1、实际问题与一元一次方程列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。 一列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系 （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系 （3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关
2、系列出方程 （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案二. 分类知能点与题目知能点1：市场经济、打折销售问题 （1）商品利润商品售价商品成本价 （2）商品利润率100% （3）商品销售额商品销售价商品销售量 （4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售例1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元
3、一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 分析通过列表分析已知条件，找到等量关系式 进价折扣率标价优惠价利润率60元8折X元80%X40%等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价 解：设标价是X元，解之：x=105优惠价为例2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？分析探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润X元8折（1+40%）X元80%（1+40%）X15元等量关
4、系：（利润=折扣后价格进价）折扣后价格进价=15解：设进价为X元，80%X（1+40%）X=15，X=125答：进价是125元。1一种商品进价为50元，为赚取20%的利润，该商品的标价为_元60 （点拨：设标价为x元，则x-50=5020%）2某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，则该商品的进价为_元180 （点拨：设商品的进价为x元，则22090%-x=10%x）3某种商品若按标价的8折出售可获利20%，若按原标价出售，则可获利（ ）A25% B40% C50% &nb
5、sp; D1C （点拨：设标价为x元，进价为a元，则80%x-a=20%a，得x=a 按原标价出售可获利100%=50%）4两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（ ）A赢利16.8元 B亏本3元 C赢利3元 D不赢不亏C （点拨：设进价分别为a元，b元，则 a-84=20%a，得a=105 84-b=40%b，得b=60 &n
6、bsp; 842-（a+b）=3，故赢利3元）5.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（ ）A.45%（1+80%）x-x=50 B. 80%（1+45%）x - x = 50C. x-80%（1+45%）x = 50 D.80%（1-45%）x - x = 506.某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利
7、40元销售，仍可获利10%，则x为（ ）A、700元B、约733元C、约736元D、约856元7某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折解：设至多打x折，根据题意有100%=5% 解得x=0.7=70% 答：至多打7折出售8一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价解：设每台彩电的原售价为x元，根据题意，有10x（1+40
8、%）80%-x=2700，x=2250答：每台彩电的原售价为2250元9、某商品进价是1000元，标价为1500元，商品要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？知能点2： 方案选择问题10某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将
9、这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工 方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成你认为哪种方案获利最多？为什么？解：方案一：获利1404500=630000（元） 方案二：获利1567500+（140-156）1000=725000（元） 方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨 依题
10、意得=15 解得x=60 获利607500+（140-60）4500=810000（元） 因为第三种获利最多，所以应选择方案三11某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元 （1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式） （2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？ （3）
11、若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？解：（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x （2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250 即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同 （3）由0.2x+50=120，解得x=350 由0.4x+50=120，得x=300 因为350>300 故第一种通话方式比较合算12某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时
12、，则超过部分按基本电价的70%收费 （1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）0.4070%=30.72 解得a=60 （2）设九月份共用电x千瓦时，则 0.4060+（x-60）0.4070%=0.36x 解得x=90 所以0.3690=32.40（元）
13、 答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元13某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元 （1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案 （2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种
14、电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台 （1）当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25 50-x=25当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=35 &nb
15、sp;50-x=15 当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台 可得方程2100y+2500（50-y）=90000 21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意 由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台 （2）若选择（1）中的方案，可获利 15025+25015=8750（元） 若选择（1）中的方案，可获利 15035+2501
16、5=9000（元） 9000>8750故为了获利最多，选择第二种方案14.小刚为书房买灯。现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到2800小时。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。（1）设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。（费用=灯的售价+电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏。 当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？ 试用特殊值判断：照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？
17、照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这种灯中选购两盏。假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时。请你设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。答案：0.005x+49 0.02x+18 2000 知能点3储蓄、储蓄利息问题（1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税（2）利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税
18、=利息税率（20%）（3）例3. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析等量关系：本息和=本金（1+利率）解：设半年期的实际利率为X，依题意得方程250（1+X）=252.7， 解得X=0.0108所以年利率为0.01082=0.0216 答：银行的年利率是21.6%一年2.25三年2.70六年2.88 例4. 为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：（1）直接存入一个6年期；（2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三
19、年期；（3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？ 分析这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。解：（1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X（1+62.88%）=20000，解得X=17053（2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，Y（1+2.7%3）(1+2.7%3）=20000，X=17115（3）设存入一年期本金为Z元 ，Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894所以存入一个6年期的本金最少。15利息税的计算方法是：利息税=利息20%某储户按一年定期存款一笔，年利率2
20、.25%，一年后取出时，扣除了利息税90元，据此分析，这笔存款的到期利息是_元，本金是_元，银行向储户支付的现金是_元450 20000 2036016小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）解：设这种债券的年利率是x，根据题意有 4500+45002x（1-20%）=4700， 解得x=0.03 答：这种债券的年利率为0.0317为了准备小明三年后上高中的学费，他的父母准备现在拿出3000元参
21、加教育储蓄，已知教育储蓄一年期利率为1.98%，二年期利率为2.25%，三年期利率为2.52%，请你帮小明的父母计算一下如何储蓄三年后得到的利息最多解：利用公式分三种情况（一年期、二年期、三年期）进行计算，再进行比较即可获得答案 一年期：设利息为x元，则x=30001.98%1=59.4（元） 二年期：设利息为x元，则x=30002.25%2=135（元） 三年期：设利息为x元，则x=30002.52%3=226.8（元） 59.4< 三年期储蓄利息最多18（
22、北京海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（ ）A1 B1.8 C2 D10C 点拨：根据题意列方程，得（10-8）90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故选C19.某人按定期2年向银行储蓄1500元，假设每年利率为3%（不计复利）到期支
23、取时，扣除利息所得税（税率为20%）此人实得利息为（ ）A、1272元B、36元C、72元D、1572元20.用若干元人民币购买了一种年利率为10% 的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和1320元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？答案：22000元 21.购买了25000元某公司1年期的债券，一年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是多少？答案：百分之五知能点4：工程问题 工作量工作效率工作时间 工作效率工作量工作时间 工作时间工作量工作效
24、率 完成某项任务的各工作量的和总工作量1例5. 一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？分析甲独作10天完成，说明的他的工作效率是乙的工作效率是等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间=1解：设合作X天完成, 依题意得方程 答：两人合作天完成 例6. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 解：设乙还需x天完成
25、全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，答：乙还需天才能完成全部工程。 例7. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 分析等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。 解：设打开丙管后x小时可注满水池， 由题意得， 答：打开丙管后小时可注满水池。 22.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？解：设甲、乙一起做还
26、需x小时才能完成工作 根据题意，得+（+）x=1 解这个方程，得x= =2小时12分 答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作23某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件解：设这一天有x名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个 根
27、据题意，得165x+244（16-x）=1440 解得x=6 答：这一天有6名工人加工甲种零件24.一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？设还需知能点5：若干应用问题等量关系的规律 （1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量原有量增长率
28、 现在量原有量增长量25.某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的问每个仓库各有多少 粮食？设第二个仓库存粮 （2）等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积高Shr2h 长方体的体积 V长宽高abc26.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内
29、径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，3.14）解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得 （）2x=30030080 x229.3答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米27.长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？设乙的高为知能点6：行程问题 基本量之间的关系： 路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间 （1）相遇问题 &nbs
30、p; （2）追及问题 快行距慢行距原距 快行距慢行距原距 （3）航行问题 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系例6. 甲、乙两站相距480公里，一
31、列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 （1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程+快车
32、走的路程=480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 答：快车开出小时两车相遇分析：相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。 解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 x= 答：小时后两车相距600公里。 （3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480公里=600公里。 解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：2.4小时后两车相距600公里。
33、 分析：追及问题，画图表示为：等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 解：设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 x=9.6答：9.6小时后快车追上慢车。分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4 答：快车开出11.4小时后追上慢车。 例7. 甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，
34、再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？分析追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程 5X=3X+5 解得X=2.5，狗的总路程：152.5=37.5答：狗的总路程是37.5千米。例8. 某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之
35、间的路程。 分析这属于行船问题，这类问题中要弄清：（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；（2）逆水速度=船在静水中的速度水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。 解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米， 由题意得， 答：A、B两地之间的路程为32.5千米。 28有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为分过完第二铁桥所需的时间为分依题意，可列
36、出方程 += 解方程x+50=2x-50 得x=100 2x-50=2100-50=150 答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米29已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？设甲的速度为千米/小时，依题意得，30一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。问：若已知队长32
37、0米，则通讯员几分钟返回？若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？（1） （2） 31一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？设两个城市之间的飞行路程为32一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。知能点7：数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：
38、一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n2表示；奇数用2n+1或2n1表示。例1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数分析由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为X+7，个位上的数是3X，等量关系为三个数位上的数字和
39、为17。解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X+7，个位上的数是3XX+X+7+3X=17 解得X=2X+7=9，3X=6 答：这个三位数是926例2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，102X+X=（10X+2X）+36解得X=4，2X=8，答：原来的两位数是48。33一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原来的数大63，求原来的两位数？设个位数字为注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。
