1、 八数下期期末专题四： “动点” 、 “翻折” 、 “重叠”问题例谈 第 1 页（共 16 页） 第 2 页 （共 16 页） 2017-2018 下学期八年级数学专题复习 四： “动点” 、 “翻折” 、 “重叠”问题例谈“动点” 、 “翻折” 、 “重叠”问题例谈 编写： 赵化中学 郑宗平 八年级数学下册中的含“动点” 、 “翻折”以及“重叠”的题型主要集中在勾股定理 、 平行 四边形和一次函数的三个章节中，且常常是这三个章节综合起来的题型比较多；含“动点” 、 “翻折”以及“重叠”的题型一直统考和中考的热点题型，下面我精选一部分典型题分专题进行分 析、解答、点评并附有少量追踪练习，希望同
2、学们能从中悟出一些道理，总结破题的思路，同时感 受到这类题型所蕴含的数学魅力. 题目一题目一. .“动点”问题例谈“动点”问题例谈 一一. .在动点中求最小值在动点中求最小值 例例. .如图，在正方形ABCD中，E为AB上的一点，BE2AE3BE，； P是AC上一动点，则PBPE的最小值是多少？ 分析：分析： 如分析图所示， 过B作关于AC的对称点， 根据正方形的性质其对称点恰好在D点处， 连结ED 交AC于点P,根据轴对称的性质、三角形三边之间的关系以及连接DE、两点之间线段最短， 可以知道此时的P BP E值最小.（这里我有个“将军饮马”“将军饮马”的故事与同学们分享.） 略解：略解：过B
3、作关于AC的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在D点处，连结ED交AC于 点P，连接P B BE2AE3BE， AE6 AB8.根据正方形的性质的性质 可知：ADAB8DAB90，. 在 RtDAE中勾股定理易求 2222 EDAEAD6810. B和D关于AC对称，根据轴对称的性质可知：P BP D, P BP E=P DP EDE10. 变式变式. .正方形ABCD的边长为 4，DAC的平分线交DC于点E,若 PQ、分别是AD和AE上的动点，则DQPQ的最小值是 . 点评：点评： 在一直线上求作一点，使其到直线同一侧同一侧的两定点的距离之和最小，往往要通过作其中一个点 关于此直线的对称点
4、，把两定点转化到直线的两侧两侧，连接对称点和另一定点就可以找到这个动点 的使其有最小值的位置，根据的是“两点之间，线段最短” 、 “垂线段最最短”. 在动点中求最小在动点中求最小 值容易和多个知识点串联以来，能较好的考查的数学的基本功和数学素养值容易和多个知识点串联以来，能较好的考查的数学的基本功和数学素养. . 追踪练习：追踪练习： 1.正方形ABCD的面积为64, 1 DECE 3 ,P为AC上的一动点； 求PDPE的最小值？ 2.菱形ABCD的对角线分别为 12 和 16，MN、 分别为BCCD、的 中点，P是对角线BD上的一动点，则PMPN的最小值为 . 3.（自贡中考自贡中考）如图，
5、在矩形ABCD中，AB4AD6，,E是AB 边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到 EB F,连接B D,则B D的最小值是 （ ） A.2 102 B.6 C.2 132 D.4 4.如图，直线ykx6 经过点A 4 0，,直线y3x3 与x 轴交于B点，且两直线交于点C. .求k的值； .求ABC的面积； .若点P是坐标轴上坐标轴上 的一个动点，当PBPC的值最小时，求 P点的坐标. 二二. .在动点中来探究四边形的形状在动点中来探究四边形的形状 例例. . 如图，ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC ，设MN交 BCA的平分线于点E ，交BC
6、A的外角平分线于点F .判断OE与OF的大小关系？并说明理由？ .若,=CF 5 CE12,求CO的长？ .当点O运动到AC的何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由. 分析：分析： .由角平分线的的定义和平行线的性质容易推出,1536 ，则,OEOC OFOC；等 量代换后OEOF. .CO是ECF的EF的中线，根据题中的提供的数据，无非ECF是特殊三角形才能求出 CO；若ECF是直角三角形，一切问题解决了；根据题中 MN交BCA的平分线于点E，交 BCA的外角平分线于点F，可以证得ECF90 o .本问关键是抓住不变的是什么？变的是什么？本问关键是抓住不变的是什么？变的是什么？在本问中
7、不变的是,OEOFECF90 o, 而点O在AC的位置是发生变化的. 要证四边形AECF是矩形，已经知道ECF90 o ，证明四 边形AECF是矩形的思路有两条，一是“有三个角是直角的四边是矩形” ；二是“有一个角为直 角的平行四边形是矩形” ；由于EFAC、恰好是四边形AECF的对角线，并且有OEOF（即点 O为EF的中点） ，所以我们考虑用后面一种方法；也就是点O同时为AC的中点,即构成了对角 线互相平分的四边形是平行四边形，再加上ECF90 o ，所以四边形AECF是矩形. 略解：略解： .MN交BCA的平分线于点E ，交BCA的外角平分线于点F ,1234 MNBC ,2546 ,15
8、36 ,OEOC OFOC OEOF .MN交BCA的平分线于点E ，交BCA的外角平分线于点F , 11 1ACB3ACD 22 11 13ACBACD18090 22 oo . 222 EFCFCE ,=CF 5 CE12 2222 EFCFCE51216913. E D A BC Q P B B E E D DA A B B C CF F x y AB C O ykx6 -y3x3 6 5 4 3 2 1 EF A B C O M N E DA BC P P E DA BC P 八数下期期末专题四： “动点” 、 “翻折” 、 “重叠”问题例谈 第 3 页（共 16 页） 第 4 页 （
9、共 16 页） ECF90 o ,OEOF . 11 COEF136 5 22 . 点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由如下： ,OAOC OEOF 四边形AECF是平行四边形 ； 又ECF90 o 四边形AECF是矩形 （有一个角是直角的平行四边形是矩形）（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 点评：点评： 解答本专题的两个例题要抓住题中不变不变的是什么？变的是什么？的是什么？变的是什么？解题时更需要仔细识图， 注意合 理应用数形结合思想；由于是动点，要注意动点“活动”的范围，解答时要进行分段、分类讨论 追踪练习：追踪练习： 1.1.如图在四边形ABCD中，AD BC，B90 ,
10、AD24cm,BC26cm ，动点P从A点 开始沿AD边向D 以3cm/ s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以1cm/ s的速度运 动，点PQ、分别从A C、同时出发，设运动时间为 t s . .若点P从点A开始沿射线AD运动，当点Q到达点B时，点 P也随之停止运动.当t为何值时，以PQCD、 、 、为顶点的四 边形是平行四边形 .当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动当t为何值 时，四边形PQCD的边PQCD ? 2.已知矩形ABCD中，,AB4cm BC8cm，AC的垂直平分线EF分别交ADBC、于点EF、，垂 足为O. .如图甲，连接AFCE、.求证：四边形AFCE为菱形，
11、并求AF的长； .如图乙，动点PQ、分别从AC、出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周，即点P自 AFBA停止，点Q自CDEC停止.在运动过程中： .已知点P的速度每秒5cm，点Q的速度每秒4cm,运动时间为t秒，当点ACPQ、 、 、四点为顶 点的四边形是平行四边形时，求t的值. .若点PQ、的运动路程分别为ab、（单位：cm，ab0） ，已知ACPQ、 、 、四点为顶点的四边 形是平行四边形，写出a与b满足的数量关系.（直接写答案，不要求证明） 三三. .动点与几何图形的面积动点与几何图形的面积 例例. .在四边形ABCD中，AB CD,B90,动点P从 B出发，沿四边形形的边 B C D
12、 A 运动.设点P 运动路程为x，ABP的面积为y，把y看作是x的函数， 函数的图象如图(2)所示，试求当0x9时y与x的函 数关系式. 分析：分析：要求y与x的函数关系式，关键是抓住y表示ABP的面积的变化规律，代表点P的运动路 程x的变化规律. 本题首先要结合在动点的运动中ABP的面积变化（见图）所描绘的函数图象（见图）来 读出四边形ABCD和计算出各边的长：.动点P在 B C 运动时，ABP的面积为y是从小增 大， 所以此时函数的图象在0x4范围内， 相对应的梯形的BC4;.动点P在 C D 运动时， ABP的面积为y是不变的，所以此时函数的图象在4x9范围内，相对应的四边形的 DC94
13、5;. 动点P在 D A 运动时，ABP的面积为y是由大变小，所以此时函数的图 象在9x14范围内，相对应的四边形的DA1495. 要表示ABP的面积为y我们要抓住在 P 点的运动过程中， 边AB是不变的， 所以过点 D 作边 AB 的高线 DE 可以利用矩形的性质和勾股定理把AB求出来， 然后利用三角形的面积公式可以整理出y 与x的函数关系式. 略解：略解： 结合图和图可以得出BC4,DC945,DA1495. 过点 D 作边 AB 的高线 DE ,垂足为 E，根据矩形的判定可以得出 四边形DEBC是矩形，所以DEBC4BEDC5，. DEAB DEA90 o 222 EADEAD 2222
14、 EAADDE543 ABEABE358 根据本题条件，动点P运动路程为x在0x9范围要分两段来讨论： .动点P在 B C 运动时，即0x4范围内.SABP= 11 AB BP8 x4x 22 . 即y4x. .动点P在 C D 运动时，即4x9范围内.SABP= 11 AB BC8 416 22 . 即y16.(因为 P 点在 C D 运动过程中，ABP的高也没有发生变化,都等于 BC 的长度). 点评：点评： “动点与几何图形面积”“动点与几何图形面积”这类题型，由于存在面积和“运动路程”两个变量，所以常与函数的知 识点联系在一起，在八年级下册的数学中常与一次函数相联系.这类题在建立函数的
15、过程中要先从 面积入手切入，然后用自变量（ “动点的运动路程” ）表示与函数（面积）相关的元素是关键. “动 点与几何图形面积”这类题型还要注意在动点在运动过程中的不同情况. 追踪练习：追踪练习： 1.如图，已知ABC中，ABAC13，高AD12，P是AD上 的一动点；若设PDx PBC的面积为y. .求y与x的函数关系式及x的取值范围； .求出当x5时y的值. 2.如图，在边长为 4 的正方形ABCD的一边BC上，一点P从点B 运动到点C,设BPx,四边形APCD的面积为y. .求y与x的函数关系式及x的取值范围； .是否存在点P,使四边形APCD的面积为 5.5，请解答说明. F F E
16、E O O D D A A B B C C 甲 F F E ED D A A B B C C P PQ Q 乙 F F E ED D A A B B C C P PQ Q 备用图 B CD A P (1) x y 1494 O (2) B CD A P (1) E CD AB P A D CB P 八数下期期末专题四： “动点” 、 “翻折” 、 “重叠”问题例谈 第 5 页（共 16 页） 第 6 页 （共 16 页） 3.矩形的周长是16cm，设矩形的一边长为xcm，另一边长为ycm .求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； .作出函数的图象； .若,C x y点是该图象上的一
17、动点，点B的坐标为,6 0，设OBC的面积为S,用含x的解析 式表示S. 4.已知矩形ABCD中，AB16cmAD12cm，；PQ、分别是矩形ABCD的边ADAB、的动点，P 点以1cm/秒的速度由A向D匀速运动，Q点同时以2cm/秒的速度由A向B匀速运动;若设PQ、 运动的时间为t（秒）,四边形PAQC(图中的阴影部分)面积为 2 S cm. .求S与t的函数关系式及t的取值范围； . PQ、出发多少秒后四边形PAQC的面积为 2 72cm？ 四四. .在动点中探寻其中“不变”的数量关系在动点中探寻其中“不变”的数量关系 例例. .（中考自贡）（中考自贡）如图所示，在菱形ABCD中，,AB4
18、BAD120，AEF为正三角形， 点EF、分别在菱形的边BCCD、上滑动，且EF、不与BCD、 、重合 .证明不论EF、在BCCD、上如何滑动，总有BECF? .当点EF、在BCCD、上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出 这个定值. 分析：分析： .先求证ABAC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得BAC 60ACAB，=进而 求证ABEACF，即可求得BECF .根据ABEACF可得SABE=SACF; 根据S四边形AECF=SABE+S=SABC+SBAE= SABC即可解得. . .证明证明：连接AC,如下图所示. 四边形ABCD为菱形，BAD120 ,1E
19、AC602EAC60 12 BAD120 ABC60 ABC和ACD都为等边三角形 4 60ACAB，= 在ABE和ACF中， 12 ABAC ABC3 ABEACFASA BECF . .解：解：四边形AECF的面积不变. 理由：由得ABEACF可得SABE=SACF. 故S四边形AECF=SABE+S=SABC+SBAE= SABC 是定值. 作AHBC于H点，则BH2 S四边形ABCDSABC 22 11 BC AHBCABBH4 3 22 = 点评：点评： 虽然EF、在BCCD、上是动点，但在滑动过程中,12 ABACABC3 的相等关系 是不变的，也就是由其中的等边三角形为框架构建的
20、ABE和ACF总是全等的，所以总有 BECF这个相等关系. 在动点中要探寻其中未知“不变”的数量关系在动点中要探寻其中未知“不变”的数量关系，关键是首先抓住图形的 提供的已知的“不变”的数已知的“不变”的数量关系量关系，比如本例虽然EF、在BCCD、上的滑动带动AEF的位置 发生移动，但其中的EAF2EAC60 或AEAF等没有发生变化. 追踪练习：追踪练习： 1.矩形ABCD中，AB3,AD4,PEAC,PFBD. .求PEPF的值？ .若点P是AD上的一动点（不与AD、重合） ，还是作 PEAC,PFBD,则PEPF的值是否会发生变化？为什么？ 2.已知点O为正方形ABCD的中心（对角线的
21、交点） ，M为 射线OD上一动点（M与点OD、不重合，以线段AM为 一边作正方形AMEF,连结FD. .当点M在线段OD上时（如图甲） ，线段BM与DF有怎 样的关系？请说明理由. .当点M在线段OD的延长线上时（如图乙） ，中的结论 是否仍然成立？请结合图乙说明理由. 附：其它动点问题的题型欣赏附：其它动点问题的题型欣赏. .（同学们作为课外研究和练习！ ）（同学们作为课外研究和练习！ ） 1. ABC和ADE都是正三角形,CDBF. .求证：ACDCBF .当D 运动至BC边上的何处时，四边形CDEF为平行四 形，且DEF30 ,并证明你的结论. 2.如图，直线y2x1与x轴、y轴分别交于
22、BC、两点. .求点B的坐标； .点,A x y是直线y2x1上的一个动点，试写出AOB 的面积S与x的函数关系式； .探究： .当点A运动到什么位置时，AOB的面积为 1 4 ，并说明理由. .在成立的情况下，x轴上是否存在点P，使AOP是等腰三角形； 若存在，请直接写出满足条件的所有P的坐标；若不存在，请说明理由. D B A P Q C E F O D A BC M 图乙 E F O D A BC M 图甲 x y C BO A(x,y) 3 2 1 F H DB A C E F E A BC D E F O DA B C P 八数下期期末专题四： “动点” 、 “翻折” 、 “重叠”问
23、题例谈 第 7 页（共 16 页） 第 8 页 （共 16 页） 3.直线 3 yx6 4 与坐标轴分别交于AB、两点，PQ、同时从点 O出发，同时到达A点，运动停止；点Q沿OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P12沿路线OBA运动. .直接写出AB、两点的坐标； .设点Q的运动时间为t,OPQ的面积为S，求出S与t的函数 关系式； .当 48 S 5 时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、 、为顶 点的平行四边形的第四个顶点M的坐标. 4.E 为边长为 1 的正方形ABCD的对角线上的一点，且BEBC, P为CE上的一动点，PQBC,PRBE ,求PQPR的值？ 题目二题目二. .
24、“翻折”问题例谈“翻折”问题例谈 通常是把某个图形按照给定的条件的沿某一直线翻折，也可以叫折叠；常通过折叠前后图形变换 的相互关系来设计命题.折叠的规律是：折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全 等等. .折叠图形中在八年级的数学中，以四边形特别是特殊四边形为基础居多，但常用勾股定理来计 算，有时也与一次函数的知识相串联构成有一定难度综合题. 例例 1.1.（中考邵阳） ，准备一张矩形纸片ABCD，按如图操作： 将ABE沿BE翻折，使A落在对角线BD上的M点；将CDF沿DF翻折, 使C落在对角 线BD上的N点. .求证：四边形BFD
25、E是平行四边形； .若四边形BFDE是菱形，AB2,求菱形BFDE的面积. 分析：分析： .根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可以得出EBDF,DEBF,根据平行四边形的判 定推出. .求出ABE30 o ,根据直角三角形性质求出AEBE、，并根据菱形的面积计算即可求出答案. . .略证略证: : 四边形ABCD是矩形 ,AC90ABCD ABCD o P， ABDCDB 1 EBDABDFDB 2 EBDF DEBF 四边形BFDE是平行四边形 . .略解：略解： 四边形BFDE是菱形 ,BEEDEBDFBDABE 四边形ABCD是矩形 ,ADBCABC90 o ABE30 o A90AB
26、2， o 22 34 3 AEBFBE2AE 333 ， 故菱形故菱形BFDE的面积为： 4 38 3 BF AB2 33 点评：点评： 本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的性质、含 30角的直角三角形的性质以及 折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.在本题翻折的性质的运用是本题 的一个切入点和突破口，正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”折叠部分的图形在折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等”才 有 1 EBDABDFDB 2 ，从而得出问中的EBDF、DEBF以及问中ABE30 o 这 两个关键步骤. 例例 2.2.如图，已知矩形纸片AB
27、CD中,AB6AD10，；点E在边 CD上，沿AE折叠后点D恰好落在BC边上. .求EC的长？ .求折痕AE的长？ 分析：分析： . 要求EC的长我们可以化在RtFCE中利用勾股定理来求出，根据题中折叠可知DEFE, 所以CEFECEDE6,而CFBCBF,BF放在RtABF利用勾股定理求出，这个需要 题中折叠所得到的AFAD10来帮忙. .求折痕AE的长在RtADE或RtAFE利用勾股定理求出. 略解：略解：.四边形ABCD是矩形 DCAB6BCAD10， BDC90 o 矩形纸片ABCD沿AE折叠后点D恰好落在BC边上 AFAD10 DEFE CEFECEDECD6 在RtABF中根据勾股
28、定理可知： 222 ABBFAF 2222 BFAFAB1068 CFBCBF1082 在RtFCE中根据勾股定理可知： 222 CECFEF；若设CEx，则EF6x x y A B O P Q E F DA B C E F DA B C x 6x 6x 八数下期期末专题四： “动点” 、 “翻折” 、 “重叠”问题例谈 第 9 页（共 16 页） 第 10 页 （共 16 页） 2 22 x26x 解得： 8 x 3 即= 8 EC 3 .= 8 EC 3 DC6 10 DE 3 在RtADE中根据勾股定理可知: 222 DEADAE 2 222 10100010 AEDEAD1010 39
29、3 点评：点评： 本题考查了矩形的性质以及折叠的相关性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力. 在本题翻折的性质的运用是本题的一个切入点和突破口，正因为“折叠部分的图形在折叠前后关于折叠部分的图形在折叠前后关于 折痕成轴对称，两图形全等”折痕成轴对称，两图形全等”才有AFAD10和DEFE两个关键结论.从而为在RtFCE中 利用勾股定理来求出CE打下基础. 例例 3 3.如图， 在平面直角坐标系中， 点A 0, 4 , B 3, 0 ,连接AB,将AOB沿过点B的直线折叠， 使点A落在x轴上的点A 处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C；求直线BC的解析式. 分析：分析： 要求直线BC的解
30、析式可以通过两个点的坐标，利用待定系数法求得. 直线BC上的B 3, 0，关键是求点C的坐标.由于点C在坐标轴的y 轴上，求出OC的长度即可确定 点C的坐标.在RtA OC中.若设 OCm，则ACOA OC4 m ，由折叠可知AC4m ；所 以本题的关键是求出OA的长度,由折叠可知：A BAB，而OA A B OBAB 3所以关键是求出AB的长，这个在RtABO利用勾股定理可以解决. 略解：略解： A 0, 4 , B 3, 0 OA4,OB3 在RtABO利用勾股定理计算 2222 ABOAOB345 将AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A 处 A BAB5,ACAC OAA B
31、 OB5 32 设OCm，则ACOA OC4 m 由折叠可知AC4m 在在RtABO利用勾股定理右 222 ACAOCO 2 22 4m2m ，解得 3 m 2 点C的坐标为 3 0, 2 设直线BC的解析式为ykxb 把 3 B 0,C 3,0 2 、 代入得 3 b 2 3kb0 解得 1 k 2 3 b 2 直线BC的解析式为 13 yx 22 . 点评：点评： 本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理以及折叠的相关性质.本题关键求点C的坐标， 这就要通过RtA OC利用勾股定理建立方程求出线段OC来解决.而这些 需要“折叠部分的图折叠部分的图 形在形在折叠前后关于折痕成轴对称”折叠前
32、后关于折痕成轴对称”来得到A BAB,ACAC 来牵线搭桥. 题目三题目三. . “重叠”问题例谈“重叠”问题例谈 前面所说的翻折也蕴含图形自身的某部分的“重叠” ，所以通常是把某个图形按照给定的条件的 沿某一直线翻折，也可以叫折叠；还有一种“重叠”是指几个“相对独立”图形主要是两个图形通 过一定方式，如：交叉叠放、平移、旋转等交叉叠放、平移、旋转等使两个图形全部或部分重合；实际上这两类重叠没有严 格的界线.几个图形的重叠抓住重合部分的图形特征为突破口， 下面我就后一类重叠举例加以说明： 例例 1.1.将两张长均为 8cm，宽均为 2cm 的矩形纸条按如图交叉交叉叠放叠放. .重叠部分是一个什
33、么样的四边形？ .求重叠部分周长和面积最小值和最大值分别是多少？ 分析：分析： .按交叉叠放方式其重叠部分首先可确定是一个平行四边形，利用面积公式或 全等三角形可以推出其一组邻边相等，所以重叠部分是一个菱形. （巡河车腾讯微博本问视频解析链接： .根据“垂线段最短” ，当两张矩形纸条垂直时，其交叉重叠部分的部分边长最短（实际上是个正 方形） ，此时的重叠部分周长和面积有最小值；当两张矩形纸条交叉叠放使其对角线“换位”重合 时（见示意图），因为此时重叠部分的对角线最长，其重合部分的边长也就最长，当然此时的重叠 部分周长和面积有最大值. 略解略解: : .如图，过 H 点分别作,HMEF HNFG
34、,垂足分别是MN、 根据矩形纸条按交叉交叉叠放的叠放的方式易证四边形EFGH是平行四边形 SEFGHHM EFHN FG 又矩形纸片的宽度都是 2cm,即HMHN2cm EFGF 重叠部分的四边形EFGH是菱形 . 第一种情况：第一种情况： 根据“垂线段最短” ，当两张矩形纸条垂直时，其交叉重叠部分四边形 EFGH 的边长最短，此时又构成了有一个角为直的菱形是正方形EFGH. G F E H D C B A DA BC N M G F E H D C B A DA BC F HG E D C B A DA BC x y C A A B O x y C A A B O m4m 4m 八数下期期末
35、专题四： “动点” 、 “翻折” 、 “重叠”问题例谈 第 11 页（共 16 页） 第 12 页 （共 16 页） 矩形纸条宽均为 2cm 即EFFGGHHE2cm 重叠部分EFGH的周长为：4 28 cm 重叠部分EFGH的面积为： = 22 416 cm 第二种情况：第二种情况： 当两张矩形纸条交叉叠放使其对角线“换位”重合时（见示意图） ，因为此时重叠部分的对角线 最长，其重合部分的边长也就最长，当然此时的重叠部分周长和面积有最大值. 过N作NGDM,垂足为G,则NG2cm 四边形ABCD是矩形 C90 o 在RtMCD中根据勾股定理有： 222 CMCDDM 四边形BMDN是菱形 M
36、BMD 设MDx，则MCBCMB8x 2 22 8x2x 解得： 17 x 4 即 17 MD 4 重叠部分BMDN的周长为： 17 417 cm 4 重叠部分BMDN的面积为： 2 1717 DM NG2cm 42 例例 2.2.如图，边长为 1 的正方形ABCD绕点A逆时针旋转逆时针旋转 30到正方形AB C D， 图中的阴影部 分的面积为 （ ） A. 3 1 3 B. 3 3 C. 3 1 4 D. 1 2 分析：分析： 本题关键抓住重叠部分AB HD是一个轴对称图形，由于正方形ABCD绕点 A 逆时针 30到正方 形AB C D ， 所以DAD30 o ,则DAB60 o ,连接AB
37、 HD的对角线后易证旋转AB H ADH,所以 11 DB HDAHDAB6030 22 oo;在 RtADH的另一条直角边DH的长 度，进一步求出RtADH的面积，则重叠部分AB HD可求出，再由正方形面积减去叠部分 AB HD即可得到图中的阴影部分的面积. （巡河车腾讯微博本例视频解析链接： ） 略解略解: : 边长为 1 的正方形ABCD绕点A逆时针旋转 30到正方形AB C D DBD AB90 o , ADAB1, DAD30 o DAB60 o 在RtAB H和RtADH中有DB90 o, ,ADABAHAH RtAB HRtADH (HL) 11 DB HDAHDAB6030 2
38、2 oo 1 DHAH 2 在RtADH中根据勾股定理有： 222 DHADAH 即2 22 DH12DH 解得： 1 DH3 3 S 1133 ADHAD DH1 2236 重叠部分AB HD面积为：2S 33 ADH2 63 图中的阴影部分的面积为：S正方形ABCD-2S 2 33 ADH11 33 . 故选A A 点评：点评： 本题的阴影部分是个不规则的图形，直接求比较困难，所以采用S正方形ABCD - 重叠部分 AB HD面积，所以求重叠部分的面积成了本题的关键；重叠部分AB HD是由正方形旋转 30形 成的，它恰好是一个轴对称图形，当我们连结对角线连结对角线AB把把AB HD分成全等
39、的两个含分成全等的两个含 3030锐角的锐角的 直角三角直角三角形后，把问题转化到其中一个直角三角形中问题便解决了. 例例 3.(3.(自贡统考自贡统考) )如图 1，在平面直角坐标系xoy中，等腰直角AOB的斜边OB在x轴上，顶点 A的坐标为, 2 2 .求直线OA的解析式； .如图 2，如果点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PCy轴，交直线OA于点C,设点P的 坐标为,m 0，以ACPB、 、 、为顶点的四边形面积为S,求S与m之间的函数关系式； .如图 3，如果,D 1 a在直线AB上.过点OD、作直线OD，交直线PC于点E,在CE的右侧作 矩形CGFE,其中 3 CG 2 ,请你直接
40、写出矩形矩形CGFE与与AOB重叠部重叠部分为轴对称图形时m的取值 范围. 考考点：点：待定系数法求函数解析式、三角形面积公式、点的坐标意义、轴对称图形、分类讨论的思想 等. 分析：分析： . .用待定系数法可求出直线OA的解析式； . .由于P点是x轴正半轴上的一动点，在不同的位置以ACPB、 、 、为顶点的四边形的情况不一 N B M C A D( C ) B( A )C G H B D C BC D A H B D C BC D A x y O A B 图 1 x y O A B P C 图 2 G x y O A B P C E D F 图 3 八数下期期末专题四： “动点” 、 “翻
41、折” 、 “重叠”问题例谈 第 13 页（共 16 页） 第 14 页 （共 16 页） 样，所以要进行分类讨论. . .由于AOB等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴是OB边上的中垂线，所 以矩形矩形CGFE的CG、分别同时落在AOB两腰AOAB、所在的直线上时， 此时矩形CGFE与 AOB重叠部分为轴对称图形， 利用轴对称的性质可以求出P的坐标为,m 0中的m的值； 当点C 与A重合时矩形CGFE与AOB无重叠部分，此时直线PC恰好是等腰直角AOB的对称轴，此 时P是底边OB的中点， 1 OPOB 2 ,根据问m的值可以求出，综合上述两种情况可以写出m的 取值范围. 略解：略
42、解： .设直线OA的解析式为ykx 直线OA经过点A 2 2， 22k 解得：k1 直线OA的解析式为：yx .过A作AMx轴于点M ,M 2 0B 4 0P m 0C m m、 有下面三种情况有下面三种情况（图中阴影部分代表的是四边形ACPB）： . .当当0m2 时 ，如图. 2 AOBOCP 111 SSS42m m4m 222 . 即 2 1 S4m 2 . .当当2m4 时 ，如图. COBAOP 1111 SSSOB PCOP PC AM4 m2 mm 2222 VV 即Sm . .当当m4 时 ，如图. 2 COPAOB 11111 SSSOP PCOB AMm m42m4 22
43、222 VV 即- 2 1 Sm4 2 .本问关键是抓住直线PC在平移平移过程中要保证重叠部分是轴对称图形. 如图甲所示，由于AOB等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称 图形，对称轴是OB边上的中垂线，所以矩形CGFE的CG、分别同时落分别同时落 在在AOB两腰两腰AOAB、所在的直线上所在的直线上时，此时矩形CGFE与AOB重叠 部分（见图中阴影部分）（见图中阴影部分）为轴对称图形，利用轴对称的性质可知： 1113155 OPOBPNOBCG4 2222224 ；即 5 m 4 . 当点C与A重合或C在直线OA上但在点A右侧时，矩形CGFE与AOB无重叠无重叠部分（而左侧重 叠部分也是等腰
44、直角三角形是轴对称图形.如图乙） ， 此时直线PC所在直线恰好是等腰直角AOB 的对称轴，此时P是底边OB的中点，可以求出： 11 OPOB42 22 ,根据问可知m2. 综合上述两种情况可以写出综合上述两种情况可以写出m的取值范围为：的取值范围为： 5 m2 4 （直接写出m的正确的取值范围即可） 点评：点评： 本题的问用根据已知条件用待定系数法可求解析式；本题的问要分成 三种情况讨论，有一定难度.本题的问显得比较抽象，要保证重叠部分是 轴对称图形，抓住矩形和等腰直角三角形都是轴对称图形，实际上直线PC 在平移平移过程中其重叠部分是等腰直角三角形时就是一个轴对称图形，以此 切入破题. 能力提升：能力提升： 1.已知，如图长
