1、32.1任意角三角函数的定义(一)学习目标1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号知识链接在初中，我们已经学过锐角三角函数如图，在RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，余弦，正切分别是什么？答锐角A的正弦，余弦，正切依次为：sinA，cosA，tanA.预习导引1三角函数的定义(1)正弦、余弦、正切如图，在的终边上任取一点P(x，y)，设OPr(r0)定义：sin，cos，tan，分别称为角的正弦、余弦、正切依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值与之对应：当a2k(kZ)时，它有唯一的正切值与之对应，因此这三个对应
2、法则都是以为自变量的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数和正切函数(2)正割、余割、余切角的正割：sec；角的余割：csc；角的余切：cot.这就是说，sec，csc，cot分别是的余弦、正弦和正切的倒数由上述定义可知，当的终边在y轴上，即k (kZ)时，tan，sec没有意义；当的终边在x轴上，即k(kZ)时，cot，csc没有意义2三角函数在各个象限的符号3三角函数的定义域三角函数定义域sin，cosRtan，sec|k，kZcot，csc|k，kZ要点一三角函数定义的应用例1已知角的终边在直线y3x上，求10sin的值解由题意知，cos0.设角的终边上任一点为P(k，3k)(k0)，则x
3、k，y3k，r|k|.(1)当k0时，rk，是第四象限角，sin，10sin103330.(2)当k0时，rk，为第二象限角，sin，10sin103()330.综上所述，10sin0.规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sin ，cos ，tan .跟踪演练1已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin，则y_.答案8解析因为sin，所以y0，且y264，所以y8.要点二三角函数值符号的判断例2判断下列三角函数值的符号：(1)sin3，cos
4、4，tan5；(2)sin(cos)(为第二象限角)解(1)3450，cos40，tan50.(2)是第二象限角，1cos0，sin(cos)0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键跟踪演练2已知costan0，那角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角答案C解析costan0，或由得角为第三象限角由得角为第四象限角角为第三或第四象限角要点三三角函数的定义域例3求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解(1)要使函数有意义，须tanx0，所以xk，kZ且xk，kZ，所
5、以x，kZ.于是函数的定义域是.(2)要使函数有意义，须得解之得2kx2k，kZ.所以函数的定义域是.规律方法求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：分母不为零，偶次根号下大于等于零，在真数位置时大于零，在底数位置时大于零且不等于1.跟踪演练3求函数ytanx的定义域解由得因而x的终边不在坐标轴上，所以函数的定义域为.1已知角的终边经过点(4,3)，则cos等于()A.B.CD答案D解析因为角的终边经过点(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos.2如果角的终边过点P(2sin30，2cos30)，则cos的值等于()A.BCD.答案A解析2sin301，2cos30，r2，cos.3
6、若点P(3，y)是角终边上的一点，且满足y0，cos，则tan()AB.C.D答案D解析cos，5，y216，y0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos，其中正确的个数为()A0B1C2D3答案B解析只有正确2当为第二象限角时，的值是()A1B0C2D2答案C解析为第二象限角，sin0，cos0.2.3角的终边经过点P(b,4)且cos，则b的值为()A3B3C3D5答案A解析r，cos.b3.4若tanx0，且sinxcosx0，则角x的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案D解析tanx0，角x的终边在第二、四象限，又sinxcos
7、x0，角x的终边在第四象限故选D.5若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能答案B解析sincos0，cos0，且sinxcosx0，那么角x是第_象限角()A一B二C三D四答案A解析tanx0，x是第一或第三象限角又sinxcosx0，x是第一象限角7角的终边上一点P的坐标为(4a，3a)(a0)，求2sincos的值解由题意有x4a，y3a，故r5|a|.(1)当a0时，是第四象限的角，所以sin，cos，故2sincos.(2)当a0，则()Asin20Bcos0Csin0Dcos20答案A解析tan0，(k，k)(
8、kZ)是第一、三象限角sin，cos都可正、可负，排除B，C.而2(2k，2k)(kZ)，即2为第一、二象限角，故cos2可正、可负，排除D，选A.9已知终边经过点(3a9，a2)，且sin0，cos0，则a的取值范围为_答案(2,3解析sin0，cos0，终边位于第二象限或y轴正半轴上，3a90，a20，2a3.10若角的终边与直线y3x重合且sin0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn_.答案2解析y3x，sin0，点P(m，n)位于y3x在第三象限的图象上，且m0，n0，n3m.|OP|m|m.m1，n3，mn2.11已知函数f(x)cos，xR，求f的值解fcoscos1.12判断下列各式的符号：(1)sin340cos265；(2)sin4tan；(3)(为第二象限角)解(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin3400，cos2650.(2)4，4是第三象限角，6，是第一象限角sin40，sin4tan0.(3)为第二象限角，0sin1，1cos0，sin(cos)0，0.三、探究与创新13已知角的终边落在直线y2x上，求sin，cos，tan的值解当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r|OP|，得sin，cos，tan2；当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，由r|OQ|，得sin，cos，tan2.
