1、专题03三角形的中线与面积专题解读】任三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.由“等底同髙”可知, 三角形的一条中线能把这个三角形分成而积相等的两部分.利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还 可解决许多其他的等分点问题.反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的而积问题时，如 果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形而积“这一性质，那么往往可以事半功倍.思维索引例1. (1)如图，ZV1BC中，D为AB的中点，E为DF的中点. 作出/XAED中的髙AH： 连接BF,当AH=4, DF=5时，求厶BDF面积.Q)如图，AABC 中，ZC=90, AC=12,
2、 BC=9, AB=15,若动点 P 从点 C 开始，按 CA_BY 的 路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为f秒. 当t=时，CP把ABC的面积分成相等的两部分； 当t=5时，CP把ABC分成的两部分而积之比是Supc : S*bpc=: 当t=时，ABPC的而积为18.例2.如图1,在ZXABC中，中线AM可以将AABC分成两个而积相等的三角形，即S好加(1) 请在图2,图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD分成4个而积相等的小三角形：(2) 如图4,在四边形ABCD的边上找到一点E,使得线段AE将四边形ABCD分为而积相等的两部分.图3图4例3（1）已知：AABC中，A
3、D是BC边上的中线，P是AD 的一点，若ZVIBC的而积为阳 当点P是初的中点（即PD=片AD）时，APBC的而积=（用含5的代数式表示）: 当pd= Lad时，hpbc的面积=（用含s的代数式表示）：3 当PD=La D时，HPBC的而积= （用含的代数式表示）.n（2）如图.AABC的面积为2cm2. D是AB边的中点，E为AC边上一点，且AE=2EC0为DC与BE的交点.若DBO的面积为acnr. A CEO的而积为hem2,求ab.例4. （1）如图1,在AABD中，BE是aBD的中线，则有Sube=Szs（2）在四边形ABCD中，E是AD边上的动点，分别连接AC、BD、EB和EC,设
4、EBC的面积为$, ABC的而枳为S2, ADBC的而积为S3. 如图2,当AE=-AD时，试探究S, 52, S3之间的关系，并写出求解过程；2 如图3,当AE=-AD（n表示正整数）时，试探究Si, S2, 之间的关系.n（直接给出答案，不必求解过程）图2素养提升1. 如图，在AABC中，E、F分别是AD. CE边的中点，且S:r=4cm29则为（）A. cm2B. 2cm2C.D 16c/?22. 如图，在IWBC中E是BC上的一点，EC=2BE,点D是AC的中点，设ABC, ZBF的而积分别为V)A. 1B. 2C. 3D. 43.如图，三角形ABC内的线段BD、CE相交于点F,已知F
5、B=FD、FC=2FE若ABFC的而积为2,则 四边形AEFD的面积等于（）D. 74.w=12,则图中ABEG与ZkCDG的而积第4题图C. 4第5题图D. 55. 如图，G为ZVIBC内一点，连接AG、BG、CG并延长分别交边BC、AC. AB于点F、D、E,则把ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形而积已在图上标明，则AABC的面积为（）A. 300B 315C 279D 3426. 如图，AE. BD是ABC的两条中线，AE. BD交于F,则ABEF和AFD面积的大小关系是7. 如图，AABC的中线BD. CE相交于点G, GF丄BC,且BC=5, AC=3. GF=2,则四边形AD
6、GE的而积是8. 如图，在ABC中，点D是BC边上任意一点，点F是线段AD的中点，点E、点G分别为BF与CT的中点，则S帕彩EFGD9. 如图，在ABC中.已知点D、E、F分别是BC、AD. BE上的中点，且/ABC的而积为12cm2 9则 ABF的而积为cm2.第7题图10如图，在长方形ABCD中，AB=8cm, BC=6cm.点E是CD边上的一点，且DE=2cm,动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A-B-C-E运动，最终到达点E当的而积等于20cm2时，则点P 运动的时间-V.第10题图第11题图11.如图，已知ABG请你用两种不同的方法把它分成而积之比为八2/ 3的三个三角形。12
7、操作示例:如图甲中,E,F分别为四边形ABCD的边ADBC的中点，设四边形ABCD的而积为S“护昨,则刃形妙杪和馮边盟m Z MJ 1曲足HJ人乐式为解决问题：在图乙中，E, F, G, H分别为四边形ABCD的边AB. BC, CD的中点，并且图中 四边形丿KZJ的面枳为20cm2,求图中AE/、HBFK、ZkCG厶与/的面枳和.图甲13. (1)在图甲中，若久厶分别为AB, BC的中点，则Sg：Swc=(2) 在图乙中，若DQ分别为朋的三等分点，环 鸟分别为BC的三等分点，求2&耳、AD2E2C 的而积和与AABC的而积比等于多少？并说明理由.(3) 拓展：在图丙中，若222宀2分别为的(
8、n + 1)等分点，EEE“也分别为BC的(n + 1)等分点，求SDEE2 SD2E2C ，SDnEfJC的而积和与AABC的而积比等于多少？(直接写出答案，不必求解过程)图甲14. 在如图/至图2中，8BC的而积为“.(1) 操作：如图b分别延长ABC的边BC到点D, CA到点E, AB到点F,使CD二BC, AE=CA, BF二AB,连结FD, FE,得到DEF (如图1).若增加部分的而积为则S】二.(用含“的代数式表示).(2) 发现：像上而那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF,此时，我们称厶ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的ADEF的面积是原来A
9、ABC而积的倍.(3) 应用：张明去年在而积为10的AABC空地上栽种了某种花卉.今年他准备扩大种植规模，把厶ABC向外进行两次扩展成A/GH (如图2)求这两次扩展的区域而积共为多少亦？图1图2专题03三角形的中线与面积思维索引】例1.略；Sbdf= 10.(2)6.5；1:4：扌或丰.例2(1)如图所示，(答案不唯一)(2)如图,例 3. (1)$gs：(2)2.例 4. (1)Smbe=*Sa/Wd.Si=*S2+*S3：Si= S2+仕丄 J素养提升】1. D； 2. A； 3 B； 4 C； 5. B； 6相等；7 10：8. 4:19 3：10.弓或611 略：12 (1)S w边肆2S 必边形ebfd；(2)20cm213. (1) 4(2)3 2(“+1)14. (1)6/(2)7；(3)480加
