1、一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题素养目标学科素养1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度(重点)2理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程(重点、难点)1.数学抽象；2逻辑推理；3数学运算情境导学你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？1平均速度与瞬时速度在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳
2、后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)(1)平均速度：一般地，在t1tt2这段时间里，称为平均速度(2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度(3)为了求运动员在t1时的瞬时速度，任意取一个时刻1t，t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当t0时，把运动员在时间段1,1t内近似看成做匀速直线运动，计算时间段1,1t内的平均速度，用近似表示运动员在t1时的瞬时速度判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x与y的值均可取0.()提示：y可为0，但
3、x不能为0.(2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度()提示：瞬时速度是t趋近于0时的平均速度(3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”()2抛物线的切线的斜率当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0.1一物体的运动方程是s(t)3t2，则物体在t2时的瞬时速度为()A3 B4 C5 D7B解析：4.2已知抛物线f(x)x21，则抛物线在点(2,5)处切线的斜率为()A5 B4 C3 D2B解析：k 4.3抛物线f(x)2x21在点(1,1)处的切线方程
4、为_y4x3解析：f(x)在点(1,1)处的斜率为 4，所以切线方程为y4x3. 【例1】子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，其运动方程为sat2，如果它的加速度a5105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间t01.6103s，求子弹射出枪口时的瞬时速度解： at0.由题意知a5105m/s2，t01.6103s，故at08102800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.瞬时速度是当t0时，运动物体在t0到t0t这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆质点按照运动规律s2t2t运动，其中s表示位移，t表示时间，则质点在2,2t这段时间内的平均速度是
5、_，在t2时的瞬时速度是_72t7解析：72t，v (72t)7. 【例2】求抛物线f(x)x2x在点(1，2)处切线的斜率解：设抛物线f(x)在点(1，2)处切线的斜率为k，则k 3. 【例3】求曲线f(x)x在点(1,0)处的切线方程解：函数f(x)x在点(1,0)处的切线斜率k 2.故所求切线方程为y2(x1)，即2xy20.求曲线f(x)上一点(x0，f(x0)处的切线方程的步骤：(1)求曲线f(x)在(x0，f(x0)处切线的斜率k ；(2)利用点斜式求出切线方程yf(x0)k(xx0)求抛物线f(x)x23在点P(1,4)处的切线斜率. 解：2x.所求切线的斜率k (2x)2.1函
6、数f(x)x2在区间1,2上的平均速度为()A1 B1C2 D3B解析：因为f(x)x2，所以f(x)在区间1,2上的平均速度为1.故选B2函数f(x)x2x在x1到x1x之间的平均速度为()Ax2 Bx3C2x(x)2 D3x(x)2B解析：x3.故选B3直线运动的物体，从时刻t到tt时，物体的位移为s，那么 为()A从时刻t到tt时，物体的平均速度B从时刻t到tt时，位移的平均变化率C当时刻为t时该物体的速度D该物体在t时刻的瞬时速度D解析：根据题意，直线运动的物体，从时刻t到tt时，时间间隔为t，而物体的位移为s，那么 为该物体在t时刻的瞬时速度故选D4某跳水运动员离开跳板后，他达到的高
7、度与时间的函数关系式是h(t)104.9t28t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()A9.1米/秒 B6.75米/秒C3.1米/秒 D2.75米/秒C解析：函数关系式是h(t)104.9t28t， 3.1，在t0.5秒的瞬时速度为3.1米/秒故选C5求函数f(x)在xx0到xx0x之间的平均速度解：.1平均速度只能粗略地反映物体在一段时间内里的运动状态，并不代表物体在每时每刻的运动情况，但是它是求瞬时速度的基础，瞬时速度是平均速度当t0时的极限值2曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率kli . 课时分层作业(十二)变化率问题(30分钟60分)知识点1求瞬时
8、速度1(5分)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t32表示，则此物体在t1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为(B)A1 B3 C1 D02.(5分)第1题中的物体在t0 s时的瞬时速度为_3t m/s解析：物体在t0时的平均速度为3t3t0t(t)2.因为li3t3t0t(t)23t，故此物体在tt0时的瞬时速度为3t m/s.3.(5分)若第1题中的物体在t0 s时的瞬时速度为27 m/s，则t0_.3解析：由3t27，解得t03.因为t00，故t03.知识点2求曲线在某点处的斜率4(5分)曲线f(x)在点M(1，2)处的切线方程为()Ay2x4 By2
9、x4Cy2x4 Dy2x4C解析：kli li ，所以k2，所以直线方程为y22(x1)，即y2x4.故选C5(5分)曲线yx32在点处切线的倾斜角为()A1 B C DB解析： x2，切线的斜率k1.切线的倾斜角为，故选B6(5分) 曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B C D1A解析： (2aax)2a，k2a，2a2，a1.7.(5分)设f(x)，则li 等于()A BC DC解析：li li li li .8(5分)已知点P(x0，y0)是抛物线f(x)3x26x1上一点，且在点P处的切线斜率为0，则点P的坐标为()A(1,10) B(1，2)C
10、(1，2) D(1,10)B解析：kli li (6x03x6)6x06，令6x060，x01，y03x6x012.9.(5分)已知一物体的运动方程是s则此物体在t1和t4时的瞬时速度分别为_6,6解析：t1时，63t，li (63t)6；t4时，63t，li (63t)6.10.(5分)曲线yx23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为_(2，2)解析：设f(x)yx23x，切点坐标为(x0，y0)，斜率kli li 2x031，故x02，y0x3x0462，故切点坐标为(2，2).11.(10分)求函数f(x)x2在(1,0)处的切线方程解：，li 3，k3，切线方程为y3(x1)，即3xy30.
