. 向量=在矩阵作用下变换得到的向量是 .2. 如果矩阵把点A变成点B（3，1），则点A的坐标是 .3. 计算= ; = .4. 已知点P(x,y)在矩阵M的作用下变换为点P(-y,-x)，则矩阵M= .5. 若=x,则x= .6. 若曲线+4xy+2=1在矩阵的作用下变换成曲线-2=1，则a+b= .7. 已知矩阵M=,N=，则= .8. 若N，则N= .9. 已知二阶矩阵A有特征值1=3及对应特征向量1=, 特征值2=-1及对应特征向量2=,则矩阵A
14、= .10. 已知A=,B=,若AX=B，则X= .11. 研究函数y=2sinx在矩阵M=对应的变换作用下的结果.12. 已知矩阵M=，=,=,求, .参 考 答 案选考4-2基础梳理1. (1) 矩形数字（或字母） 行 列 元素（3）相等 相等2. （1）a11b11+a12b213. （2）线性变换 (3)初等变换 初等变换 矩阵4. （1）多次5. （1）E 逆矩阵(2) B=C（3）二阶行列式数值6. （1）非零 特征向量 （2）-(a+d)+ad-bc基础达标1. 解析：.2. （-1，3） 解析：.3. y=解析：由TM：，即TM:，显然TM实施的是关于直线y=x的对称变换，曲线
15、y=关于直线y=x对称的方程是y=.4. 解析：由AX=B得X=B.因为A=，所以= ，即X=B=.5. ， 解析：由=m1+n2得举一反三1. 解析:.2. y=x 解析：由知TM：，即有,所以x=-3y,即y=x.3. （1）设A=，X=，B=，则方程组可表示为AX=B,又，则X=，即原方程组的解为.（2）设A=,X=,B=，则方程组可表示为AX=B，又，则X=，即原方程组的解为.4. 1 解析：矩阵A的特征多项式为f()=-(x+2-x)+x(2-x)+2=0，所以f(-1)=1+2+x(2-x)+2=0，整理得-2x-5=0，解得x=1.5. （1）(n1).（2）设n=,M=，n=M
16、n-1=M(Mn-2)=0.又矩阵M的特征多项式f()=-1.95+0.95=(-1)(-0.95).令f()=0,得1=1,2=0.95.特征值1=1对应的一个特征向量1=，特征值2=0.95对应的一个特征向量为2=,且0=701-1102，n=0=701-1102=,.(3)当n越来越大时，越来越接近于0，Rn,Fn分别趋向于常量210，140.即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量将达到一个稳定的平衡状态.考点演练1. 解析：.2. （2，1） 解析：设A（x,y），则有，所以.3. 解析：；.4. 解析：设M=，由题意得M,即，即. M=5. -2
17、或3 解析：=-6.由-6=x,得-x-6=0，解得x=-2或x=3.6. 2 解析:由，知.，即，比较系数得，解得，所以a+b=2.7. 解析：由矩阵变换的几何意义不难得出,.8. 解析：的逆矩阵是，N=.9. 解析：设A=，则有,即有，及，解得a=1,b=2,c=2,d=1，所以A=.10. 解析：，X=.11. 任取函数y=2sinx图象上一点P(x0,y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为 P，则有，即,故.因为点P(x0 y0)在函数y=2sinx的图象上，所以y0=2sinx0,即有，即,所以函数y=2sinx在矩阵M=作用下变为函数y=sinx.12. 由f()=-5+4=0,解得1=1，2=4，代入特征方程组求出相应的的特征向量分别为1=,2=.由=m1+n2，解得m=1,n=4；由=h1+k2,解得h=-5,k=4.所以=;=.
