1、怎样做出一条线段怎样做出一条线段AB的垂直平分线？的垂直平分线？2.过点过点C、D作直线。作直线。1.分别以点分别以点A、B为圆心，大于为圆心，大于AB21长为半径，画弧长为半径，画弧交于点交于点C、D；ABMNC PMNCABQ 探究探究1：线：线段垂直平分段垂直平分线的性质线的性质ABMNP.Q.C线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离相等距离相等.定理定理(线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理)线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离距离相等相等.定理定理线段垂直平分线上的点线段垂直平分
2、线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离相等距离相等.定理定理线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点和这条线段和这条线段两个端点两个端点的的距离相等距离相等.定理定理线段垂直平分线上线段垂直平分线上的的点点和这条线段和这条线段两个端点两个端点的的距离相等距离相等.定理定理直线直线MN AB，垂足是垂足是C，且，且AC=CB.点点P在在MN上上.已知：已知：PA=PB求证：求证：ABCNMP如何证明？如何证明？证明证明:MNMN ABAB（已知）已知）PCA=PCA=PCB(PCB(垂直的定义垂直的定义)在在 PCAPCA和和 PCBPCB中中,AC=CB(AC=CB(已知已知),
3、),PCA=PCA=PCB(PCB(已证已证)PC=PC(PC=PC(公共边公共边)PCA PCA PCB(SAS)PCB(SAS)PA=PB(PA=PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)ABCMNPABCMNP当点当点P与点与点C重合时重合时,上上述证明有什么缺陷述证明有什么缺陷?PCAPCA与与 PCBPCB将不存在将不存在.PA与与PB还相等吗还相等吗?相等相等!此时此时,PA=CA,PB=CB已知已知AC=CB PA=PBPA=PB探究探究2已知线段已知线段AB,有一有一点点P,并且并且PA=PB.那么那么,点点P是否一定是否一定在在AB的垂直平分的垂直平分线上线上?PA
4、BMN C P/这样的点这样的点P/不存在不存在探究探究3ABPC已知已知:线段线段AB,且且PA=PB求证求证:点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线平分线MN上上.过点过点P作作PC AB垂足为垂足为C.PA=PB(已知已知)PABPAB是等腰三角形是等腰三角形(等腰三角等腰三角 形的定义形的定义)AC=BC(AC=BC(等腰三角形底边上等腰三角形底边上的高是底边上的中线的高是底边上的中线)PCPC是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.即即点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线平分线MN上上.证明证明:和一条线段两个端和一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的点,在在这条线段的
5、垂直平这条线段的垂直平分线上分线上.逆定理逆定理小结小结:1.线段的垂直平分线上的点线段的垂直平分线上的点,和这条和这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等.2.和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的 点点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.ABC MN C ABMN和线段两个端点距离相等和线段两个端点距离相等的所有点的的所有点的集合集合.线段的垂直平分线可以看作是线段的垂直平分线可以看作是例例 已知已知:如图如图 ABC中中,边边AB、BC的的垂直平分线相交于点垂直平分线相交于点P.求证求证:PA=PB=PC.PA=PB(线段垂直平分线上的点线段垂直
6、平分线上的点和这条线段两个端点距离相等和这条线段两个端点距离相等)证明证明:点点A在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上(已知已知)同理同理 PB=PC PA=PB=PC.ACBMPNM/N/应用应用1:如图如图,A、B、C三个村庄合三个村庄合建一所学校建一所学校,要求校址要求校址P点距离三个点距离三个村庄都相等村庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址.ABCP 点点P为校址为校址应用应用2:如图如图,在直线在直线 l 上求一点上求一点P,使使PA=PB l BAP点点P为所求作的点为所求作的点 达标检测达标检测1.已知已知:如图如图,AD是是 ABC的高的高,E为为AD上一点上一点
7、,且且BE=CE,则则 ABC为为 三角形三角形.2.已知已知:等腰等腰 ABC,AB=AC,AD为为BC边上的高边上的高,E为为AD上一点上一点,则则BE EC.(填填、或或=号号)ABCEDABCED1题图题图2题图题图等腰等腰=3.已知已知:如图如图,AB=AC,A=30o,AB的垂的垂直平分线直平分线MN交交AC于于D,则则 1=,2=.230o1ABCDMN75o30o60o45o4.已知已知:ABC中中,C=90,A=30o,BD平分平分 ABC交交AC于于D.求证求证:D点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.ABCD证明证明:30o C=90o,A=30o(已知已知)ABC=
8、60o(三角形内角和定理三角形内角和定理)A=ABD (等量代换等量代换)D点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.(和一和一条线段两个端点距离相等的点条线段两个端点距离相等的点,在这在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上.)BD平分平分 A BC(已知已知)ABD=30o(角平分线的定义角平分线的定义)30o AD=BD(等角对等边等角对等边)选做选做1：已知已知:如图如图,在在 ABC中中,DE是是AC的垂直平分线的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为的周长为13cm,则则 ABC 的周长的周长为为 cmABDCE3cm3cm1913cm选做选做2.如图如图,CD、EF分别是分
9、别是AB、BC的的垂直平分线垂直平分线.请你指出图中相等的线段有请你指出图中相等的线段有哪些哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BECF=DF即即:BF=CF=DF123AC EBFD选做选做3.已知已知:如图如图,线段线段CD垂直平分垂直平分AB,AB平分平分 CAD.求证求证:ADBC.ABCDO123证明证明:线段线段CD垂直平分垂直平分AB(已知已知)CA=CB(线段垂直平分线的线段垂直平分线的性质定理性质定理)1=3(等边对等角等边对等角)又又 AB平分平分 CAD(已知已知)1=2(角平分线的定义角平分线的定义)2=3(等量代换等量代换)AD BC(内错角相等内错角相等,两直
10、线平行两直线平行)选做选做4.已知已知:如图如图,在在 ABC中中,AB=AC,A=120o,AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于于E,交交BC于于F.求证求证:CF=2BF.ABCEF30060O30030OCF=2AFAF=BFCF=2BFv线段垂直平分线上的点和这条线段线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等两个端点的距离相等.和一条线段两个端点距离相等的点和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.k线段的垂直平分线可以看作是和线线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合段两个端点距离相等的所有点的集合.作业作业:P113 2.3.4
