1、谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用-以 2019 年几道模拟题为例顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题一、【2019 合肥一模理科 21】二、【2019 顺德三模理科 21】三、【2019 佛山 3 月统考（北京燕博园）理科 21】四、【2019 广州一模理科 21】五、【2019 广东模拟理科 21】六、【2018 广州二模理科 21】七、【2013 全国二卷理科 21】一、【2019 合肥一模理科 21】21(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) = ex - ln(x +1) ( e 为自然对数的底数)()求函数 f (x) 的单调区间；()若 g(x) = f (x) - a
2、x ， a R ，试求函数 g(x) 极小值的最大值解析：()易知 x -1 ，且 f (x) = ex -1.x +1【求一阶导数发现是超越函数，无法确定导数的零点】令 h(x) = ex -1x +1，则 h(x) = ex +1(x +1)2 0 ，【进一步求二阶导数，发现二阶导数恒大于 0,说明一阶导数递增】函数 h(x) = ex -1x +1在 x (-1，+ ) 上单调递增，且 h(0) = f (0) = 0 .【找到一阶导数的一个零点，而且是唯一的由负变正的零点，从而确定单调区间】 可知，当 x (-1, 0) 时， h(x) = f (x) 0 ， f (x) = ex -
3、 ln(x +1) 单调递增.函数 f (x) 的单调递减区间是(-1, 0) ，单调递增区间是(0, +) .【反思：有的学生提出，我们很容易就观察得到了 h(0) = f (0) = 0 .但是，对于一般的超越函数，如果无法观察得到函数的零点，也无法求解函数零点的时候， 我们该怎么办呢？这个问题，实际上就是我们第二问要解决的问题，解决的办法是：虚设零点，消元求值】() g(x) = f (x) - ax = e x - ln(x +1) - ax ， g(x) = f (x) - a . 由()知， g(x) 在 x (-1，+ ) 上单调递增，当 x -1时， g(x) - ；当 x +
4、 时， g(x) + ，则 g(x) = 0 有唯一解 x0 .【对于导函数 g(x) = f (x) - a ，我们无法求解其零点，但由于导函数在定义域两端可以取到正无穷和负无穷，所以导函数在定义域内有唯一的零点，这时可以设这个唯一的零点为 x0 】00可知，当 x (-1, x ) 时， g(x) 0 ， g(x) = ex - ln(x +1) - ax 单调递增，0000函数 g(x) 在 x = x 处取得极小值 g(x ) = ex0 - ln(x +1) - ax ，0且 x 满足ex0 -1x0 +1= a . g(x ) = (1 - x )ex0 - ln(x+1) +1
5、-1.x0 +1令j(x) = (1 - x)ex - ln(x +1) +1 -1，则j(x) = - x +1 .000x ex +1(x +1)2 【最后要求的最大值就转变为只含有一个变量的函数，从而把问题转化为求函数的 最大值】可知，当 x (-1, 0) 时，j(x) 0 ，j(x) 单调递增； 当 x (0, +) 时，j(x) 1 时，求 f (x) 的单调递增区间；二、【2019 顺德三模理科 21】0 f ( x0 ) 0) 故 a 1时，由 f (x) 0 ，xx得0 x a 故 f (x) 的单调递增区间为(0,1), (a, +) 1（2）当- a 0 时， f (x)
6、 在(1, +) 上单调递增，在(0,1) 上单调递减21则 f (x)min = f (1) = -a - 2 0 ，且当 x 0 时，f (x) + ；当 x + 时，f (x) + 所以 f (x) 有两个零点三、【2019 佛山市 3 月统考（北京燕博园）理科 21】-“函数连锁反应”、虚设零点（1）求证：当 a 0 时， f (x) 无极值点；（2）若存在区间(m, n) (0, +) ，对x (m, n), f (x) 1 时，1 (0,1) ， 由 h(x) = 1 - a3 cos ax = 0 可得cos ax = 1 ，a3a3所以存在 x 0, p ，使 h(x ) =
7、08 分02a 0又因为 h(0) = 0 ，所以当 x (0, x0 ) 时， h(x) 0 ，即 g(x) 0 ，所以函数 g(x) 在(0, x0 ) 上是单调减函数，又因为 g(0) = 0 ，所以当 x (0, x0 ) 时，g(x) 0 ， 即 f (x) 0 ，所以函数 f (x) 在(0, x0 ) 上是单调减函数，又因为 f (0) = 0 ，所以当 x (0, x0 ) 时， f (x) 0 ，即存在区间(0, x0 ) (0, +) ，对x (m, n), f (x) 112 分四、【2019 广州一模理科 21】五、【2019 广东模拟理科 21】六、【2018 广州二
8、模理科 21】21（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = e x -x2 - ax （1）若函数 f ( x) 在 R 上单调递增，求 a 的取值范围；ln 2 ln 2 2（2）若 a = 1 ，证明：当 x 0 时， f ( x ) 1- 2 2 参考数据： e 2.71828 ， ln 2 0.69 上面这道题目中，在处理导数的零点的时候，由于导函数是一个超越函数，直接求它的高考压轴题当中是经常可以看到的。零点是困难的，这时我们只需虚设一个零点 x0 ，但是我们设而不求，只需要进行整体的替换即可，然后在处理超越型原函数的过程中把指数函数替换掉，化繁为简，把原函数转化为 一个简
9、单的二次函数，从而可以简单的处理后面的最值比较大小的问题。这样的处理方式在七、【2013 全国二卷理科 21】21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)exln(xm)(1) 设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m2 时，证明 f(x)0.解：(1)f(x) ex -1.x + m由 x0 是 f(x)的极值点得 f(0)0，所以 m1.于是 f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x) ex -1.x +1函数 f(x) ex -1x +1在(1，)单调递增，且 f(0)0.因此当 x(1,0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0. 所以 f(x)在(1,0)单调递减，在(0，)单调递增(2)当 m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当 m2 时，f(x)0.当 m2 时，函数 f(x) ex -又 f(1)0，f(0)0，1x + 2在(2，)单调递增故 f(x)0 在(2，)有唯一实根 x0，且 x0(1,0) 当 x(2，x0)时，f(x)0；当 x(x0，)时，f(x)0，从而当 xx0 时，f(x)取得最小值0由 f(x)0 得ex0 1x0 + 2，ln(x02)x0，1( x + 1)2故 f(x)f(x0)x0 + 2x0 0 0.x0 + 2综上，当 m2 时，f(x)0.
