1、一、正态分布与正态曲线一、正态分布与正态曲线若总体密度曲线就是或近似地是函数：若总体密度曲线就是或近似地是函数：,21222xexfx的图象的图象则其分布叫则其分布叫正态分布正态分布，常记作：常记作：。2,N xf的图象称为的图象称为正态曲线正态曲线。注：注：1)1)正态分布由参数正态分布由参数,唯一确定唯一确定.,.,分别表示总分别表示总体的平均数和标准差体的平均数和标准差.2)2)其函数图象称为正态曲线其函数图象称为正态曲线.3)3)这个总体是有无限容量的抽象总体这个总体是有无限容量的抽象总体.二、正态曲线的性质二、正态曲线的性质轴不相交；轴的上方，与曲线在xx向它无限靠近。轴为渐进线，无
2、限延伸时，以且当曲线向左、右两边时，曲线下降。并时，曲线上升；当当xxx时位于最高点；对称，且在曲线关于直线xx确定。一定时，曲线的形状由当散；，表示总体的分布越分越大，曲线越“矮胖”总体的分布越集中；曲线越“瘦高”，表示越小,三、标准正态曲线三、标准正态曲线 当当0 0，1 1时，正态总体称为标准正态总体，其时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是相应的函数表达式是 其相应的曲线称为其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态曲线。标准正态总体。标准正态总体N N（0 0，1 1）在正态总体的研究中占有重要地位。）在正态总体的研究中占有重要地位。任何任何正态分布正态分布的问题的问题均可均可
3、转化成转化成标准总体分布标准总体分布的概率问题。的概率问题。221(),(,)2xf xex 五、标准正态分布表五、标准正态分布表由于标准正态总体由于标准正态总体 在正态总体的研究中有非常重在正态总体的研究中有非常重要的地位，已专门制作了要的地位，已专门制作了“标准正态分布表标准正态分布表”见见p58p58。1,0N表中，相应于表中，相应于 的值的值 是指总体取值小于是指总体取值小于 的概率，即：的概率，即：0 x0 x)(0 x,00 xxPx如图中，左边阴影部分：如图中，左边阴影部分：四、标准正态分布表四、标准正态分布表由于标准正态曲线关于由于标准正态曲线关于 轴对称，表中仅给出了对轴对称
4、，表中仅给出了对应与非负值应与非负值 的值的值 。y0 x 0 x如果如果 那么由下图中两个阴影部分面积相等知：那么由下图中两个阴影部分面积相等知：00 x.100 xx利用标准正态分布表，可求出标准正态总体在任一利用标准正态分布表，可求出标准正态总体在任一区间区间 内取值的概率。内取值的概率。21,xx 12xxp即，可用如图的即，可用如图的蓝色蓝色阴影部分表示。阴影部分表示。公式：公式：即事件在一次试验中几乎不可能发生。即事件在一次试验中几乎不可能发生。小概率事件的含义：假设检验思想小概率事件的含义：假设检验思想在区间在区间(-3,+3)(-3,+3)之外取值的概率不足之外取值的概率不足0
5、.3%,0.3%,即即几乎不可能在区间几乎不可能在区间(-3,+3)(-3,+3)之外取值之外取值,人们常把这一点作为数理统计中的基本原则之一人们常把这一点作为数理统计中的基本原则之一,称称为为“3”“3”原则原则.(小概率事件小概率事件)假设检验的基本思想假设检验的基本思想如下三步：进行假设检验可归结为而言的，假设检验是就正态总体.1).N提提出出统统计计假假设设统统计计假假设设里里的的变变量量服服从从正正态态分分布布（，）(3.,3).2)a 确确定定一一次次试试验验中中 的的取取值值是是否否落落入入内内.(3,3);(3,3)3.)aa 作作出出判判断断如如果果，接接受受统统计计假假设设
6、如如果果，就就拒拒绝绝统统计计假假设设例例1.1.查表求下列各值查表求下列各值(0.5)0.5)、(2.3)(2.3)、(1.45)1.45)0.30850.30850.98930.98930.07350.0735例例2.2.灯泡厂生产的白炽灯寿命灯泡厂生产的白炽灯寿命(单位单位:h h),),已知已知 N(1000,30N(1000,302 2),),要使灯泡的平均寿命为要使灯泡的平均寿命为10001000h h的概率为的概率为99.799.7,问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？解：解：因为灯泡寿命因为灯泡寿命 N(1000,30 N(100
7、0,302 2)，故故在在(1000(1000 3 3 30,1000+330,1000+3 30)30)内取值的概率为内取值的概率为99.799.7，即在即在(910,1090)(910,1090)内取值的概率为内取值的概率为99.799.7，故灯泡的最低使用寿命应控制在故灯泡的最低使用寿命应控制在910910h h以上以上 例例3.假设某市今年高考考生成绩假设某市今年高考考生成绩 服从正态分布服从正态分布N(500,1002)，现有现有25000名考生，计划招生名考生，计划招生10000名，试估计录取分数线名，试估计录取分数线解：解：设分数线为设分数线为，那么分数超过，那么分数超过 的概率
8、应为录取率，即的概率应为录取率，即4.02500010000)(xP100500 xy令令4.0)100500(yP则则6.0)100500(4.01)100500(yP查表得查表得(0.25)0.5987，故，故25.0100500 525故录取分数线估计为故录取分数线估计为525分分 例例4.某县农民年均收入服从某县农民年均收入服从=500元元，=20元的正态分布元的正态分布(1)求此县农民年均收入在求此县农民年均收入在500元元 520元间人数的百分比元间人数的百分比(2)如果要使农民的年均收入在如果要使农民的年均收入在(a,+a)的概率不少于的概率不少于0.95，则则a至少为多大？至少
9、为多大？解：解：设设 表示此县农民年均收入，则表示此县农民年均收入，则N(500,202)20500500()20500520()520500()1(P =(1)(0)=0.3431即此县农民年均收入在即此县农民年均收入在500元元 520元间人数约为元间人数约为34.31%95.0)20()20()()2(aaaaP 95.0)20(1)20(aa则则22N 5010N 60 41702655.某人从城市南郊某地乘公共汽车前往北郊火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布（，）；第二条路线沿环城公路走，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布（
10、，）（）若只有 分钟可用，问应走哪条路？（）若只有 分钟可用，又例应走哪条路？972202105070105001050707001.P）（）（）（）（）（赶赶到到的的概概率率为为：）走走第第一一条条路路线线，及及时时（为为行行车车时时间间解解：设设993805246070450046070700.）（）（）（）（）（到到的的概概率率为为：走走第第二二条条路路线线，及及时时赶赶.P.条路线条路线在这种情况下应走第二在这种情况下应走第二22N 5010N 60 41702655.某人从城市南郊某地乘公共汽车前往北郊火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分
11、）服从正态分布（，）；第二条路线沿环城公路走，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布（，）（）若只有 分钟可用，问应走哪条路？（）若只有 分钟可用，又例应走哪条路？93320511050656502.P).(）（）（）（的的概概率率为为：走走第第一一条条路路线线及及时时赶赶到到.8944025146065650.P）（）（）（的的概概率率为为：走走第第二二条条路路线线及及时时赶赶到到.走走第第一一条条路路线线因因此此，在在这这种种情情况况下下应应练习练习1:1:设随机变量设随机变量 ,且且P(P(-2.5)=0.6915,P(-2.5)=0.6915,P(3.5)=0.8413,3.5)=0.84
12、13,求求与与.),(2N解解:;6915.0)5.2()5.2(1)5.2(P.8413.0)5.3()5.3(P.4,5.0;5.352,15.35.05.2故即查表得练习练习2:2:公共汽车的高度是按照确保公共汽车的高度是按照确保99%99%以上的成年男子以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的头部不跟车门顶部碰撞设计的,如果某地成年男子的身如果某地成年男子的身高高N(173,7N(173,72 2)(cm),)(cm),问车门应设计多高问车门应设计多高?解解:设公共汽车的车门的设计高度为设公共汽车的车门的设计高度为x(cm),x(cm),由题意由题意,需需 使使P(P(x)1%.x)2
13、.33,所以所以x189.31.即公共汽车的车门的设计高度为即公共汽车的车门的设计高度为190cm,可确保可确保99%以上的成年男子以上的成年男子 头部不跟车门顶部碰撞头部不跟车门顶部碰撞.练习练习3:3:某次抽样调查结果表明某次抽样调查结果表明,考生的英语成绩考生的英语成绩(百百分制分制)近似服从正态分布近似服从正态分布,平均成绩为平均成绩为7272分分,96,96分以分以上的占考生总数的上的占考生总数的2.3%,2.3%,求考生的英语成绩在求考生的英语成绩在6060至至8484之间的概率之间的概率.解解:考生的英语成绩考生的英语成绩N(72,).2;023.0)7296(1)96(1)96
14、(PP则则：.977.0)24(查表可得查表可得24/=2,所以所以=12,故故N(72,122).6826.018413.021)1(2)1(1)1()1()1()127260()127284()8460(P1)了解正态分布的广泛应用性了解正态分布的广泛应用性.2)知道正态分布的参数知道正态分布的参数,对对正态曲线的形状与位正态曲线的形状与位置的影响置的影响;若若N(,2),则则:E=,D=2.3)会利用标准正态分布表计算一般正态分布的概率会利用标准正态分布表计算一般正态分布的概率,会会 计算实际问题中的有关正态分布的概率计算实际问题中的有关正态分布的概率.4)在已知总体是正态分布时在已知总
15、体是正态分布时,会估计会估计,2,估计总体在估计总体在 区间内的概率区间内的概率.5)了解正态分布在的广泛应用性了解正态分布在的广泛应用性.(-3,+3)之外之外 取值的概率很小取值的概率很小,通常认为小概率事件在一次试验中通常认为小概率事件在一次试验中 几乎不可能发生几乎不可能发生.从而了解假设检验从而了解假设检验.补补1:设设N(1,),(1)试求试求:P(02),P(57),P(2.3);(2)求常数求常数c,使使P(c)=2P(c).22解解:(1);3830.016915.02)5.0(1)5.0()210()212()20(P;0214.09773.09987.0)2()3()21
16、5()217()75(P注注:与前一概率相比与前一概率相比,区间长度相同区间长度相同,但概率有很大不同但概率有很大不同,这也是这也是 正态分布的特性之一正态分布的特性之一.2578.07422.01)65.0(1)213.2(1)3.2(1)3.2(PP(2).14.043.021,31)21(1)21(3)21(2)21(1)(2)(cccccccPcP查查表表得得 注注:对任一正态分布对任一正态分布 ,有有 .),(2 N)()(xxP补充补充2:某贫困山区居民家庭收入可以认为是服从正态分布某贫困山区居民家庭收入可以认为是服从正态分布,现调现调查查10户户,得各户的人均收入为得各户的人均收
17、入为(单位单位:元元/户户):97.89,102.14,143.20,151.30,103.43,88.90,144.20,120.34,123.34,131.64.试以试以95%以上的可靠性估计该地区居民家庭收入的平均值以上的可靠性估计该地区居民家庭收入的平均值 的所在范围的所在范围.解解:22221(97.89 102.14 143.20131.64)120.65(,101(97.89 120.65)(102.14 120.65)(131.64 120.65)107.815.2.795.xSS Q元元）在正态分布在正态分布N(,2)中中,为总体平均数为总体平均数,为总体的标准差为总体的标准差,故可用故可用 分别来估计分别来估计、.Sx、由于正态总体在由于正态总体在(-2,+2)内取值的概率为内取值的概率为95.4%,故以故以(120.65-22.795,120.65+22.795)=(115.06,126.24)来来估计该估计该地区居民人均收入的范围地区居民人均收入的范围,则可靠性在则可靠性在95%以上以上.
