1、北师大版七年级数学下册考点专题冲刺试卷系列 (解析版)专训2构造全等三角形的四种常用方法名师点金:在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线,辅助线能使题目中的已知条件比较集中,能比较容易找到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有:旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法,目的都是构造全等三角形 翻折法1如图,在ABC中,BE是ABC的平分线,ADBE,垂足为D.试说明:21C.(第1题) 旋转法2如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BEDFEF,求EAF的度数(第2题) 倍长中线法3如图,在ABC中,D为BC的中点(1)试说明:ABAC
2、2AD;(2)若AB5,AC3,求AD的取值范围(第3题) 截长补短法4如图,ABCD,CE,BE分别平分BCD和CBA,点E在AD上试说明:BCABCD.(第4题)答案1解:如图,延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻折,与BC边重合,A点落在F点处,折痕为BE)(第1题)因为BE平分ABC,所以ABECBE.因为BDAD,所以ADBFDB90.在ABD和FBD中,所以ABDFBD(ASA)所以2DFB.又因为DFB180AFC,1C180AFC,所以DFB1C.所以21C.2解:如图,延长CB到点H,使得BHDF,连接AH.因为ABE90,D90,所以DABH90.在ABH和ADF中,
3、所以ABHADF.所以AHAF,BAHDAF.所以BAHBAFDAFBAF.所以HAFBAD90.因为BEDFEF,所以BEBHEF,即EHEF.在AEH和AEF中,所以AEHAEF.所以EAHEAF.所以EAFHAF45.点拨:图中所作辅助线,相当于将ADF绕点A顺时针旋转90,使AD边与AB边重合,得到ABH.(第2题)3解:(1)如图,延长AD至点E,使DEAD,连接BE.因为D为BC的中点,所以CDBD.又因为ADED,ADCEDB,所以ADCEDB.所以ACEB.因为ABBEAE,所以ABAC2AD.(2)因为ABBEAEABBE,所以ABAC2ADABAC.因为AB5,AC3,所以
4、22AD8.所以1AD4.点拨:本题运用了倍长中线法构造全等三角形,将说明不等关系和求线段取值范围的问题转化为说明全等,从而利用全等三角形的性质解决问题(第3题)4解:如图,在BC上取一点F,使BFBA.连接EF.因为CE,BE分别平分BCD和CBA,(第4题)所以34,12.在ABE和FBE中,所以ABEFBE(SAS)所以A5.因为ABCD,所以AD180.又因为56180,所以6D.在EFC和EDC中,所以EFCEDC(AAS)所以FCDC.所以BCBFCFABCD.点拨:说明一条线段等于两条线段的和的方法:“截长法”或“补短法”“截长法”的基本思路是在长线段上取一段,使之等于其中一短线段,然后说明剩下的线段等于另一短线段;“补短法”的基本思路是延长短线段,使延长部分等于另一短线段,再说明延长后的线段等于长线段