1、24.5三角形的内切圆知识点 1三角形内切圆的概念及性质12017广州 如图2451所示，O是ABC的内切圆，则点O是ABC的()图2451A. 三条边的垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点2下列说法错误的是()A三角形的内心到三边的距离相等B一个三角形一定有唯一一个内切圆C一个圆一定有唯一一个外切三角形D等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆3教材例题变式 如图2452所示，在ABC中，A66，点I是内心，则BIC的度数为()图2452A. 114 B122 C123 D1324教材习题24.5第2题变式 如图2453，在ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB分别相
2、切于点D，E，F，若A70，则EDF_. 图245352018湖州如图2454，已知ABC的内切圆O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若ABC40，则BOD的度数是_图24546如图2455，P是ABC的内心，连接PA，PB，PC，PAB，PBC，PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1_S2S3.(填“”“”或“”)图2455知识点 2作三角形的内切圆7为美化校园，学校准备在如图2456所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛(保留作图痕迹，不要求写作法)图24568如图2457所示，O是ABC的内心，过点O作EFAB，与AC，BC分别交于点E，F，则()图
3、2457AEFAEBF BEFAEBFCEFAEBF DEFAEBF9如图2458，O截ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是()图2458A点O是ABC的内心B点O是ABC的外心CABC是等边三角形DABC是等腰三角形10九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，如图2459，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()图2459A3步 B5步 C6步 D8步11如图24510，在ABC中，ABAC，A40，延长AC到点D，使CDBC，
4、点P是ABD的内心，则BPC的度数为()图24510A105 B110C130 D14512如图24511，RtABC的内切圆O切斜边AB于点D，切BC于点E，BO的延长线交AC于点M.求证：BOBCBDBM.图24511 13教材习题24.5第5题变式 如图24512，E为ABC内一点，AE的延长线交ABC的外接圆O于点D，且DBDCDE.求证：E为ABC的内心图2451214如图24513，在等腰三角形ABC中，CACB，AD是腰BC边上的高，ACD的内切圆E分别与边AD，BC相切于点F，G.(1)求证：AFBG；(2)过点E作EHAB于点H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由
5、图2451315已知ABC的内切圆O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若，如图24514.(1)判断ABC的形状，并证明你的结论；(2)设AE与DF相交于点M，如图，AF2FC4，求AM的长图24514教师详解详析1B2C3C解析 A66，ABCACB114.点I是内心，IBCABC，ICBACB，IBCICB57，BIC18057123.故选C.455解析 连接IE，IF，I内切于ABC，IEAIFA90，EIF180A110.由圆周角定理，得EDFEIF55.570解析 ABC的内切圆O与BC边相切于点D，OB平分ABC，ODBC，OBDABC4020，BOD90OBD70.6解析
6、 过点P作PDAB于点D，PEAC于点E，PFBC于点F，P是ABC的内心，PDPEPF.S1ABPD，S2BCPF，S3ACPE，ABBCAC，S1S2S3.7解：如图所示的O.8C解析 连接OA，OB，则AO，BO分别是CAB与CBA的平分线，EAOOAB.EFAB，EOAOAB，EOA EAO，AEEO.同理可得：FOBF，EFAEBF.故选C.9A解析 如图，过点O作OMAB于点M，ONBC于点N，OQAC于点Q.DEFGHK，OMONOQ，即点O到ABC三边的距离相等，点O是ABC的内心故选A.10C解析 根据勾股定理得斜边长为17，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r3(步)
7、，则直径为6步故选C.11D解析 连接PD，连接AP并延长交BC于点E，ABAC，A40，ABCACB(180A)70.CDCB，DCBD，而ACBDCBD，CBDACB35，ABD3570105.点P是ABD的内心，AP平分BAC，BP平分ABD，AE垂直平分BC，PBDABD52.5，PBC52.53517.5.PE垂直平分BC，PBPC，PBCPCB17.5，BPC18017.517.5145.12解析 连接OD，证明BODBMC即可证明：连接OD，O为RtABC的内切圆，D，E均为切点，ODAB，OBDMBC.又C90，ODBC90，BODBMC，即BOBCBDBM.13证明：连接BE
8、，DBDC，DABDACDBC，AD为CAB的平分线DBDE，DBEDEB，即DABABEDBCCBE，ABECBE，BE平分ABC，E为ABC的内心14解：(1)证明：如图，设ACD的内切圆E与边AC相切于点I，ACD的内切圆E与边BC相切于点G，CICG.同理可得AIAF.CACB，CICG，AIBG，AFBG.(2)EHAB.理由：如图，过点E作EHAB于点H，连接AE，BE，CE，由E是ACD的内切圆可知ACEBCE.在ACE和BCE中，ACEBCE(SAS)，AECBEC，AEBE. E是ACD的内切圆的圆心，ADC90，AEC90ADC135，BECAEC135，AEB90.又AEBE，ABE为等腰直角三角形EHAB于点H，EHAB.15解：(1)ABC为等腰三角形证明：ABC的内切圆O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，CFOCEOBDOBEO90.四边形的内角和为360，EOFC180，DOEB180.，EOFDOE，BC，ABAC，ABC为等腰三角形(2)连接OB，OC，OD，OF，如图，在等腰三角形ABC中，AEBC，E是BC的中点，即BECE.由题意得AFAD4，CFCE2，BDBE，BDCF2，DFBC，.AE4，AM4.
