1、 初二数学讲义（轴对称）知识梳理1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。4、轴对称的性质：（1） 成轴对称的两个图形全等。（2） 对称轴与连
2、结“对应点的线段”垂直。（3） 对应点到对称轴的距离相等。（4） 对应点的连线互相平行。5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 底角只能是锐角。（2）性质：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。（3）判定方法： 定义法：有两条边相等的三角形
3、是等腰三角形。判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。7、等边三角形：（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。（2）性质：等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 等边三角形的三个内角都等于60。（3）判定方法： 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。判定1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。判定2：有一个内角是60的等腰三角形是等边三角形。（4）重要结论1：在Rt中，30角所对直角边等于斜边的一半。（5）
4、重要结论2：在Rt中，所对如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是。8、平面直角坐标系中的轴对称：（1） （2）说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。9、对称轴的画法：在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。注意：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。 成轴对称的两个图形只有一条对称轴。10、常见的轴对称图形：（1） 英文字母。 A B D E H I K M O T U V W X Y（2） 中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，
5、山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。（3） 数字。0 3 8（4） 图形。说明：圆有无数条对称轴。 正n边形有n条对称轴。11、其他结论（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。12、作图题专练ACDOB1、如图：已知AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到AOB两边的距离相等2、已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M（1）如图，在l上求作一点M，使得 AMBM 最小；作法：（2）如图，在l上求作一点M，使得AMBM最大 作法：
6、（3）如图，在l上求作一点M，使得AMBM最小（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题变式练习1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且APMBPN 2、如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小.3、如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQa，四边形APQB的周长最小 4、已知：如图点M在锐角AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得PMQ的周长最小.5、已知：如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到O
7、A边的距离之和最小基本问题：1.如图，DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则ABD的周长为_。2. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，这个等腰三角形的底边长是_.3. 如图，ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则四个结论正确的是（ ）点P在A的平分线上; AS=AR;QPAR;BRPQSP.A全部正确; B仅和正确; C仅正确; D仅和正确4ABC为等腰直角三角形，C=90，D为BC上一点，且AD=2CD， 则DAB=（ ）A30 B45 C60 D155. 点P为AOB内一点，分别作出P点关
8、于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则PMN的周长为 6、如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为 7.点关于一三象限角分线对称的点的坐标是_.P（第8题）BOCDA8. 如图，在等边ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是边AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD，要使点D恰好落在边BC上，则AP的长是( ) A4 B5 C 6 D 8拓展问题9. 在ABC中，高AD、BE所在直线交于H点，若BHAC， 则ABC（ ） A30
9、B45或135 C45 D30或150ABCMN（第10题）10. 如图，在ABC中，AB=，CAB=15，M、N分别是AC、AB上的动点，则BM+MN的最小值是_ 11. 有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度12. 已知BD是等腰ABC一腰上的高，且ABD=40，则ABC的顶角度数是 综合问题13.ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G，求证：EG=FGCBEGAFEACBD14. 如图，ABC中，C=90，D为AB上一点，作DEBC于E，若BE=AC,BD=,DE+BC=1,求ABC的度数15. 如图，已知在A
10、BC中，AB=AC，BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F求证：BF=2CF16. 已知：如图ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD17. 在等腰ABC中，A=30，AB=8，则AB边上的高CD的长是 注意：求解本题时，可以用定理：在直角三角形ABC中，则.18. 已知：在ABC中，CAB=2，且030，AP平分CAB. (1)如图,若=21 ABC=32,且AP交BC于点P,试探究线段AB,AC与PB之间的数量关系,并对你的结论加以证明；答:线段AB,AC与PB之间的数量关系为: 证明： （2）如图,若ABC=60-，点
11、P在ABC的内部，且使CBP=30，求APC的度数（用含的代数式表示）。解：19. 如上图，D，E分别是ABC的边BC，AC，上的点，若AB=AC，AD=AE，现给出以下结论，其中正确的有_. （1）当B为定值时，CDE为定值 （2）当为定值时，CDE为定值（3）当为定值时，CDE为定值 （4）当为定值时，CDE为定值ABDCE课后作业：1.如图，ABC的周长为30cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则ABD的周长是A22cm B20 cm C18cm D15cmBCADE1题2. 一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那
12、么这个三角形的周长是【 】 A13 B17 C22 D17或223. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】A 2个 B 3个 C4个 D5个4. 如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC若ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】A2 B3 C D5. 已知等腰ABC中，ADBC于点D，且AD=BC，则ABC底角的度数为【 】A45 B75 C45或75 D606. 如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=20，则C= 7. ABC为等腰直角三角形，C=90，D为
13、BC上一点，且AD=2CD， 则DAB=（ ）A30 B45 C60 D158. 点P为AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则PMN的周长为 9. 如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF 求证：AC=BF 10. 已知：三角形ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，求证：DEF为等腰直角三角形（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论11. 已知：ABC
14、中，AB=AC，D为ABC外一点，且ABD=60，试判断线段CD、BD 与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论 ABCD作业答案：1.A；2.C；3.C；4.A；5.C；6.40度；7. D;8.15 ；11.AB=BD+CD答案：1.18；2.5;3. .A;4.D;5.15；6,6;7.(3,-2);8.C;9.B；10. ；11. 36或；12.500,800,1300.14. 延长DE到点F,使EF=BC可证得:ABCBFE 所以1=F由2+F=90,得1+F=90在RtDBF中, BD=,DF=1所以F =1=3017. 4或或;18. 18. 答案：解（1）AB-AC=PB1分
15、 证明：在AB上截取AD，使AD=ACAP平分CAB，1=2.在ACP和ADP中ACPADPC=3.ABC中, CAB=2=221=42, ABC=32C=180-CAB-ABC=180-42-32=1063=1062分4=180-3=180-106=745=3-ABC=106-32=744=5PB=DBAB-AC=AB-AD=DB=PB3分(2)在AB上截取AM,使得AM=AC,连结PM,延长AP交BC于N,连结MNAP平分CAB, CAB=2,1=2=2=在ACN和AMN中 ACNAMN3=4ABC=60-，3=2+NBA=+（60-）=604=54分MN平分PNBCBP=30，6=3-NBP=60-30=30，6=NBPNP=NBMN垂直平分PB.MP=MB7=8.6+7=NBP+8，即NPM=NBP=60-APM=180-NPM=180-（60-）=120+.在ACP和AMP中ACPAMPACP=APMACP=120+.5分19.(2)
