1、3.2 3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算3.2.1 3.2.1 复数代数形式的加、减复数代数形式的加、减 运算及其几何意义运算及其几何意义问题提出问题提出t57301p2 1.1.复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数z z为为实数、虚数、纯虚数？实数、虚数、纯虚数？代数形式：代数形式：z zabi i（a，bRR）.当当b b0 0时时z z为实数；为实数；当当b b00时，时，z z为虚数；为虚数；当当a0 0且且b b00时，时，z z为纯虚数为纯虚数.2.2.复数的几何意义表现在复数可以用复平面内的点复数的几何意义表现在复数
2、可以用复平面内的点或向量表示，一般地，复数或向量表示，一般地，复数z zabi i（a，bRR）对应）对应复平面内的点复平面内的点Z Z的坐标是什么？复数的坐标是什么？复数z z可以用复平面内可以用复平面内哪个向量来表示？哪个向量来表示？对应点对应点Z Z（a，b），），用向量用向量 表示表示.x xy yO O(a，b)3.3.两个实数可以进行加、减运算，两个向量也可以两个实数可以进行加、减运算，两个向量也可以进行加、减运算，根据类比推理，两个复数也可以进进行加、减运算，根据类比推理，两个复数也可以进行加、减运算，我们需要研究的问题是，复数的加、行加、减运算，我们需要研究的问题是，复数的加、
3、减运算法则是什么？减运算法则是什么？探究（一）：探究（一）：复数的加法及其几何意义复数的加法及其几何意义 思考思考1 1：设向量设向量m(a，b)，n(c c，d)则向量则向量mn的的坐标是什么？坐标是什么？mn(ac，bd)思考思考2 2：设向量设向量 ，分别表示复数分别表示复数z z1 1，z z2 2，那么向，那么向量量 表示的复数应该是什么？表示的复数应该是什么？z z1 1z z2 2思考思考3 3：设复数设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i对应的向量分别对应的向量分别为为 ，那么向量，那么向量 ，的坐标分别的坐标分别是什么？是什么？(a，b)，(c，d)，(ac，b
4、d).思考思考4 4：设复数设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，则复数，则复数z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？z z1 1z z2 2(ac)(bd)i.)i.思考思考5 5：(abi)i)(cdi)i)(ac)(bd)i)i就是复就是复数的数的加法法则加法法则，如何用文字语言表述这个法则的数学，如何用文字语言表述这个法则的数学意义？意义？两个复数的和仍是一个复数两个复数的和仍是一个复数.两个复数的和的实部等于这两个复数的实部之和，两个复数的和的实部等于这两个复数的实部之和，两个复数的和的虚部等于这两个复数的虚部之和两个复数的和的虚部等于这两个复数的虚部之和.思考
5、思考6 6：两个实数的和仍是一个实数，两个复数的和仍两个实数的和仍是一个实数，两个复数的和仍是一个复数，两个虚数的和仍是一个虚数吗？是一个复数，两个虚数的和仍是一个虚数吗？不一定不一定.思考思考7 7：复数的加法法则满足交换律和结合律吗？复数的加法法则满足交换律和结合律吗？z z1 1z z2 2z z2 2z z1 1，(z(z1 1z z2 2)z z3 3z z1 1(z(z2 2z z3 3).).思考思考8 8：设设z zk kak kbk ki(ki(k1 1，2 2，n)n)，那么，那么z z1 1z z2 2z zn n等于什么？等于什么？探究（二）：探究（二）：复数的减法及其
6、几何意义复数的减法及其几何意义思考思考1 1：规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z zz z1 1z z2 2，则复数，则复数z z1 1等于什么？等于什么？z z1 1z zz z2 2 思考思考2 2：设复数设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，z zxyi i，代，代人人z z1 1z zz z2 2，由复数相等的充要条件得，由复数相等的充要条件得x，y分别等于分别等于什么？什么？xac，ybd.思考思考3 3：根据上述分析，设复数根据上述分析，设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，则则z z1 1z z2 2等于
7、什么？等于什么？z z1 1z z2 2(ac)(bd)i i思考思考4 4：(abi)i)(cdi)i)(ac)(bd)i)i就是复就是复数的数的减法法则减法法则，如何用文字语言表述这个法则的数学，如何用文字语言表述这个法则的数学意义？意义？两个复数的差仍是一个复数两个复数的差仍是一个复数.两个复数的差的实部等于这两个复数的实部之差，两个复数的差的实部等于这两个复数的实部之差，两个复数的差的虚部等于这两个复数的虚部之差两个复数的差的虚部等于这两个复数的虚部之差.思考思考5 5：设复数设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i对应的向量分别对应的向量分别为为 ，则复数，则复数z z1
8、 1z z2 2对应的向量是什么？对应的向量是什么？|z|z1 1z z2 2|的几何意义是什么？的几何意义是什么？复数复数z z1 1，z z2 2对应复平面内的点对应复平面内的点之间的距离之间的距离.x xy yO OZ1Z2思考思考6 6：设设a，b，r r为实常数，且为实常数，且r r0 0，则满足，则满足|z|z(abi)|i)|r r的复数的复数z z对应复平面上的点的轨迹是什么？对应复平面上的点的轨迹是什么？以点以点(a，b)为圆心，为圆心，r r为半径的圆为半径的圆.x xy yO Or rZ ZZ Z0 0思考思考7 7：满足满足|z|z(abi)|i)|z|z(cdi)|i
9、)|的复数的复数z z对对应复平面上的点的轨迹是什么？应复平面上的点的轨迹是什么？x xy yO OZ Z2 2Z Z1 1Z Z点点(a，b)与点与点(c，d)的连线段的连线段的垂直平分线的垂直平分线.思考思考8 8：设设a为非零实数，则满足为非零实数，则满足|z|za|z|za|，|z|zai|i|z|zai|i|的复数的复数z z分别具有什么特征？分别具有什么特征？若若|z|za|z|za|，则，则z z为纯虚数或零；为纯虚数或零；若若|z|zai|z|zai|，则，则z z为实数为实数.理论迁移理论迁移例例1 1 计算计算(5(56i)6i)(2 2i)i)(3(34i).4i).11
10、i 11i 例例2 2 如图，在矩形如图，在矩形OABCOABC中，中，|OA|OA|2|OC|2|OC|点点A A对应的复对应的复数为数为 ，求点，求点B B和向量和向量 对应的复数对应的复数.x xy yO OC CB BA A小结作业小结作业 1.1.复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算部、虚部的和差运算.2.2.在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其
11、几何意义，向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理有时可转化为距离问题处理.3.3.由于复数能用向量表示，从而使得复数的加、减由于复数能用向量表示，从而使得复数的加、减运算与向量的加、减运算在算理上完全一致，给复数运算与向量的加、减运算在算理上完全一致，给复数的加、减运算赋予了几何意义的加、减运算赋予了几何意义.在实际应用中，既可以在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一转化为复数运算，二者对立统一.作业：作业：P109P109练习：练习：1 1，2.2.P112P112习题习题3.2A3.2A组：组：2 2，3.3.
