1、 知识要点知识要点 一、一、 如果一个如果一个n n 的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这 个方阵称为个方阵称为n阶幻方。阶幻方。 二、二、 在在n阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。 对于对于n行或者行或者n列，其和为幻和乘以列，其和为幻和乘以n，也等于所有，也等于所有 2 n 个数的和；所以，幻和个数的和；所以，幻和 2 n S n 个数 。 用用1、2、 2 n 这这 2 n 个数构造个
2、数构造n阶幻方，其幻和为阶幻方，其幻和为 22 12(1) 2 nnn n ； 用用1、2、3、4、5、6、7、8、9这这9个数构造个数构造3阶幻方，阶幻方， 其幻和为其幻和为 2 1234567893 (13 ) 15 32 。 三、三、 对于对于n阶幻方，当阶幻方，当n分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个 中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。 中心数等于幻方中所有中心数等于幻方中所有 2 n 个数的平均数
3、，也等于任意一行、一列、一条对角线中个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n个数个数 的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数 2 2 n S n 个数 n 幻和 。 用用1、2、 2 n 这这 2 n 个数构造个数构造n阶幻方，其中心数为阶幻方，其中心数为 2 1 2 n 。 幻方与数表幻方与数表 幻方幻方 【例【例1】 请将请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这这9个自然数填个自然数填 入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的入图中的
4、空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种）个数之和相等。（只要构造出一种） 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 20172016 2009 2014 2015 2013 2011 2012 2017 2010 2014 2015 2010 2017 2013 2009 2016 2011 2012 2010 2017 2012 2011 2013 2015 2014 2009 2016 2016 2011 2012 2017 2013 2009 2014 2015 2010 2010 2015 2014 2009 2013
5、 2017 2012 2011 2016 2014 2009 2016 2011 2013 2015 2010 2017 2012 2012 2017 2010 2015 2013 2011 2016 2009 2014 一、一、 若一个若一个n n 的方阵的方阵 111 1 n nnn aa aa 是是n阶幻方，则方阵阶幻方，则方阵 111 1 n nnn abcabc abcabc 也是也是n阶幻阶幻 方。方。 数表 中心数 幻和 三阶幻方的性质 幻方的构造 幻方 幻方与数表幻方与数表 （本讲本讲） %【分析】 （方法一）第一步求幻和： 幻和为(2009 20102011201220132
6、014201520162017)36039 ； 第二步求中心数：中心数为6039 32013 ； 第三步确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。 答案如图所示。 （方法二）与1 9的3阶幻方相比，每个空格上的数都增加2008； 根据1 9的3阶幻方的8个图可以求出原题的答案。答案如图所示。 【例【例1 1】 请构造出一个请构造出一个3阶幻方，使其幻和为阶幻方，使其幻和为2010。（只要构造出一种）。（只要构造出一种） %【分析】 因为3阶幻方的幻和为2010
7、； 所以，中心数为2010 3670 。 与1 9的3阶幻方的中心数5相比， 中心数增加了670 5665 或者放大了670 5134 或者先增加62再放大10或者先放大150再减小80。 根据1 9的3阶幻方的图， 将每个方格上的数“ 665 ”或者“ 134 ”或者“先 62 再 10 ”或者“先 150 再 80 ” 可以求出原题的答案。 答案如图所示，答案不惟一。 可以通过其它线性变换构造成幻方，也可以通过旋转或者镜像变换得到其它的幻方。 【例【例2 2】 一个一个3阶幻方，每个方格里的数均为自然数，且其中最大的数为阶幻方，每个方格里的数均为自然数，且其中最大的数为2009，最小的数不
8、小于，最小的数不小于 1970，请试说明，这样的幻方中 ，请试说明，这样的幻方中9个方格中的数全都不相同的有个方格中的数全都不相同的有4种，并构造出这种，并构造出这4种种 幻方。幻方。 %【分析】 因为每个方格里的数均为自然数； 所以，这9个数组成从小到大排列的等差数列的公差为自然数。 所以，最大的数2009减去最小的数的差为8的倍数。 因为2009 197039 ；所以，最大的数减去最小的数的差为8或16或24或32； 所以，符合题意的幻方共有4种。 公差为1的9个数：2001、2002、2003、2004、2005、2006、2007、2008、2009； 公差为2的9个数：1993、19
9、95、1997、1999、2001、2003、2005、2007、2009； 公差为3的9个数：1985、1988、1991、1994、1997、2000、2003、2006、2009； _ 640710660 700630680 690670650 8 35 16 7 294 每个方格上的数先+62再x10 每个方格上的数x150再 80 492 7 61 53 8 520 1270 220 970 82070 670370 1120 673 668670 666671 672 667674669 8 35 16 7 294 每个方格上的数x134 每个方格上的数+665 492 7 61
10、53 8 402670938 8041341072 536 1206 268 公差为4的9个数：1977、1981、1985、1989、1993、1997、2001、2005、2009。 构造成符合题意的3阶幻方如图所示。 【例【例3 3】 （1997年第六届年第六届“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试试题）你能在少年数学邀请赛团体决赛口试试题）你能在3 3 的方格的方格 表中每个格子里填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于表中每个格子里填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1997 吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由。吗？若能，请填
11、出一例；若不能，请说明理由。 %【分析】 如图所示，假设9个空格里能分别填上自然数A、B、C、D、E、F、G、 H、I。 1997DEF 、 1997BEH 、 1997AEI 、 1997CEG ()()()()()3DEFBEHAEICEGABCDEFGHIE 199747988 199735991ABCDEFGHI 3798859911997E ； 1997 3 E 与E是自然数相矛盾。 原假设不成立，不能填入满足题意的9个自然数在方格表中。 【例【例4 4】 （2008年年3月第九届月第九届“中环杯中环杯”小学生思维能力训练活动六年级决赛）如图所示，小学生思维能力训练活动六年级决赛）如
12、图所示，9个个 小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数的和相等。小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数的和相等。 现在现在29和和76两个数已给出，那么两个数已给出，那么x （ ）。）。 1997 2001 19812009 1993 19772005 1985 1989 2000 2003 19882009 1997 19852006 1991 1994 2003 2005 19952009 2001 19932007 1997 19992009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 IHG F
13、ED CBA 29 76 x52.5 29 76 %【分析】 中心数 2976105 52.5 22 x 【例【例5 5】 （第六届（第六届“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛）图中有少年数学邀请赛初赛）图中有9个方格，要求每个方格中填入个方格，要求每个方格中填入 不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问图中左上角的数不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问图中左上角的数 是多少？是多少？ %【分析】 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 设中心数 22 R Cx ，则幻和 3x ， 所以， 33 R C
14、幻和 1122 3?2?RCR Cxxx 31 R C 幻和 3233 313(2?)? 13R CR Cxxx 13 R C 幻和 2333 319(2?)? 19R CR Cxxx 幻和 132231 (? 13)(? 19)32? 323RCR CR Cxxxxx 所以，? 32216 【例【例6 6】 （2008年年3月第九届月第九届“中环杯中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛）如图，要在下面小学生思维能力训练活动四年级初赛）如图，要在下面 的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的3个数之和都相等，问号处应填入的数。个数之和都相等，问
15、号处应填入的数。 要求写出关键的解题推理过程。要求写出关键的解题推理过程。 13 19 ? 16 19 13 x+?-19 132x-? 19x ? 2x-? ? 13 19xx19 ? 13 x+?-13 ？8 65 4 7711 10 94 37 65 8 65 8？8 65 %【分析】 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3）。 中心数 1133 22 68 7 22 RCR C R C ， 111213132231 RCRCRCRCR CR C ； 31111222 ?6574R CRCRCR C 【例【例7 7】 （2008年天津年天津“陈省身杯陈省
16、身杯”国际青少年数学邀请赛三年级）在下面的方格中填上合适的国际青少年数学邀请赛三年级）在下面的方格中填上合适的 数，使得每一横行、竖行、斜行的三个数之和相等，则图中涂上阴影的方格中所填的数数，使得每一横行、竖行、斜行的三个数之和相等，则图中涂上阴影的方格中所填的数 是是 _ 。 %【分析】 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 111213132333 RCRCRCRCR CR C 33111223 2081810R CRCRCR C 中心数 1133 22 2010 15 22 RCR C R C 即图中涂上阴影的方格所填的数为15 【例【例8 8】 （
17、2008年年4月第七届小学月第七届小学“希望杯希望杯”全国数学邀请赛四年级第全国数学邀请赛四年级第2试）在图中的九个方格试）在图中的九个方格 里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等，则里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等，则 _N 。 %【分析】 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 幻和 112131 861630RCR CR C ；所以 22 R C 幻和 1133 3081210RCR C 820 18 20817 181512 13 2210 208 18 208 18 1010 15 N 1216 6 8 14 8184 106 1
18、6212 1884 106 162122 48N 106 1612 10 N 1216 6 8 或中心数 22 30 10 3 R C 或中心数 1133 22 812 10 22 RCR C R C ； 13 RC 幻和 2231 3010164R CR C ， 32 R C 幻和 3133 3016122R CR C ； 12 RCN 幻和 1113 308418R CR C 或 12 RCN 幻和 2232 3010218R CR C 。 【例【例9 9】 在下面在下面3 3 的表格中，填入的表格中，填入7个不同自然数，使得对于表格中每行、每列、两条对角线个不同自然数，使得对于表格中每行
19、、每列、两条对角线 上的上的3个数之和等于个数之和等于21。 %【分析】 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 幻和为21；中间数 22 21 7 3 R C ； 21 R C 幻和 2223 217410R CR C ， 33 R C 幻和 1122 21876RCR C ； 31 R C 幻和 1121 218103RCR C ， 13 RC 幻和 2333 214611R CR C ； 12 RC 幻和 1113 218112RCRC ， 32 R C 幻和 3133 213612R CR C 。 【例【例1010】 （2008年年4月第六届小学月第
20、六届小学“希望杯希望杯”全国数学邀请赛四年级第全国数学邀请赛四年级第2试）在如图所示的九宫试）在如图所示的九宫 格中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等。已知中格中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等。已知中 21 ，学，学 9 ，欢，欢 12 ，则希、望、杯的和是，则希、望、杯的和是 _ 。 %【分析】 “中”“小”“学”“小”“望”“欢” “中”“学”“望”“欢” 4 8 12 2 11 4 63 10 8 7 3 11 4 6 7 8 10 8 4 6 8 74107 迎欢受 杯望希 学小中 中心数“望”“中”“学”“欢”=219121
21、8 幻和“望”318 354 “希”“望”“杯”幻和54 【例【例1111】 如图，用如图，用1 9 这九个数字补全三阶幻方，并求出幻和是多少？这九个数字补全三阶幻方，并求出幻和是多少？ %【分析】 中心数为5，那么幻和为5 3 15 。 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 11 15654RC ， 21 15429R C ， 23 15951R C ， 32 15267R C 12 15753RC ， 13 15618RC 【例【例1212】 （2006年第十五届日本小学算术奥林匹克大赛预赛）如图年第十五届日本小学算术奥林匹克大赛预赛）如图1和图和图2
22、所示，当在空白的所示，当在空白的 中填入适当的数后，使得横向、竖向、斜向的中填入适当的数后，使得横向、竖向、斜向的3个数之和都相等，求个数之和都相等，求 ? 中应填入的数。中应填入的数。 %【分析】 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 1527 306 24219 18 12 18 21 小9 杯希 受 12 迎12 小 杯望希 受迎 921 2 5 6 1 34 7 8 9 2 5 6 图2图1 ? 3 9 12 ? 11 8 图1：中心数 1133 22 812 10 22 RCR C R C 因为 112131132231 RCR CR CRCR
23、CR C ； 所以 13112122 ?811 109RCRCR CR C 。 图2：设中心数 22 R Cx ，则幻和 3x ； 所以， 31 R C 幻和 1322 3?2?RCR Cxxx 11 RC 幻和 2131 39(2?)? 9R CR Cxxx 33 R C 幻和 3231 33(2?)? 3R CR Cxxx 幻和 112233 (? 9)(? 3)32? 123RCR CR Cxxxxx ； 所以，? 1226 【例【例1313】 如图所示，要在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列以及两条对角线上的三个数如图所示，要在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列以及两条对角线上
24、的三个数 之和都相等，则之和都相等，则 _CADFBE 。 【分析】幻方。 因为12 914DFF ，所以 9141211D ； 所以依次可以填出 8A 、 13B 、 10F 、 16C 、 6E （如图所示）。 所以 16811 1013 634CADFBE 。 6 ? 9 3x+?-3 ? x 32x-? 9 x+?-9 2x-? ? x9 3 x9 3 ? 9 13 711 98 1110 12 98 1110 12 10 8 11 12 14F9 EDC B12A 【例【例1414】 （2006年年3月第九届月第九届“中环杯中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛第二（小学生思维能力
25、训练活动四年级初赛第二（3）题）在）题）在 图的空格中填上不同的自然数，使每行、每列和两条对角线的四个数之和等于图的空格中填上不同的自然数，使每行、每列和两条对角线的四个数之和等于264，求，求 ABCDEFGH 的和是多少？的和是多少？ 【分析】填数，四阶幻方。 26468899611A ； 2646891 1986E ； 26411869869C ； 26491698816B ； 26468169981G ； 26481981966H ； 26489916618D ； 26499188661F ； 所以 11 1669188661816616ABCDEFGH 。 【例【例1515】 （20
26、05年年3月第五届月第五届“中环杯中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛第一（小学生思维能力训练活动四年级决赛第一（5）题）把）题）把 1 9九个数分别填入如图所示的九个小圆圈内，使图中的大小六个圆，每个圆上的数字 九个数分别填入如图所示的九个小圆圈内，使图中的大小六个圆，每个圆上的数字 和相等。和相等。 【分析】填数，数阵图。 因为4小圆上的数字和相等； 所以4小圆上除去中间的小圆圈内的数字其它3个小圆圈内的数字和相等； 14109 61116 13128 HG FED CB A 1998 99 8891 96896868 89 11 96 88699116 99 18 86 61 199
27、86681 （相等于三阶幻方中有2行、2列上的数相等） 所以本题的解题思路实际上是三阶幻方（九宫格）的变形， 如图一所示为一个三阶幻方；如图二所示是将这个三阶幻方变形的数阵图。 【例【例1616】 在立方体上分布在立方体上分布1 8 ，使每面，使每面4数之和均相等，如图所示。数之和均相等，如图所示。 %【分析】 最简单的幻立方体，每面4顶角上数字之和均为18。7，8不能在一条直线上， 只能在面对角线或者体对角线。答案如图所示。 数表数表 图二图一 18 3 4 5 6 2 7 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 36 4 5 1 27 8 【例【例1717】 （2008年年3月第六届小学月
28、第六届小学“希望杯希望杯”全国数学邀请赛四年级第全国数学邀请赛四年级第2试）把试）把1991、1992、 1993、 、1994、1995分别填入图中的五个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖分别填入图中的五个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖 列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是 _ 。 %【分析】 如图所示，标上字母A、B、C、D、E ACEBCD AEBD ABDE 的和为偶数 1991 19921993199419959965ABCDE 为奇数，奇数偶数奇数 C 为奇数，中间方格中填的数 1991C 或1993或19
29、95 【例【例1818】 把把1、2、3、4、5、6分别填入图中的各方格中，使得横行分别填入图中的各方格中，使得横行3个数的和与竖列个数的和与竖列4个数的个数的 和相等。和相等。 %【分析】 如图所示，给6个空格分别标上A、B、C、D、E、F。 数阵中横行3个数的和与竖列4个数的和相等，即ABCBDEF ； 数阵中左右2个数的和与下面3个数的和相等，即ACDEF ； 数阵中左右2个数与下面3个数的和为偶数，即ACDEF 为偶数； 12345621ABCDEF 为奇数，奇数偶数奇数； 第一行中间的数B为奇数，即1B 或 3B 或 5B 。 当第一行中间的数 1B 时， 21 120ACDEF ，
30、 20210ACDEF A 、C为4、6，D、E、F为2、3、5； 当第一行中间的数 3B 时， 21318ACDEF ， 1829ACDEF A 、C为4、5，D、E、F为1、2、6； E DCB A 当第一行中间的数 5B 时， 21516ACDEF ， 1628ACDEF A 、C为2、6，D、E、F为1、3、4。 答案如图所示，答案不唯一。对于每一张图，A、C之间可以互换，D、E、F之间可 以互换。 【例【例1919】 （2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛队际赛）如图，年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛队际赛）如图，11个方格内分别各个方格内分别各 填入一个数，使得任何
31、连续三个方格内所填的数之和为填入一个数，使得任何连续三个方格内所填的数之和为21。已知第一个方格内所填的数。已知第一个方格内所填的数 为为7，第九个方格内所填的数为，第九个方格内所填的数为6（方格由左向右数起）。请问第（方格由左向右数起）。请问第2个方格内所填的数是个方格内所填的数是 什么？什么？ %【分析】 设 i A 表示从左向右第i个空格中的数（ 1i 、2、3、4、5、6、7、8、9、 10、11） 345456 21AAAAAA ， 678789 21AAAAAA ； 36 AA ， 69 AA ； 39 6AA ； 123 21AAA ； 213 ?2121768AAA ， 即第2
32、个方格内所填的数为8。 【例【例2020】 在下面每个方格中填一个数，使横行任意在下面每个方格中填一个数，使横行任意3个相邻方格内的数字之和都是个相邻方格内的数字之和都是15，竖列任意，竖列任意3 个相邻方格内的数字之和都是个相邻方格内的数字之和都是18。 F E D CBA1 2 3 4 56 1 23 456 65 432 1 6?7 87878778666 87666666?7 %【分析】 如图所示，给14个空格分别标上A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、 K、L、M、N。 竖列任意3个相邻方格内的数字之和都是18 即3 818ABABCBCDCDEDEFEF 在竖列中，若2个数中间
33、相隔2个数，则这2个数相等，即3 CF ， 8AD ， BE 18387BE 横行任意3个相邻方格内的数字之和都是15 即 588815GHGHIHIJIJJKKLKLMLMN 在横行中，若2个数中间相隔2个数，则这2个数相等，即5 IKN ，G JL ， 8HM 15582GJL 答案如图所示。 8 5 3 【例【例2121】 如图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、竖列相邻三个数的和都为如图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、竖列相邻三个数的和都为20，那么，那么所所 代表的数是多少？代表的数是多少？ G5 8 3 7 8 3 7 8 3 58585 GG585 8 3 7 3 8 7
34、 3 8585222 7 7 5 G HIJ8 KL M N 3 8 3 3 8 B B NMLKJIHG58 8 3 3 3 8 NMLKJIHG F E D C B A 8 5 3 8 2 6 6 8 2 0 x+6x+6x+6 14-x 14-x 14-x 12-x 12-x 12-x xxx6 8 2 %【分析】 设左上角方格中的数为x； 由相邻三个数的和为20，可知横行、竖列都以3个数为周期循环。 如图所示，因为 (14)(6)20xx ； 所以 0 。 一课一练一课一练 【练习练习1】 将将5、10、15、20、25、30、35、40、45这九这九 个数分别填入下图，使每一行、每一
35、列、两条对角线上三个数的和相等。个数分别填入下图，使每一行、每一列、两条对角线上三个数的和相等。 【分析】答案如图所示。 【练习练习2】 将将20以内除数以内除数1以外的所有奇数编成一个以外的所有奇数编成一个3阶幻方。阶幻方。 【分析】20以内除数1以外的奇数为3、5、7、9、11、13、15、17、19，共9个。答案如图 所示。 【练习练习3】 （2007年春武汉明心奥数挑战赛五年级）在如图所年春武汉明心奥数挑战赛五年级）在如图所 示的魔方空格中填入示的魔方空格中填入5个数字，使魔方的每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都个数字，使魔方的每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都 相等。请问
36、这相等。请问这5个数字之和是个数字之和是 _ 。 30540 352515 1020 45 19 17 15 13 11 9 7 5 3 【分析】设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 中心数 1133 22 713 10 22 RCR C R C 或中心数 1331 22 812 10 22 RCR C R C ； 幻和 22 310330R C ； 122122233212223221222322 ()()RCR CR CR CR CRCR CR CR CR CR CR C 幻和22 2R C 3021050 。 所以这5个数之和为50。 【练习练习4】
37、 图中有九个方格，要求每个方格中填入不相同的数，图中有九个方格，要求每个方格中填入不相同的数， 使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问图中左上角的数是多少？使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问图中左上角的数是多少？ 【分析】填数，三阶幻方。 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 设中心数 22 R Cx ，则幻和 3x ， 所以， 33 R C 幻和 1122 3?2?RCR Cxxx 31 R C 幻和 3233 336(2?)? 36R CR Cxxx 13 R C 幻和 2333 324(2?)? 24R CR Cxxx 幻
38、和 132231 (? 36)(? 24)32? 603RCR CR Cxxxxx 1312 87 15 911 51312 87 1010 78 1213 24 36 ? 24 36 30x+?-24 x+?-362x-? x 36 24 ? 所以，? 60230 【练习练习5】 下图中，三阶幻方的空格中填入适当的数，使幻和等下图中，三阶幻方的空格中填入适当的数，使幻和等 于于27。 %【分析】 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 因为幻和为27，那么 22 278109R C 因为 31 13R C ，那么 13 271395RC 那 么 ， 12
39、278527RC ， 32 2713 104R C ， 21 271386R C ， 13 2751012RC 【练习练习6】 如图，当如图，当A,B,C,D分别是多少时，则每行，每列以分别是多少时，则每行，每列以 及每条对角线上三个数的和相等。及每条对角线上三个数的和相等。 %【分析】 中心数为45，那么幻方为45 3 135 。 135494442A , 135424746B ， 135464841C , 135484443D 8 1310 4 6 9 12 1458 1310 A49 44 47 45 D BC48 42 49 44 47 45 41 43 4648 【练习练习7】 把九
40、个连续正整数填上图中，使每行，每列以及每条把九个连续正整数填上图中，使每行，每列以及每条 对角线上的三个数之和都等于对角线上的三个数之和都等于30。 %【分析】 中心数为30 310 ， 设 ij RC 表示第i行、第 j 列方格中的数（ ,1i j 、2、3） 23 3012108R C ， 13 309813RC ， 31 3013 107R C ， 11 3091011RC 12 3011 136RC ， 32 307914R C 【练习练习8】 将将15 21 这七个数分别填入左下图中这七个数分别填入左下图中的的里，使每里，使每 条直线上的三个数之和都相等，中间的圆圈可以填什么？条直线
41、上的三个数之和都相等，中间的圆圈可以填什么？ 【分析】中间数可以填15，18，21。 【练习练习9】 将将11 19 填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数 之和相等。之和相等。 【分析】11 12 13141516171819135 ，可见重叠数为奇数：11 3579、1 、1 、1 、1 ，那 么可得答案如下图所示： 9 12 【练习练习10】 如图，如图，15个方格内分别各填入一个数，使得任何连个方格内分别各填入一个数，使得任何连 续三个方格内所填的数之和为续三个方格内所填的数之和为22。已知第一个方格内所填的数为。已知第一个方格内所填的数为1，第六
42、个方格内所填，第六个方格内所填 的数为的数为10（方格由左向右数起）。请问第（方格由左向右数起）。请问第2个方格内所填的数是什么？个方格内所填的数是什么？ %【分析】 设 i A 表示从左向右第i个空格中的数（ 1i 、2、3、4、5、6、7、8、9、 10、11、12、13、14、15） 1471013 1AAAAA ， 3691215 10AAAAA 2581114 221 1011AAAAA 即第2个方格内所填的数为11。 【练习练习11】 如图，如图，15个方格内分别各填入一个数，使得任何连个方格内分别各填入一个数，使得任何连 续三个方格内所填的数之和为续三个方格内所填的数之和为22。
43、已知第一个方格内所填的数为。已知第一个方格内所填的数为1，第六个方格内所填，第六个方格内所填 的数为的数为6（方格由左向右数起）。请问第（方格由左向右数起）。请问第2个方格内所填的数是什么？个方格内所填的数是什么？ %【分析】 设 i A 表示从左向右第i个空格中的数（ 1i 、2、3、4、5、6、7、8、9、 10、11、12、13、14、15） 1471013 1AAAAA ， 3691215 6AAAAA 2581114 221615AAAAA 即第2个方格内所填的数为15。 19 18 17 16 11 12 13 1415 19 1817 16 11 12 13 1415 15 14
44、13 12 11 1617 18 1919 1817 16 11 12 13 14 15 11 12 13 14151617 18 19 101 16 【练习练习12】 如图，下面方格内分别各填入一个数，使得任何连续如图，下面方格内分别各填入一个数，使得任何连续 三个方格内所填的数之和为三个方格内所填的数之和为22。已知第一个方格内所填的数为。已知第一个方格内所填的数为1，第六个方格内所填的，第六个方格内所填的 数为数为6（方格由左向右数起）。请填完所有的方格。（方格由左向右数起）。请填完所有的方格。 %【分析】 设 i A 表示从左向右第i个空格中的数（ 1i 、2、3、4、5、6、7、8、
45、9、 10、11、12、13、14、15） 1471013 1AAAAA ， 3691215 6AAAAA 2581114 221615AAAAA 同理，竖行答案如图所示。 【练习练习13】 在在8个小圆中填入个小圆中填入1 8 ，使每条直线和圆四个数的和，使每条直线和圆四个数的和 相等。相等。 61 1 151515 15 15 156 666 6 6 1111 1 1561 1 %【分析】 最简单的幻圆，每条线4个数字之和均为18。答案如图所示。 补充补充 【补充【补充1】 （2009年年8月月9日日本第日日本第 13 届初小算术奥林匹克第届初小算术奥林匹克第2题）在图的题）在图的9个方格中各填入一个个方格中各填入一个 1 9的数字，使其横、竖相连的 的数字，使其横、竖相连的3个方格中数字之和都是个方格中数字之和都是15，斜向相连的，斜向相连的3个方格中的个方格中的 数字之和一个是数字之和一个是15，另一个斜向相连的，另一个斜向相连的3个方格中的数字之和不是个方格中的数字之和不是15。请写出。请写
