1、第十六章 二次根式 全章方法结构图 乘除运算与开算术平方乘除运算与开算术平方 根可以交换运算顺序根可以交换运算顺序 可用多项式乘法法可用多项式乘法法 则、乘法公式则、乘法公式 结果要化成结果要化成 最简形式最简形式 二次根式的加二次根式的加 减减 二次根式的二次根式的 乘除乘除 二次根式的混二次根式的混 合运算合运算 含有二次根号含有二次根号 被平方数是非负数被平方数是非负数 二二 次次 根根 式式 1.1.先把二次根式化简成最简二次根式；先把二次根式化简成最简二次根式； 2.2.再把被开方数相同的二次根式合并再把被开方数相同的二次根式合并 判定判定 性质性质 第十六章 二次根式 重点归类提升
2、练 第十六章 二次根式 一、二次根式的计算一、二次根式的计算 1 1 若若A A （4 4） 2 2， ，B B2 2 1 1 8 8， ，C C 1212 8 8，D D 4848 3232. . 解决下列问题：解决下列问题： ( (1 1) )化简化简A A，B B； ( (2 2) )计算计算C CD D，B BC C； ( (3 3) )计算计算B BC C，D DB B； ( (4 4) )计算计算C CD DA AB B. . 解：解：(1)(1)A A （4 4） 2 2 4 4；B B2 2 2 2 1616 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 . . (2)(2)C CD
3、 D 1212 8 8 4848 32322 2 3 32 2 2 24 4 3 34 4 2 26 6 3 3 6 6 2 2； B BC C2 2 1 1 8 8 ( ( 1212 8 8) ) 2 2 2 2 2 2 3 32 2 2 23 3 2 2 2 2 2 2 3 3. . 第十六章 二次根式 ( (3 3) )B BC C2 2 1 1 8 8 ( ( 1212 8 8) ) 2 2 2 2 ( (2 2 3 32 2 2 2) ) 6 62 2； D DB B( ( 4848 3232) ) 2 2 1 1 8 8 ( (4 4 3 34 4 2 2) )( (2 2 1 1
4、 8 8) ) ( (4 4 3 3 4 4 2 2) )( ( 2 2 2 2 ) )4 4 6 68 8. . ( (4 4) )C CD DA AB B( (12128 8) )( (48483232) )( (（4 4） 2 2 ) )( (2 2 1 1 8 8) ) 40401616 6 64 4 2 2. . 第十六章 二次根式 二、二次根式计算的应用二、二次根式计算的应用 2阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙， 被
5、称为斐波那契数列被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数按照一定顺序排列着的一列数称为数 列列)后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果， 在实际生活中，很多花朵在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰的瓣数恰 是斐波那契数列中的数斐波那契数列还有很多有趣的性质，在是斐波那契数列中的数斐波那契数列还有很多有趣的性质，在 实际生活中也有广泛的应用实际生活中也有广泛的应用 第十六章 二次根式 斐波那契数列中的第斐波那契数列中的第n n个数可以用个数可以用 1 1 5 5( (1 1
6、5 5 2 2 ) ) n n ( (1 1 5 5 2 2 ) ) n n 表 表 示示( (其中其中n n1 1 且且n n为整数为整数) )这是用无理数表示有理数的一个范例这是用无理数表示有理数的一个范例 任务：请根据以上材料任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第通过计算求出斐波那契数列中的第 1 1 个个 数和第数和第 2 2 个数个数 第十六章 二次根式 解：解：当当n n1 1 时时， 1 1 5 5( ( 1 1 5 5 2 2 1 1 5 5 2 2 ) ) 5 5 5 5 5 51 1； 当当n n2 2 时时， 1 1 5 5( (1 1 5 5 2 2 )
7、) 2 2 ( (1 1 5 5 2 2 ) ) 2 2 1 1 5 5 ( (1 1 5 5 2 2 1 1 5 5 2 2 )()(1 1 5 5 2 2 1 1 5 5 2 2 ) ) 5 5 5 5 1 1 5 51.1. 第十六章 二次根式 攻克陷阱提分练 3 3阅读下面的解题过程：阅读下面的解题过程： 已知已知a a2020，b b1515，求求a a 3 3 a a 2 2b b 1 1 4 4ab ab 2 2 1 1 4 4a a 3 3 a a 2 2b b abab 2 2的 的 值值 解：原式解：原式a a a a 2 2 abab1 1 4 4b b 2 2 1 1
8、4 4a a（ （a a 2 2 4 4abab4 4b b 2 2） ） a a（a a1 1 2 2b b） ） 2 2 1 1 4 4a a（ （a a2 2b b） 2 2 第十六章 二次根式 ( (a a1 1 2 2b b) ) a a( (1 1 2 2a a b b) )a a ( (a a1 1 2 2b b 1 1 2 2a a b b) )a a 1 1 2 2( (a a b b) )a a. 当当a a2020，b b1515 时时，原式原式35 35 5 5. ( (1 1) )这个解题过程是错误的这个解题过程是错误的，开始出现错误的那一步的序号是开始出现错误的那一
9、步的序号是 _； ( (2 2) )写出正确的解题过程写出正确的解题过程 第十六章 二次根式 ( (2 2) )原式原式a a（a a 2 2 abab1 1 4 4b b 2 2） ） 1 1 4 4a a（ （a a 2 2 4 4abab4 4b b 2 2） ） a a（a a1 1 2 2b b） ） 2 2 1 1 4 4a a（ （a a2 2b b） 2 2 | |a a1 1 2 2b b| | a a| |1 1 2 2a a b b| |a a. . a a2020，b b1515，a a1 1 2 2b b 0 0，1 1 2 2a a b b0 0， 原式原式( (a
10、 a1 1 2 2b b 1 1 2 2a a b b) )a a3 3 2 2( (a a b b) )a a3 3 2 2 ( (20201515) ) 20201515 5 5. . 第十六章 二次根式 超越自我拓展练 4 4阅读与应用：阅读与应用： 阅读阅读 1 1：已知：已知a a，b b为实数为实数，且且a a0 0，b b0 0，因为因为( (a ab b) ) 2 2 0 0， 所以所以a a2 2 ababb b0 0，从而从而a ab b2 2 abab( (当当a ab b时取等号时取等号) ) 阅读阅读 2 2：已知代数式：已知代数式M Mx xm m x x( (常数
11、 常数m m0 0，x x0 0) )，由阅读由阅读 1 1 的结的结 论可知：论可知：x xm m x x 2 2 x xm m x x 2 2 m m，所以当所以当x xm m x x， ，即即x xm m时时，代数代数 式式M Mx xm m x x有最小值 有最小值，为为 2 2 m m. . 第十六章 二次根式 根据上述内容根据上述内容，解答下列问题：解答下列问题： 问题问题 1 1：已知一个矩形的面积为：已知一个矩形的面积为 4 4，其中一边长为其中一边长为x x，则另一则另一 边长为边长为4 4 x x， ，周长为周长为 2 2 x x4 4 x x ，则当则当x x_时时，周长
12、的最小值为周长的最小值为 _； 问题问题 2 2：已知代数式：已知代数式P Px x1 1( (x x1 1) )与代数式与代数式Q Qx x 2 2 2 2x x 1717( (x x1 1) )， 当当x x_时时，Q Q P P的最小值为 的最小值为_； 2 2 8 8 3 3 3 3 第十六章 二次根式 问题问题 3 3：已知：已知x x0 0，求当求当x x为何值时为何值时，代数式代数式 x x x x 2 2 2 2x x9 9有最大 有最大 值值，最大值为多少？最大值为多少？ 解：解：x x 2 2 2 2x x9 9 x x x x 2 2 x x 9 9 x x 2 2x x
13、9 9 x x 22 22 x x9 9 x x 2 24 4， 当当x x9 9 x x时 时，代数式代数式x x 2 2 2 2x x9 9x x x x 有最小值有最小值，也就是也就是 x x x x 2 2 2 2x x9 9取得最大值 取得最大值， 此时此时x x3 3， x x x x 2 2 2 2x x9 9 1 1 4 4. . 故当故当x x3 3 时时，代数式代数式 x x x x 2 2 2 2x x9 9有最大值 有最大值，最大值为最大值为1 1 4 4. . 第十六章 二次根式 第十七章 勾股定理 全章方法结构图 第十七章 勾股定理 已知三边，看较小两边的已知三边，
14、看较小两边的 平方和是否等于最大边的平方和是否等于最大边的 平方平方 直角三角形中，已知三边直角三角形中，已知三边 之间的数量关系，求三边之间的数量关系，求三边 直角三角形中，已知一边直角三角形中，已知一边 及其他两边的数量关系，及其他两边的数量关系， 求其他两边求其他两边 直角三角形中，已知直角三角形中，已知 两边求第三边两边求第三边 直角三角直角三角 形的判定形的判定 直角三直角三 角形边角形边 长的数长的数 量关系量关系 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 勾股定勾股定 理理 实际问题数学化实际问题数学化 根据从不根据从不 同角度表同角度表 示同一图示同一图 形的面积形的面积 得等量关得等
15、量关 系的思想，系的思想， 利用拼图利用拼图 的方法验的方法验 证勾股定证勾股定 理理 重点归类提升练 一、勾股定理的验证一、勾股定理的验证 1 1设直角三角形两直角边的长分别为设直角三角形两直角边的长分别为a a， b b，斜边的长为，斜边的长为c c，作边长是，作边长是( (a ab b) )的正方形的正方形 ABCDABCD，把正方形，把正方形ABCDABCD分成如图分成如图Z Z17171 1所所 示的几部分，再把正方形示的几部分，再把正方形ABCDABCD分成如图所分成如图所 示的几部分，请根据图与图，对勾股定示的几部分，请根据图与图，对勾股定 理进行证明理进行证明 第十七章 勾股定
16、理 解：解：由图由图可得可得( (a ab b) ) 2 2 a a 2 2 2 2ababb b 2 2， ，由图由图可得可得( (a ab b) ) 2 2 c c 2 2 2 2abab， a a 2 2 2 2ababb b 2 2 c c 2 2 2 2abab，a a 2 2 b b 2 2 c c 2 2. . 第十七章 勾股定理 二、勾股定理的应用二、勾股定理的应用 2 2已知：如图已知：如图Z Z17172 2，在，在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中点，的中点，DEDEBCBC， 垂足为垂足为D D，交，交ABAB于点于点E E，且，且BE BE 2 2AE AE
17、2 2AC AC 2 2. . (1)(1)求证：求证：A A9090； (2)(2)若若ABAB8 8，ACAC4 4，求，求AEAE的长；的长； (3)(3)若若DEDE3 3，BDBD4 4，求，求AEAE的长的长 第十七章 勾股定理 解：解：(1)(1)证明：连接证明：连接CECE，如图，如图 D D是是BCBC的中点的中点，DEDEBCBC， CECEBEBE. . B BE E 2 2 AEAE 2 2 ACAC 2 2， ，CECE 2 2 AEAE 2 2 ACAC 2 2， ， AEAE 2 2 ACAC 2 2 CECE 2 2， ， ACEACE是直角三角形是直角三角形，
18、且且A A9090. . 第十七章 勾股定理 (2)(2)ABAB8 8，CECEBEBE， CECEAEAE8 8，CECE8 8AEAE. . 在在RtRtACEACE中，中，AE AE 2 2AC AC 2 2 CE CE 2 2， AEAE2 24 42 2(8(8AEAE) )2 2，AEAE3.3. 第十七章 勾股定理 ( (3 3) )DEDE3 3，BDBD4 4， BEBEDEDE 2 2 BDBD 2 2 5 5CECE， ACAC 2 2 ECEC 2 2 AEAE 2 2 2525AEAE 2 2. . BCBC2 2BDBD8 8， 在在 RtRtBACBAC中中，由
19、勾股定理可得由勾股定理可得BCBC 2 2 ABAB 2 2 6464( (5 5AEAE) ) 2 2 ACAC 2 2， ， 6464( (5 5AEAE) ) 2 2 2525AEAE 2 2， ， 解得解得AEAE7 7 5 5. . 第十七章 勾股定理 3 3如图如图Z Z17173 3，学校位于高速路，学校位于高速路ABAB的一侧的一侧( (ABAB成一直线成一直线) )， 点点A A、点、点B B为高速路上距学校直线距离最近的为高速路上距学校直线距离最近的2 2个隧道出入口，点个隧道出入口，点 C C、点、点D D为学校的两幢教学楼经测量，为学校的两幢教学楼经测量，ACBACB9
20、090，ADBADB 9090，ACAC600 m600 m，ABAB1000 m1000 m，D D到高速路的最短直线距离到高速路的最短直线距离DEDE 400 m.400 m. 第十七章 勾股定理 (1)(1)求教学楼求教学楼C C到隧道出入口到隧道出入口B B的直线距离；的直线距离； (2)(2)一辆载重汽车若从一辆载重汽车若从B B沿沿BABA方向驶向方向驶向A A，速度为，速度为70 km/h70 km/h，该汽车，该汽车 经过时噪声影响的最远范围为距离汽车经过时噪声影响的最远范围为距离汽车500 m500 m，通过计算说明教，通过计算说明教 学楼学楼C C和教学楼和教学楼D D是否
21、会受到该汽车噪声的影响，如果受到影响，是否会受到该汽车噪声的影响，如果受到影响， 受到影响的时间分别是多少？受到影响的时间分别是多少？ (3)(3)教学楼教学楼C C和教学楼和教学楼D D分别到隧道出入口点分别到隧道出入口点A A、点、点B B直线距离的平直线距离的平 方和谁大谁小？试计算比较说明方和谁大谁小？试计算比较说明( (即比较图中即比较图中ACAC2 2BCBC2 2与与ADAD2 2BDBD2 2 的大小的大小) ) 第十七章 勾股定理 解：解：(1)(1)在在RtRtABCABC中，中，C C9090， 根据勾股定理，得根据勾股定理，得BC BC 2 2AB AB 2 2AC A
22、C 2 2100010002 26006002 28008002 2， BCBC800(m)800(m)， 即教学楼即教学楼C C 到隧道出入口到隧道出入口B B的直线距离为的直线距离为800 m.800 m. (2)(2)如图，过点如图，过点C C作作CFCFABAB于点于点F F， 第十七章 勾股定理 由由CFCFABABACACBCBC，所以所以CFCF480480( (m m) ) CFCF480480 m m500500 m m，DEDE400400 m m500500 m m， 教学楼教学楼C C和教学楼和教学楼D D均会受到该汽车噪声的影响均会受到该汽车噪声的影响 如图如图，设该
23、汽车行至点设该汽车行至点Q Q时教学楼时教学楼D D开始受到噪声的影响开始受到噪声的影响，行至点行至点P P 时不再受噪声的影响时不再受噪声的影响，则则DPDPDQDQ500500 m m， 又又DEDE400400 m m， 根据勾股定理根据勾股定理，得得EQEQ300300 m m， 第十七章 勾股定理 PQPQ2 2EQEQ600600 m m， 600600 m m0.60.6 kmkm，0.60.6707036003600216 216 7 7 ( (s s) )， 即教学楼即教学楼D D受到该汽车噪声影响的时间为受到该汽车噪声影响的时间为216 216 7 7 s.s. 设该汽车行
24、至点设该汽车行至点H H时教学楼时教学楼C C开始受到噪声的影响开始受到噪声的影响， 行至点行至点G G时不再受时不再受 噪声的影响噪声的影响，则则CGCGCHCH500500 m m， 又又CFCF480480 m m， 根据勾股定理根据勾股定理，得得FHFH140140 m m，GHGH2 2FHFH280280 m m， 第十七章 勾股定理 (3)(3)AD AD 2 2BD BD 2 2AC AC 2 2BC BC 2 2，说明如下：如图，说明如下：如图， 根据勾股定理，得根据勾股定理，得AC AC 2 2BC BC 2 2AB AB 2 2. . 过点过点B B作作BKBKADAD，
25、交，交ADAD的延长线于点的延长线于点K K. . 根据勾股定理，得根据勾股定理，得BK BK 2 2BD BD 2 2DK DK 2 2， BK BK 2 2AK AK 2 2AB AB 2 2， ( (ADADDKDK) )2 2BKBK2 2ABAB2 2， 第十七章 勾股定理 即即ADAD 2 2 DKDK 2 2 2 2ADADDKDKBDBD 2 2 DKDK 2 2 ABAB 2 2， ， ADAD 2 2 2 2ADADDKDKBDBD 2 2 ABAB 2 2. . ADAD0 0，DKDK0 0，2 2ADADDKDK0 0， ADAD 2 2 BDBD 2 2 ABAB
26、2 2. . 综合综合，得得ADAD 2 2 BDBD 2 2 ACAC 2 2 BCBC 2 2. . 第十七章 勾股定理 280 m280 m0.28 km0.28 km， 0 0282870703600360014.4(s)14.4(s)， 即教学楼即教学楼C C受到该汽车噪声影响的时间为受到该汽车噪声影响的时间为14.4 s.14.4 s. 第十七章 勾股定理 攻克陷阱提分练 4 4有一个长、宽、高分别为有一个长、宽、高分别为2 cm2 cm，1 cm1 cm，3 cm3 cm的长方体，如的长方体，如 图图Z Z17174 4所示，有一只蚂蚁想从点所示，有一只蚂蚁想从点A A爬到点爬到
27、点C C1 1处，请你帮蚂蚁处，请你帮蚂蚁 设计爬行的最短路线，并计算出蚂蚁爬行的最短路程是多少设计爬行的最短路线，并计算出蚂蚁爬行的最短路程是多少 图图Z Z17174 4 第十七章 勾股定理 解：解： 蚂蚁沿图蚂蚁沿图所示路线爬行时所示路线爬行时， 最短路程最短路程ACAC1 1 （2 21 1） 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2( (cmcm) )； 蚂蚁沿图蚂蚁沿图所示路线爬行时所示路线爬行时，最短路程最短路程ACAC1 1 1 1 2 2（ （2 23 3） 2 2 2626( (cmcm) )； 蚂蚁沿图蚂蚁沿图所示路线爬行时所示路线爬行时，最短路程最短路程ACAC1 1 2
28、 2 2 2（ （1 13 3） 2 2 2 2 5 5( (cmcm) ) 3 3 2 22 2 5 5 2626， 蚂蚁沿图蚂蚁沿图所示路线爬行的路程最短所示路线爬行的路程最短，它爬行的最短路程为它爬行的最短路程为 3 3 2 2 cm.cm. 第十七章 勾股定理 超越自我拓展练 5 5我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等 于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交 点为勾股顶点点为勾股顶点 特例感知特例感知 等腰直角三角形等腰直角三角形_勾股高
29、三角形勾股高三角形( (请填写“是”或“不是”请填写“是”或“不是”) )； 如图如图Z Z17175 5，已知，已知ABCABC为勾股高三角形，其中为勾股高三角形，其中C C为勾股顶为勾股顶 点，点，CDCD是是ABAB边上的高，若边上的高，若BDBD2 2ADAD2 2，试求线段，试求线段CDCD的长的长 第十七章 勾股定理 是是 图图Z Z17175 5 深入探究深入探究 如图如图，已知，已知ABCABC为勾股高三角形，其中为勾股高三角形，其中C C为勾股顶点且为勾股顶点且CACA CBCB，CDCD是是ABAB边上的高，试探究线段边上的高，试探究线段ADAD与与CBCB的数量关系，并给
30、予证的数量关系，并给予证 明明 第十七章 勾股定理 推广应用推广应用 如图如图，等腰三角形，等腰三角形ABCABC为勾股高三角形，其中为勾股高三角形，其中ABABACACBCBC，CDCD 为为ABAB边上的高，过点边上的高，过点D D作作BCBC边的平行线与边的平行线与ACAC边交于点边交于点E E，若，若CECEa a， 试求线段试求线段DEDE的长的长 第十七章 勾股定理 解：解：特例感知：特例感知： 根据勾股定理根据勾股定理，得得CBCB 2 2 CDCD 2 2 4 4，CACA 2 2 CDCD 2 2 1 1， CDCD 2 2 CBCB 2 2 CACA 2 2 ( (CDCD
31、 2 2 4)4)( (CDCD 2 2 1)1)3 3， CDCD 3 3. . 深入深入探究：探究： ADADCBCB. .证明：由证明：由CACA 2 2 CBCB 2 2 CDCD 2 2， ，可得可得CACA 2 2 CDCD 2 2 CBCB 2 2， ，而而CACA 2 2 CDCD 2 2 ADAD 2 2， ， ADAD 2 2 CBCB 2 2， ，ADADCBCB. . 第十七章 勾股定理 推广应用：推广应用： 过点过点A A向向EDED引垂线引垂线，垂足为垂足为G G. . 勾股高三角形勾股高三角形ABCABC为等腰三角形为等腰三角形， 且且ABABACACBCBC，
32、， 只能是只能是ACAC 2 2 BCBC 2 2 CDCD 2 2， ， 由由“深入探究深入探究”可知可知ADADBCBC. . DEDEBCBC，ADGADGB B. . 又又AGDAGDCDBCDB9090， AGDAGDCDBCDB( (AASAAS) )，DGDGBDBD. . ADEADE与与ABCABC均为等腰三角形均为等腰三角形， 根据根据“三线合一三线合一”可知可知DEDE2 2DGDG2 2BDBD. . 又又ABABACAC，ADADAEAE，BDBDCECEa a，DEDE2 2a a. . 第十七章 勾股定理 第十八章 平行四边形 全章方法结构图 平行四边形平行四边形
33、 一、根据对边的位置关系与数量关系进行判定一、根据对边的位置关系与数量关系进行判定 1.1.定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形. . 二、根据对角的数量关系进行判定二、根据对角的数量关系进行判定 4.4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形. . 三、根据对角线的数量关系进行判定三、根据对角线的数量关系进行判定 5.5.对角线互相平
34、分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 判判 定定 第十八章 平行四边形 三个角都是直角的四边形三个角都是直角的四边形 菱形菱形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 1.1.平行四边形的对边平行；平行四边形的对边平行； 2.2.平行四边形的对边相等；平行四边形的对边相等； 3.3.平行四边形的对角相等；平行四边形的对角相等； 4.4.平行四边形的对角线互平行四边形的对角线互 相平分相平分 正方形正方形 判定判定 性性 质质 判定判定 四条边相等的四边形四条边相等的四边形 1.1.利用正方形四利用正方形四 个角都是直角，个角都是直角， 结合等边对等角，结合等边对等角， 三角形内角和
35、等三角形内角和等 知识求解；知识求解； 2.2.利用正方形四利用正方形四 个角都是直角，个角都是直角， 结合其他常见图结合其他常见图 形的性质，利用形的性质，利用 勾股定理求解勾股定理求解 第十八章 平行四边形 重点归类提升练 1 1如图如图 Z Z18181 1，平行四边形平行四边形ABCDABCD中中，E E，F F分别是边分别是边BCBC，ADAD 的中点的中点，连接连接BFBF，DEDE，连接连接AEAE交交BFBF于点于点H H，并延长交并延长交DCDC的延长线的延长线 于点于点G G. . 图图Z Z18181 1 第十八章 平行四边形 (1)(1)求证：四边形求证：四边形EBFD
36、EBFD是平行四边形是平行四边形 (2)(2)若若ABCABC6060，BCBC2AB2AB4 4， 求四边形求四边形EBFDEBFD的周长；的周长； 求证：求证：CECE是是AGDAGD的中位线的中位线 (3)(3)连接连接ACAC，BGBG，求证：，求证：BACBACBGC.BGC. 第十八章 平行四边形 解：解：( (1 1) )证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形， ADADBCBC，ADADBCBC. . E E，F F分别是边分别是边BCBC，ADAD的中点的中点， DFDF1 1 2 2AD AD1 1 2 2BC BCBEBE. . 又又DFDFBE
37、BE，四边形四边形EBFDEBFD是平行四边形是平行四边形 第十八章 平行四边形 ( (2 2) )连接连接EFEF. . F F是是ADAD的中点的中点，AFAF1 1 2 2AD AD. . E E是是BCBC的中点的中点，BEBE1 1 2 2BC BC. . AFAFBEBE. . 又又AFAFBEBE，四边形四边形ABEFABEF为平行四边形为平行四边形 又又ABAB1 1 2 2BC BC，ABABBEBE， 第十八章 平行四边形 四边形四边形ABEFABEF为菱形为菱形 ABCABC6060，ABAB1 1 2 2BC BC2 2，AHAH1 1 2 2AB AB1 1， BHB
38、H 3 3，BFBF2 2 3 3， 四边形四边形EBFDEBFD的周长为的周长为 2 2BEBE2 2BFBF4 44 4 3 3. . 第十八章 平行四边形 证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形， ABABCGCG，ABABCDCD， BAEBAECGECGE，ABEABEECGECG. . 又又BEBECECE，ABEABEGCEGCE， AEAEEGEG，ABABCGCG， CDCDCGCG，CECE是是AGDAGD的中位线的中位线 (3)(3)证明：证明：ABEABEGCEGCE， AEAEGEGE，BEBECECE， 四边形四边形ABGCABGC是平行四
39、边形，是平行四边形， BACBACBGCBGC. . 第十八章 平行四边形 2 2如图如图Z Z18182 2所示，在四边形所示，在四边形ABCDABCD中，中，ADADBCBC，B B 9090，ADAD17 cm17 cm，BCBC20 cm20 cm，动点，动点P P从点从点A A出发沿出发沿ADAD方向向方向向 点点D D以以1 cm/s1 cm/s的速度运动，动点的速度运动，动点Q Q从点从点C C出发沿出发沿CBCB方向向点方向向点B B以以 3 cm/s3 cm/s的速度运动，点的速度运动，点P P，Q Q分别从点分别从点A A和点和点C C同时出发，当其同时出发，当其 中一点到
40、达端点时，另一点随之停止运动中一点到达端点时，另一点随之停止运动 图图Z Z18182 2 第十八章 平行四边形 (1)(1)若若ABAB4 cm4 cm，请解决下列问题：，请解决下列问题： 点点P P运动几秒时，四边形运动几秒时，四边形PQBAPQBA是矩形？写出你的推理过程是矩形？写出你的推理过程 在点在点P P运动的过程中，是否存在四边形运动的过程中，是否存在四边形PQCDPQCD是菱形的时刻？若存是菱形的时刻？若存 在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由 (2)(2)当四边形当四边形PQBAPQBA是正方形时，求是正方形时，求CDCD的长的
41、长 第十八章 平行四边形 解解：设运动时间为：设运动时间为t t s s，则，则APAPt t，CQCQ3 3t t， PDPD1717t t，BQBQ20203 3t t. . (1)(1)当当APAPBQBQ时，因为时，因为ADADBCBC，B B9090， 所以四边形所以四边形PQBAPQBA是矩形是矩形 此时此时t t20203 3t t，t t5 5， 点点P P运动运动5 s5 s时，四边形时，四边形PQBAPQBA是矩形是矩形 第十八章 平行四边形 不存在不存在 假设存在四边形假设存在四边形PQCDPQCD是菱形的时刻是菱形的时刻 当当PDPDCQCQ时时，ADADBCBC， 四
42、边形四边形PQCDPQCD是平行四边形是平行四边形， 此时此时 1717t t3 3t t，t t17 17 4 4 ，CQCQ51 51 4 4 . . 如图如图，过点过点D D作作DEDECBCB于点于点E E，ABABDEDE. . ADADBCBC，四边形四边形ABEDABED是平行四边形是平行四边形 B B9090，四边形四边形ABEDABED是矩形是矩形， 第十八章 平行四边形 ABABDEDE4 4，BEBEADAD1717， CECEBCBCADAD3 3，CDCD5.5. CDCDCQCQ， 四边形四边形PQCDPQCD不可能为菱形不可能为菱形 第十八章 平行四边形 ( (2 2) )由由( (1 1) )有有t t5 5 时时，四边形四边形PQBAPQBA是矩形是矩形， APAPt t5.5. 四
