1、【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 9.9空间向量的坐标运算课时提能训练 理 新人教A版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知a(0,2t1,1t)，b(t，t,2)，则|ba|的最小值是()(A)(B)(C)(D)2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()(A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1A3.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)4.(2012百色模拟)已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，
2、4,1)，则向量与的夹角为()(A)30 (B)45 (C)60 (D)905.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()(A)相交 (B)平行(C)垂直 (D)不能确定6.(易错题)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线BD将ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角CABD的大小为，则sin 的值等于()(A) (B) (C) (D)二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为.8.
3、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为.9.正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(预测题)已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.(1)求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；(2)求二面角MBCB的大小；(3)求三棱锥MOBC的体积.11.(2012南宁模拟)已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E、F分别是线段AB、
4、BC的中点.(1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的平面角的余弦值.【探究创新】(16分)如图，在矩形ABCD中，AB2，BCa，PAD为等边三角形，又平面PAD平面ABCD.(1)若在边BC上存在一点Q，使PQQD，求a的取值范围；(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ的余弦值.答案解析1.【解析】选C.|ba|，故选C.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空
5、间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即CEBD.3.【解析】选C.建立如图所示空间直角坐标系，令AA12AB2，则E(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2).(0，1,1)，(0，1,2).cos.【变式备选】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()(A) (B) (C) (D)【解析
6、】选D.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知AMOP总成立，即AM与OP所成角为.4.【解析】选C.因为A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，所以(0,3,3)，(1,1,0)，所以0(1)31303，并且|3，|，所以cos，与的夹角为60，故选C.5.【解题指南】建立坐标系，判断与平面BB1C1C的法向量的关系.【解析】选B.分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a).(，0，a).又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0).0.是平面BB1C1C的一个法向量，且MN平面BB1C1C
7、，MN平面BB1C1C.6.【解析】选A.由题意可求得BO，OC，AO，建立空间直角坐标系如图，则C(，0,0)，B (，0,0)，A(0,0，)，D(， 3,0)，(4,3,0)，(，0，)设m(x，y，z)是平面ABD的一个法向量.则，取z3，则x7，y.则m(7，3).又(0,3,0)是平面ABC的一个法向量.cosm，.sin.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步骤是建系，分别求构成二面角的两个半平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解
8、析】cosm，n，m，n，两平面所成二面角的大小为或.答案：或【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有，而忽视.8.【解析】以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(，1)，设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，由，得，令x1，得n(1,0,1)，又(， ，0)，O到平面ABC1D1的距离d.答案：9.【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a
9、，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：3010.【解析】以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A(1,0,1)，C(0,1,1)，D(0,0,1)(1)点M是棱AA的中点，点O是BD的中点，M(1,0，)，O(，)，(，0)，(0,0,1)，(1，1,1).0，0，OMAA，OMBD，又MO与异面直线AA和BD都相交， 故MO为异面直线AA和BD的公垂线.(2)设平面BMC的一个法向量为(x，y，z)， (0，1，)，(1
10、,0,1).，即.取z2，则x2，y1，从而n1(2,1,2).取平面BCB的一个法向量n2(0,1,0).cosn1，n2，由图可知，二面角MBCB的平面角为锐角，故二面角MBCB的大小为arccos.(3)易知，SOBCS四边形BCDA1，设平面OBC的一个法向量为n3(x1，y1，z1)，(1，1,1)，(1,0,0)，即.取z11，则y11，从而n3(0,1,1)，点M到平面OBC的距离d.VMOBCSOBCd.【变式备选】如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点.(1)若PD1，求异面直线PB与DE所成角的余弦值.(
11、2)若二面角PBFC的余弦值为，求四棱锥PABCD的体积.【解析】(1)E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形DFBE且DFBEDFBE为平行四边形DEBFPBF等于PB与DE所成的角.PBF中，BF，PF，PB3cosPBF异面直线PB和DE所成角的余弦值为.(2)以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PDa，可得如下点的坐标：P(0，0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，则有： (1,0，a)， (1,2,0)，因为PD底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)，设平面PFB的一个法向量为n(x，y，z)，则可
12、得即，令x1，得z，y，所以n(1，).已知二面角PBFC的余弦值为，所以得：cosm，n，解得a2.因为PD是四棱锥PABCD的高，所以，其体积为VPABCD222.11.【解析】(1)PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0).不妨令P(0,0，t)，(1,1，t)， (1，1,0)111(1)(t)00，即PFFD.(2)存在.设平面PFD的一个法向量为n(x，y，z)，结合(1)，由，得，令z1，解得：xy.n(，1).设G点坐标为(0,0，m)，E(，0,0)，则(，0，
13、m)，要使EG平面PFD，只需n0，即()01mm0，得mt，从而满足AGAP的点G即为所求.(3)AB平面PAD，是平面PAD的法向量，易得(1,0,0)，又PA平面ABCD，PBA是PB与平面ABCD所成的角，得PBA45，PA1，结合(2)得平面PFD的法向量为n(，1)，cos，n，由题意知二面角APDF为锐二面角.故所求二面角APDF的平面角的余弦值为.【探究创新】【解析】(1)取AD中点O，连接PO，则POAD平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图的空间直角坐标系，则P(0,0，a)，D(，0,0).设Q(t,2,0)，则(t,2，a)，(t，2,0).PQQD，t(t)40.a2(t)，a0，t0，2(t)8，等号成立当且仅当t2.故a的取值范围为8，). (2)由(1)知，当t2，a8时，边BC上存在唯一点Q，使PQQD.此时Q(2,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4).设n(x，y，z)是平面PQD的法向量，(2,2，4)，(2,2,0).由得令xy3，则n(3,3，)是平面PQD的一个法向量.而(0,2,0)是平面PAD的一个法向量，设二面角APDQ为，则cos|cos，n|.二面角APDQ的余弦值为.
