1、2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.12.1.1合情推理合情推理推理推理推理？推理？合情推理合情推理演绎推理演绎推理推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。断来确定一个新的判断的思维过程。要甜的，好要甜的，好吃的！吃的！从前有一位富翁想吃芒果从前有一位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买打发他的仆人到果园去买,并告并告诉他诉他:要甜的要甜的,好吃的好吃的,你才买你才买.仆人拿好钱就去了仆人拿好钱就去了.到了果园到了果园,园主说园主说:我这里树上的芒果个个都是甜的我这里树上的芒果个个都
2、是甜的,你尝一个看你尝一个看.仆人说仆人说:我尝一个怎能知道全体呢我尝一个怎能知道全体呢 我应当个个都尝过我应当个个都尝过,尝一个尝一个买一个买一个,这样最可靠这样最可靠.仆人于是自己动手摘芒果仆人于是自己动手摘芒果,摘一个尝一口摘一个尝一口,甜的就都买回去甜的就都买回去.带回家去带回家去,富翁见了富翁见了,觉得非常恶心觉得非常恶心,一齐都扔了一齐都扔了.尝一个尝一个 ，怎么知，怎么知道全体呢？我得尝一道全体呢？我得尝一个买一个个买一个尝一个，怎么知道尝一个，怎么知道全体呢？我得尝一全体呢？我得尝一个买一个个买一个想一想：想一想：故事中仆人的做法实际吗？故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么
3、做？换作你，你会怎么做？第一个芒果是甜的第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园的芒这个果园的芒果都是甜的果都是甜的第一个芒果是甜的第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园的芒这个果园的芒果都是甜的果都是甜的已知已知判断判断前提新的新的判断判断结论铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属都能一切金属都能导电导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形内角边形内角和为和为.1802n第一
4、个芒果是甜的第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园的芒这个果园的芒果都是甜的果都是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个数为个数为2n.铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属都能一切金属都能导电导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形内角边形内角和为和为.1802n第一个芒果是甜的第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个
5、果园的芒这个果园的芒果都是甜的果都是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个数为个数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般归纳推理归纳推理由某类事物的由某类事物的部分对象部分对象具有某些特征具有某些特征,推出该类事推出该类事物的物的全部对象全部对象都具有这些特征都具有这些特征,或者由或者由个别事实个别事实概概括出括出一般性的结论一般性的结论,这样的推理称为这样的推理称为归纳推理归纳推理(简称简称归纳归纳).).任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数的偶数都等于两个奇质数的和都等于两个奇质数的和.观察观察下列等式下列等式 6=3
6、+3 8=3+510=3+712=5+7归纳出归纳出一个规律：一个规律：偶数偶数=奇质数奇质数+奇质数奇质数 通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.大胆猜想:16=5+1118=7+1120=7+1322=5+1742949672971252111,(1,2,3,)11.nnnnaaaana 已已知知数数列列的的第第一一项项且且，试试归归纳纳这这个个数数列列的的例例通通项项公公式式;从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯
7、子）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草是齿形的；茅草能割破手；茅草能割破手；我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？观察观察可能存在生命可能存在生命像这样的推理还有：像这样的推理还有：2.2.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征发现火星与地球有许多类似的特征;1.1.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.2 2
8、、类比推理的一般步骤、类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。即检验猜想。即 观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论1 1、类比推理定义、类比推理定义这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为对象也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理（简称（简称类比类
9、比）简言之，）简言之，类比推理是由特类比推理是由特殊到特殊的推理殊到特殊的推理3 3、类比推理举例、类比推理举例探究探究1：类比圆的特征，说说球的相关特征，并说明推理的过程。类比圆的特征，说说球的相关特征，并说明推理的过程。例例2试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆圆弦弦直径周长直径周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概念和
10、性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心距圆心较近的弦较长较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径的圆的方程为半径的圆的方程为为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂直于弦中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆点的连的圆点的连线垂直于截面线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不
11、相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球距球心较近的面积较大心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半径的球的方为半径的球的方程为程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出求的性质利用圆的性质类比得出求的性质球的体积球的体积3 34 4V V=R R3 3球的表面积球的表面积2 2S S=4 4 R R圆的周长圆的周长 S S=2 2 R R圆的面积圆的面积2 2S S=R R平面向量平面向量空间向量空间向量abab ab ab112233(,)a
12、bab ab ab112233(,)aaaaR 123(,)()a ba ba ba b112233 a bab ab abR 112233/,()aba ba ba b1122330若若 ，则则 aa aa123(,)bb b b123(,)ababab1122(,)1122ababab(,)aaaR 12(,)()aba ba b1122abababR 1122/,()aba ba b11220若若 ，则则 12aaa(,)bbb12(,)2212|aaa 222123|aaaa 等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和12)nnaadn（()nmaanm d
13、1:2)nnaaqn（nmnmaaq11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项任意实数任意实数a、b都有等差中项都有等差中项，为，为2ba 当且仅当当且仅当a、b同号时才有等比中同号时才有等比中项项，为，为ab232,mmmmmSSSSS成等差数列成等差数列232,mmmmmSSSSS成等比数列成等比数列21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 21.1合情推理合情推理学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点：理解合情推理的含义，能利用归纳和类比重点：理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理进行简
14、单的推理 难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想1.归纳推理归纳推理由某类事物的由某类事物的_具有的某些特征，具有的某些特征，推出该类事物的推出该类事物的_都具有这些特征都具有这些特征的推理，或者由的推理，或者由_事实概括出事实概括出_的推理，称为的推理，称为_(简称简称归纳归纳)简言之，归纳推理是由部分到整体、简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理由个别到一般的推理新知初探思维启动新知初探思维启动部分对象部分对象全部对象全部对象个别个别一般结论一般结论归纳推理归纳推理做一做做一做1.最近中国健康报报道了人的血压和年龄的一组数据，先观最近中国健康报
15、报道了人的血压和年龄的一组数据，先观察表中数据的特点，再用适当的数填入表中察表中数据的特点，再用适当的数填入表中()内内.年龄年龄(岁岁)3035404550556065收缩压收缩压(水水银柱银柱/毫米毫米)110115120125130135()145舒张压舒张压(水水银柱银柱/毫米毫米)707375788083()88由上表中的数据你能得出什么结论？由上表中的数据你能得出什么结论？解：解：14085；结论：随着人的年龄增长，人的血压在增高；结论：随着人的年龄增长，人的血压在增高2.类比推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，
16、推出另一类对象也具有象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理这些特征的推理称为类比推理(简称简称_)简言之，类比简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理推理是由特殊到特殊的推理类比类比做一做做一做2.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A三角形三角形B梯形梯形C平行四边形平行四边形 D矩形矩形解析：选解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选行，故选C.3.合情推理合情推理归纳推理和
17、类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行比较、联想，再进行_、_，然后提出，然后提出_的推理的推理我们把它们称为合情推理通俗地说，合情我们把它们称为合情推理通俗地说，合情推理是指推理是指“_”_”的推理的推理归纳归纳类比类比猜想猜想合乎情理合乎情理想一想想一想1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的,结
18、论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠比推理的结果具有猜测性，不一定可靠2.归纳推理与类比推理的共同特点和区别是什归纳推理与类比推理的共同特点和区别是什么？么？提示：提示：共同点：两种推理的结论都有待于证共同点：两种推理的结论都有待于证明明不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理题型一数列中的归纳推理题型一数列中的归纳推理典题例证技
19、法归纳典题例证技法归纳例例1【解解】(1)当当n1时，时，a10.由由an1an(2n1)(nN*)，得得a2a111；a3a234；a4a359.由由a102，a212，a322，a432，可归纳出可归纳出an(n1)2(nN*)【名师点评名师点评】在数列中，常用归纳推理猜在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前测通项公式或前n项和公式，归纳推理具有由项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤：纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达
20、的从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题一般性命题(猜想猜想)变式训练变式训练1.观察下列等式：观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，由以上等式推测到一个一般的结论：由以上等式推测到一个一般的结论：对于对于nN*，12223242(1)n1n2_.题型二几何中的归纳推理题型二几何中的归纳推理(本题满分本题满分9分分)如图所示，在圆内画一条如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成多分割成4条线段，将圆最多分割成条线段，将圆最多分割成4部分；画部分；画三条线段，彼此最多分割成三条线段，彼
21、此最多分割成9条线段，将圆最多条线段，将圆最多分割成分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成条线段，将圆最多分割成11部分部分例例2(1)在圆内画在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：在圆内画猜想：在圆内画n(n2)条线段，彼此最多分条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？【思路点拨思路点拨】每增加一条线段，与前面的每每增加一条线段，与前面的每条线段最多产生条线段最多产生1个交点，
22、而新增加的第个交点，而新增加的第n条线条线段最多与前面的段最多与前面的n1条线段产生条线段产生n1个交点，个交点，则这则这n1个点把第个点把第n条线段分为条线段分为n段、每段把所段、每段把所在区域一分为二，共增加了在区域一分为二，共增加了n块区域，且这块区域，且这n1个点把这些点所在的线段一分为二，又增加了个点把这些点所在的线段一分为二，又增加了n1条线段，这样就有：区域增加了条线段，这样就有：区域增加了n块，线段块，线段增加了增加了n(n1)2n1条条【解解】设在圆内画设在圆内画n条线段，彼此最多分割成的条线段，彼此最多分割成的线段为线段为f(n)条，将圆最多分割成条，将圆最多分割成g(n)
23、部分部分(1)当当n5时，时，f(5)f(4)45164525，g(5)g(4)511516.2分分(2)猜想：在圆内画猜想：在圆内画n(n2)条线段，彼此最多分割条线段，彼此最多分割成成f(n)n2条线段条线段g(1)2g(2)g(1)2g(3)g(2)3g(4)g(3)4由此猜想由此猜想g(n)g(n1)n.5分分将上述各式两边分别相加得将上述各式两边分别相加得g(1)g(2)g(3)g(n)g(1)g(2)g(n1)2234n.g(n)2234n名师微博名师微博猜想的起始，不要弄错哟！猜想的起始，不要弄错哟！名师微博名师微博这种相加方法叫这种相加方法叫“累加法累加法”，要搞清楚何种情形下
24、才能用此法？，要搞清楚何种情形下才能用此法？怎样用？怎样用？【名师点评名师点评】在几何中，随点、线、面等在几何中，随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键递推关系是解决该类问题的关键变式训练变式训练2.有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26B31C32 D36解析：选解析：选B.法
25、一：有菱形纹的正六边形个数如下表：法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为为首项，以首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是正六边形的个数是65(61)31.图案图案123个数个数61116法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需正六边形需6个有纹正六边形围绕个有纹正六边形围绕(第一个图案第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5
26、块菱块菱形纹正六边形形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间每两块相邻的无纹正六边形之间有一块有一块“公共公共”的菱形纹正六边形的菱形纹正六边形)，则第六个图，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.题型三类比推理题型三类比推理在三棱锥在三棱锥SABC中，中，SASB，SBSC，SASC，且且SA、SB、SC和底面和底面ABC所成的角分别为所成的角分别为1、2、3，三，三侧面侧面SBC、SAC、SAB面积分别为面积分别为S1、S2、S3，类比，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想的一个猜想例例3【名
27、师点评名师点评】运用类比推理必须寻找合适运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系在应用类比推理时，其一般步骤为：系在应用类比推理时，其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或或一致性一致性)(2)用一类对象的性质去推测另一类用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想对象的性质，从而得出一个猜想(3)检验这检验这个猜想个猜想变式训练变式训练1.下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图
28、中的数构成的规律，可知三角形，根据图中的数构成的规律，可知a所表示的数是所表示的数是()A2B4C6 D8解析：选解析：选C.从图中可以看出，除两边的从图中可以看出，除两边的“1”外其余的数都有一个特点：外其余的数都有一个特点：每个数都等于它每个数都等于它“肩上肩上”的两个数之和，因此，的两个数之和，因此，a336.解析：选解析：选C.由类比推理的特点可知由类比推理的特点可知A1 B2C3 D4方法技巧方法技巧1.归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能在数列问题中，常用归纳推理猜测、认知功能在数列问题中，常用归纳推理猜测、求解数列的通项公式，其
29、具体步骤是：求解数列的通项公式，其具体步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式并加以证明通项公式并加以证明2.类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论常用的类比有：以类比得到空间中的相关结论常用的类比有：平面图形平面图形点点线线边长边长面积面
30、积线线角线线角三角形三角形空间图形空间图形线线面面面积面积体积体积二面角二面角四面体四面体3.类比推理中多用下列技巧会提高所得结论的类比推理中多用下列技巧会提高所得结论的准确性：准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性主要属性(3)这些共同这些共同(相似相似)属性应包括类比对象的各个属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面方面，并尽可能是多方面失误防范失误防范1.归纳推理、类比推理的结论不一定可靠，要归纳推理、类比推理的结论不一定可靠，要经证明后方可
31、确知经证明后方可确知2.由同样的特殊事物归纳出的一般性的结论不由同样的特殊事物归纳出的一般性的结论不一定是唯一的，如数列的通项公式一定是唯一的，如数列的通项公式 1、合情推理：、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。2 2、合情推理的应用：（、合情推理的应用：（1 1）数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助）数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。我们猜测和发现结论。（2)2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向小小 结结实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜测新的结论猜测新的结论
