1、 高中数学专题题型分类大全函数专题三 _ 函数的奇偶性与对称性函数的奇偶性与对称性 1 必修 1函数专题 三、函数的奇偶性与对称性三、函数的奇偶性与对称性 知知知知识识识识与与与与方方方方法法法法梳梳 梳梳理理理理 1、奇偶函数的定义与性质函数的定义与性质： 2、几个初等函数的奇偶性几个初等函数的奇偶性： （1）函数：y = ax + b 为奇函数时 b=0 ；为偶函数时 a=0 . （2）函数：y = ax2 + bx + c 为奇函数时 a=c=0 ；为偶函数时 b=0 . （3）函数：y = a x 为奇函数的时 aR ；为偶函数时 a=0 . （4） 指数函数： y = ax(a1,a
2、0) 与对数函数： y = logax(a1,a0) 属于 非奇非偶函数 . （5）幂函数：y = x(Q) 为奇函数时 为奇数 ；为偶函数 时 为偶数 . 3、函数图形的对称性函数图形的对称性： 4.常识知识与方法：常识知识与方法： （1）复合及合成函数的奇偶性： 注：f(x),g(x)都是非零函数，表中“非”即非奇非偶函数. (2)奇函数在 原点有定义时 一定经过原点. (3)一个定义在 R 上的函数如果有两个对称轴或对称中心， 则该 函数一定是周期函数. (4)定义域关于原点对称的常函数是偶函数 (5)既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数 题题题题型型型型分分分分类类类类例例例例析析 析
3、析 （一一）函数奇偶性的概念性质问题 题型结构特征：题型结构特征：无解析式函数的奇偶性的判断. 判断判断识识识识真真真真 1.下列说法正确的是( ) A如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函 数为奇函数 B 如果一个函数为偶函数， 则它的定义域关于坐标原点对 称 C 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称， 则这个函数 为偶函数 D 如果一个函数的图象关于 y 轴对称， 则这个函数为奇函 数 2.已知 yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则 F(x) 是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 【例题1】 2014全国课标1文5设函数)(),(x
4、gxf的定义域为 R，且 )(xf是奇函数，)(xg是偶函数，则下列结论中正 确的是（ ） A. )()(xgxf是偶函数 B. )(| )(|xgxf 是奇函数 C. | )(| )(xgxf 是奇函数 D. | )()(|xgxf是奇函数 类型题类型题( (一一) ) 1. f(x)是定义在 R 上的奇函数， 下列结论中， 不正确的是( ) Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)2f(x) Cf(x) f(x)0 D. fx fx1 2. 设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结 论恒成立的是（ ） A f(x)+|g(x)| 是 偶 函 数 B f(x)-|
5、g(x)| 是 奇 函 数 C|f(x)|+g(x)是偶函数 D|f(x)|- g(x)是奇函数 3. 函数( ) f x的定义域为 R，若(1)f x 与(1)f x都是奇函 数，则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.( )(2)f xf x D.( 3)f x 是奇函数 4. 函数 121 1 111 ( ),( ),( ), ( )( ) n n f xfxfx xxf xxfx LL 则函 奇偶性 定 义 性 质 偶函数 对定义域内任意 x 都有 f(-x) = f(x) 关于 y 轴对称 奇函数 对定义域内任意 x 都有 f(-x) = - f(x) 关于原点对称
6、 函数 y = f(x)满足 对称性 对称轴或中心 f(x) = f 1(x) 轴对称 y=x f(x) = f(2a x) 轴对称 x=a f(a + x) = f(a x) 轴对称 x=a f(a + x) = f(b x) 轴对称 x= a+b 2 f(a + x) + f(a - x) = 2b 中心对称 (a, b) f(x) + f(2a - x) = 2b 中心对称 (a, b) f(a + x) + f(b - x) = c 中心对称 (a+b 2 , c 2 ) 函数 f(x) g(x) fg(x) f(x) g(x) f(x) g(x) 奇 偶 性 奇奇 奇奇 奇 奇 偶
7、偶偶 偶偶 偶 偶 偶 奇奇 偶偶 偶 非 奇 偶偶 奇奇 偶 非 奇 非非 奇奇 非 非 非 非非 偶偶 偶 非 非 奇奇 非非 非 非 非 偶偶 非非 非 非 非 高中数学专题题型分类大全函数专题三 _ 函数的奇偶性与对称性函数的奇偶性与对称性 2 数 2015( ) fx是（ ） A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 （二）函数解析式奇偶性的判断 题型结构特征：题型结构特征：有解析式函数的奇偶性的判断 【例题2】 判断下列函数的奇偶性. (1) )y = x4 - x3 x - 1 ; (2) y = 1 2 - x2 ;
8、 (3) f(x)=x( 1 2x - 1 + 1 2 ); (4)f(x) = log2(x + x2 + 1). 【例题3】 判断函数 2 2 2 0, ( ) 2 0 xxx f x xxx 的奇偶性并 画出它的图像. 解法辩伪解法辩伪 判断函数 f(x) = 2 2 23, 0, 2, 0, 23, 0 xxx x xxx 的奇偶性. 错解 当 x 0时， f( - x) = ( - x)2 + 2( - x) + 3 = - (- x2 + 2x 3) = - f(x). 函数 f(x)是奇函数. 【例题4】 2015 广东理 3下列函数中， 既不是奇函数， 也不 是偶函数的是( )
9、 A x exy B x xy 1 C x x y 2 1 2 D 2 1xy 类型题类型题( (二二) ) 1. 判断下面两个函数的奇偶性并说明为什么： (1)f(x)|2x1|2x1|； (2)f(x) =x + 1 x ; (3)f(x) = x 2-1 x+1 + 1； （4）f(x) 1x2， x0， 0， x0， x21， x0. 2. 函数 y = 1 - x 2 + x2 - 1 是（ ） ； A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3. 函数y 1x 2 9 1|x|是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非
10、奇非偶函数 4. 2015 湖南文 8设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则 f（x）是 ( ) A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数 C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数 5. 函数 f(x) = ln( 1)(0), 0 (x=0), ln( 1x)(0) xxx xx 的奇偶性是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.即是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数 6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( ) Ayx25(xR) Byx Cyx3(xR) Dy1 x(xR，x0) 7. 若函数
11、f（x） =3 x+3-x与 g（x） =3 x-3-x的定义域均为 R， 则( ) Af（x）与 g（x）均为偶函数 Bf（x）为偶函数，g（x）为奇函数 Cf（x）与 g（x）均为奇函数 Df（x）为奇函数，g（x）为偶函数 （三）利用对称点求值 1. 分段函数求值分段函数求值 题型结构特征：题型结构特征：具有奇偶性的分段函数 【例题5】 若函数 f(x) x2 g(x) 为奇函数，则 f(g(1)_. 2. 抽象函数求值抽象函数求值 题型结构特征：题型结构特征：具有奇偶性的抽象函数 【例题6】 设函数 f(x)(xR)为奇函数，f(1)1 2，且 f(x2) f(x)f(2)，则 f(5
12、)_. 3. 合成复合函数求值合成复合函数求值 题型结构特征：题型结构特征：具有奇偶性的合成及复合函数 判断判断识识识识真真真真 给出函数 f(x)|x31|x31|，则下列坐标表示的点一 定在函数 yf(x)的图象上的是( ) A. (a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 高中数学专题题型分类大全函数专题三 _ 函数的奇偶性与对称性函数的奇偶性与对称性 3 【例题7】 已知函数 2 ln1931,f xxx则 1 lg2lg 2 ff （ ） A. - 1 B0 C1 D2 类型题类型题( (三三) ) 1. 若点(1,3)在奇函数 yf(x)的图象上，则 f(
13、1)等于( ) A0 B1 C3 D3 2. 已知, 8)( 35 bxaxxxf且10)2(f,那么)2(f等 于( ) A10 B10 C18 D26 3. 已知 yf(x)x2是奇函数，且 f(1)1.若 g(x)f(x)2，则 g(1)_. 4. 设( )f x为 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 当0x 时 ， ( )22 x fxxb（b为常数） ，则 ( 1)f （ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 5. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 2 xx aaxgxf 1, 0aa且，若 ag2，则 2f A.2 B. 15 4 C. 17 4 D.
14、2 a （四）函数的对称中心和轴 1. 对称轴的判断对称轴的判断 题型结构特征：题型结构特征：判断是否具有轴对称性或求其对称轴 判断判断识识识识真真真真 函数 41 2 x x f x 的图象( ) A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 已知 f(2x + 1)是偶函数，求函数 f(2x)及 f(x)的图象的对称 轴. 错解 f(2x + 1)是偶函数， f(2x + 1) = f( - 2x + 1) 故 f(2x)的对称轴为 x = 1，f(x)的对称轴为 x = 1 2 . 【例题8】 2017 全国新
15、课标 1 文 9 已知函数 f(x) = lnx + ln(2 - x)，则 Af(x)在(0,2)单调递增 Bf(x)在(0,2)单调递减 Cy = f(x)的图像关于直线 x=1 对称 Dy = f(x)的图像关于点（1，0）对称 2. 对称中心的判断对称中心的判断 题型结构特征：题型结构特征：判断是否具有中心对称性或求对称中心 【例题9】 三次函数都存在对称中心，某同学发现把函数 f(x)= x3 - 3x2 + 5x - 1 的图像平移， 使其对称中心变成原点， 则新图像对应函数就会变成奇函数. 那么函数 f(x)图像的 对称中心是 . 类型题类型题( (四四) ) 1. 已知函数 y
16、 = f(x + 3)是偶函数， 则函数 y = f(x)图像的对称轴 为直线（ ） A.x = - 3 B.x = 0 C.x = 3 D.x = 6 2. 函数 y = 2| x + 3| +的对称轴为 3. 函数 2 2 log 2 x y x 的图像（ ） A. 关于原点对称 B.关于主线yx 对称 C. 关于y轴对称 D.关于直线y x 对称 4. 函数 y(x1)31 的图象的对称中心是_ 5. 函数 3 )()(axxf 对任意Rt，总有 )1 ()1 (tftf ， 则 )2()2( ff 等于 . 6. 用 mina,b表示 a， b 两数中的最小值。 若函数 f(x)= m
17、in|x|,|x + t|的图像关于直线 x= 1 2 对称，则 t 的值为 A-2 B2 C-1 D1 （五）函数奇偶性对称性确定的参数问题 1. 偶函数确定的参数偶函数确定的参数 题型结构特题型结构特征：征：已知偶函数求参数 【例题10】 2014 湖南文 15若 axexf x 1ln 3 是偶函数， 则a_. 2. 奇函数确定的参数奇函数确定的参数 题型结构特征：题型结构特征：已知奇函数求参数 【例题11】 已知函数 f(x)ax 21 bxc (a，b，cZ)是奇函数， 又 f(1)2，f(2)3，求 a，b，c 的值 高中数学专题题型分类大全函数专题三 _ 函数的奇偶性与对称性函数
18、的奇偶性与对称性 4 解法解法辩辩辩辩伪伪伪伪 已知定义域为R的函数 a b xf x x 1 2 2 )( , 是否存在实数a,b 使函数 f(x)为奇函数， 如果存在求 a,b 的值， 若不存在说明理由. 错 解 当 f(x) 是 奇 函 数 时 ， f(0)=0, f(-1) = - f(1), 即 1 1 0, 2 22 14 b a bb aa 解得 2, 1 a b . 故存在 a、b 实数使 f(x)为奇函数. 3. 非奇偶对称函数确定的参数非奇偶对称函数确定的参数 题型结构特征：题型结构特征：非奇偶函数具有对称性，求参数 【例题12】 2015 福建文 15若函数( )2()
19、x a f xaR 满足 (1)(1)fxfx，且( )f x在 ,)m 单调递增，则 实数m的最小值等于_ 【例题13】 若函数 f(x)=(1x2)(x2axb)的图像关于直线 x=2 对称，则 f(x)的最大值是_. 类型题类型题( (五五) ) 1. 函数 f(x) = x2 + ax 1 是偶函数，则 a 的值为 . 2. 若函数 f(x)(x1)(xa)为偶函数，则 a 等于( ) A2 B1 C1 D2 3. 已知函数 f(x)ax2bx3ab 为偶函数，其定义域为a 1,2a，则 ab_. 4. 若函数 f(x) xa bx1为区间1,1上的奇函数，则它在这一 区间上的最大值为
20、_ 5. 2015 新课标 1 理 13若函数 f(x)xln(x 2 ax )为偶函数， 则 a 6. 设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数 a=_. 7. 若 1 ( ) 21 x f xa 是奇函数，则a . 8. 2015 天津文 7 已知定义在 R 上的函数 | ( )21 x m f x （m 为实数）为偶函数,记 0.5 (log3),af= 2 b(log 5),c(2 )ffm= ,则 , ,a b c,的大小关系为（ ） A. bca 0 个单位后 关于 xa1 对称，当 x2x11 时，f（x2）f（x1 ） (x 2 x1)0 恒成立，设 af
21、(1 2)，bf(2)，cf(e)，则 a，b， c 的大小关系为( ) Acab Bcba Cacb Dbac 【例题17】 对于定义在区间 M 上的函数 f（x） ，若满足 对x1，x2M 且 x1x2时，都有 f（x1）f（x2） ，则称 函数 f（x）为区间 M 上的“非减函数”，若 f（x）为区间0， 1上的“非减函数”，且 f（0）=0，f（x）+f（1x）=1； 又当 x ，1时，f（x）2x1 恒成立有下列命题： x0，1，f（x）0；当 x1，x20，1且 x1x2 时，f（x1）f（x2） ；f（）+f（）+f（）+f（ ） =2；当 x ，1时，f（f（x） ）f（x）
22、其中正确命题有（ ） A B C D 【例题18】 若定义在 R 上的函数 f(x)对任意的 x1，x2R 都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)1 成立，且当 x0 时，f(x)1. (1)求证：f(x)1 为奇函数； (2)求证：f(x)是 R 上的增函数； (3)若 f(4)5，解不等式 f(3m2m2) 0 成立 (1)判断 f(x)在1，1上的单调性，并证明你的结论； (2)解不等式 f(x1 2)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10) 6. 已知函数 f(x) x 24x，x0 x24x，x0 0 x0 x2mx x0)在区间8 , 8 上有 四个不同的根 123
23、4 ,x x x x,则 1234 _.xxxx 5. 已知函数 f(x) （xR） 满足 f(x)=f(2-x)， 若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为（x1,y1） ，(x2,y2)， （xm,ym） ，则 1 = m i i x A.0 B.m C. 2m D. 4m 类型题补充类型题补充 高中数学专题题型分类大全函数专题三 _ 函数的奇偶性与对称性函数的奇偶性与对称性 8 方法点拨及参考答案或提示方法点拨及参考答案或提示函数专题（三）函数专题（三） （一一）函函数数奇奇偶偶性性的的概概念念性性质质问问题题 方法要领指点方法要领指点： 严格按定义来判断，即考察
24、f( -x)与 f(x)关系， 熟记复合与合成函数奇偶规律参见 知知识识与与方方法法梳梳理理 4. 判断判断识识识识真真真真 1.B. 2.B. 【例题1】 C.解析 )(xf是奇函数，)(xg是偶函数，则 |f(x)|、 |g(x)|都是偶函数， 所以 f(x)g(x)是奇函数，)(| )(|xgxf 是偶函数， | )(| )(xgxf 是奇函数，| )()(|xgxf是偶函数， 故答案选 C 类型题类型题( (一一) ) 1. D. 2. A. 3. D.解析 (1)f x 与 (1)f x 都是奇函数，所以 f(x + 1)与 f(x - 1) 都关于原点对称， 则 f(x)图象关于(
25、-1 , 0)及(1, 0)成中 心对称， 所以(- 3, 0) 及(3, 0)也是 f(x)的对称中心 那么 f(x + 3)与 f(x - 3)也都关于原点对称，即他们都是奇函数 4. A.解析 与 f1(x)为奇函数，而 f2( - x)= 1 - x + f1( - x) = 1 - x - f1(x) = - 1 x + f1(x) = - f2(x). 所以 f2( x )为奇函数，以 此类推各函数都是奇函数 （二二）函函数数解解析析式式奇奇偶偶性性的的判判断断 方法要领指点方法要领指点： 要特别注意函数定义域必须关于原点对称. . 【例题2】 解析. (1) 与函数定义域为(-,
26、 1)(1,+)， 不关于原点对 称，故为非奇非偶函数; (2) 令 f(x) = 1 2 - x2 ;其定义域为( - 2 ， 2 ） ，且 f(- x) = f(x)，f(x)为偶函数； (3) f(x)=x( 2x + 1 2(2x - 1) ) , 其定义域为x| x0 xR且f( - x) = - x 2 2 - x + 1 2- x - 1 = x 2 2x + 1 2x - 1 ,所以 f(x)为偶函数; (5)f(x) 定义域为 R，且 f( - x)= log2( - x + x2 + 1) = log 1 x + x2 + 1 = - log(x + x2 + 1) = -
27、 f(x),所以 f(x) 为奇函数. 【例题3】 解析 (1)x0 时，f(x) = x2 - 2x, 且 x 2, x1x2 1, f(x2) - f(x1) 0 即 f(x2) f(x1)，则 f(x)在1, +)为增函数. 11. 解析（1）由题得， 248 ( )1(, 1)(1,) 2424 x xx f x 1 2 1 ( )2log 1 x fx x ，(, 1)(1,)x U 2 ( ) 2 x x a f x a 且0a 当0a 时， ( )1,f xxR ， 对任意的xR都有( )()f xfx，( )yf x为偶 函数 当 1a 时， 21 ( ),0 21 x x f
28、 xx ， 211 2 () 211 2 xx xx fx ， 对 任 意 的0x 且xR都 有 ( )()f xfx ， ( )yf x 为奇函数 当 0a 且1a 时，定义域为 2 log,x xa xR ， 定义域不关于原定对称， ( )yf x 为非奇非偶函数 （六六）奇奇偶偶对对称称性性函函数数的的单单调调问问题题 方法要领指点方法要领指点： 奇函数单调性 y 轴左右相同，而偶函数左右相 反. . 1. 偶函数的单调性偶函数的单调性 判断判断识识识识真真真真 B 解析由 f(x)为偶函数且 f(x)f(2x)得 f(x)为以 2为周期 的周期函数，根据 f(x)为偶函数且在1，2上为
29、减函数，则 f(x) 在2，1上为增函数，在3，4上为减函数，所以选 B. 【例题14】 C 解析f(x)是奇函数且在 R 上是增函数， 所 以当 x 0 时，f(x)0，从而 g(x) = xf(x)是 R 上偶函数，且 在0, +)上是增函数. a = g( - log25.1), 20.81 时， f(x2)f(x1)(x2x1) 5 2 2 1， 所以 f(e)0 时，f(x)1， f(x2x1)f(x2)f(x1)11，f(x1)0 成立， f（x2）f（x1） x2（x1） f（x2）f（x1） x2x1 0. 又 x2x10，f(x2)f(x1)0，即 f(x1)f(x2)， f
30、(x)在1，1上是增函数 (2)由(1)可知，不等式 f(x1 2)f( 1 x1)等价于 1 1 x11， 1x1 21， x1 2 1 x1， 解得3 2x1. 从而所求不等式的解集为x|3 2x0， g（1）2mm20 或 m0， g（1）2mm20， 解得 m0 或 m2 或 m2， 因此 m 的取值范围是(，202，) 类型题类型题( (六六) ) 1. D解析由因为 f(x)为奇函数且在(-, +)单调递减，要使 -1f(x)1 成立，则 x 满足-1 x 1，从而由-1 x - 2 1 得 1 x 3. 2. D. 3. 1 3 ( , ) 2 2 解析由 f x 是偶函数可知，
31、0， 单调递增； 0， 单调递减 又 1 22 a ff ， 22ff 可得， 1 22 a 即 1 1 2 a 13 22 a 4. C解析由 f(2x)f(x)可知函数关于直线 x1 对称 所以 f (1 2)f ( 3 2)，f ( 1 3)f ( 5 3)，且当 x1 时，函数单调 递增，所以 f (3 2)f ( 5 3)f (2)，即 f ( 1 2)f ( 1 3)f (2)，故选 C. 5. D. 6. 解析x0 时，x0，f(x)x24xf(x) x0 时，x0，f(x)x24xf(x)， 又 f(0)0，函数 f(x)是奇函数 f(a2)f(a)0，f(a2)f(a)， 函
32、数 f(x) x 24x，x0 x24x，x0 ， h(x)x24x 在0，)单调递减，h(x)maxh(0)0 g(x)x24x 在(，0)上单调递减，g(x)ming(0)0 由分段函数的性质可知，函数 f(x)在 R 上单调递减 f(a2)f(a)，a2a，a1. 7. (- 7,3) 8. (1)m=2. (2)1a3 9. (1)0；(2)偶函数； (3) - 15x17 1 10 0. . (1) 奇函数；(2)减函数；(3) - 1 （七）奇奇偶性对称性与周期性的综合问题 1. 两对称确定的周期两对称确定的周期 方法要领指点方法要领指点： 将对称关系都化为 f(x) = f(2a
33、 x)或 f(x) = 2b f(2a x)形式即可推出周期. . 判断判断识识识识真真真真 B 解析由 f(x)为偶函数得 f(2x)f(2x)=f(x - 2)， f(x) 是周期为 4 的函数 【例题20】 D 解析 f(x2)为偶函数f(x2)f(x 2)，即 f(x4)f(x) 又 f(x)f(x)，f(x4)f(x)， f(x8)f(x4)f(x)，f(x)的周期为 8. f(8)f(9)f(0)f(1)011. 2. 轴对称与周期轴对称与周期 方法要领指点方法要领指点： 具有周期性的轴对称函数必有多个对称轴. . 判断判断识识识识真真真真 2B解析f(x2)f(1(1x)f(1x
34、)f(x)，即 f(x) 是周期函数，T2，又 f(x)的图象关于直线 x2 对称，所以 f(x) 的图象关于 y 轴对称，故函数为偶函数. 【例题21】 B解析f(- x) = f(x)，关于 y 轴对称，周期为 2. 故选 B. 3. 中心对称与周期中心对称与周期 方法要领指点方法要领指点： 具有周期性的中心对称函数必有多个对称中 心，有些半周期关系也可推出对称轴. . 【例题22】 D解析由 f(x)为奇函数可得 f(x) = - f(x - 4) = f(4 - x),f(x)关于直线 x = 2 对称. 又由(4)( )f xf x知 f(x + 4) = - f(x),且 f(x
35、+ 8) = f(x + 4) + 4 = - f(x + 4) = f(x), 即 f(x)是周期为 8 的函数. f( - 25) = f(24 - 25) =f( - 1)= - f(1) 0，f(80) = f(0) = 0( 25) (80)(11)fff . 类型题类型题( (七七) ) 高中数学专题题型分类大全函数专题三 _ 函数的奇偶性与对称性函数的奇偶性与对称性 12 1. 1 2 . 2. 2 ( )2(1)4(0, 2)f xxx 3. B. 4. 0 5. D. 6. 解析解析（I）f( 1 2 )= 2 , f( 1 4 )= 4 2 （II）证明：证明：依题设yf
36、x( )关于直线x 1对称 故f x fxxR( )()2， 又由f x( )是偶函数知 fxf xxR()( )， fxfxxR()()2， 将上式中x以x代换， 得 f xf xxR( )()2 ， 这表明f x ( )是R上的周期函数，且 2 是它的一个周期 f x ( )是偶函数的实质是f x( )的图象关于直线x0对称 又f x( )的图象关于x 1对称，可得f x ( )是周期函数 且 2 是它的一个周期 （八）奇奇偶偶性性对对称称性性函函数数的 的零零点点问问题题 方法要领指点方法要领指点： 对称性函数的零点也是对称的，对称零点的横 坐标的和必为定值. . 1. 轴对称函数的零点
37、问题轴对称函数的零点问题 【例题23】 D.解析解析设关于 f(x)的方程 2 ( )( )0m f xnf xp 两根 y1 、y2. 由关于 x 方程 f(x) = y1 ,及 f(x) = y2对应的两解分别为 x1、x2及 x3、x4则 x1+x2= x3+x4= - b a .显然 D 答案不满足. 【例题24】 解析解析(1)由 f(2 - x ) = f(2 + x),f(7 - x) = f(7 + x)， 可知：f(x) = f(4 - x)及 f(x) = f( 14 - x).f(4 - x) = f( 14 - x) 则 f(x) 为周期是 10 的函数. f(-1)
38、= f4 - (- 1) =f(5) 0. f( - 1) f(1) 0.则 f(x)是非奇 非偶函数. (2)设 x(7,10，时 14-x4, 7) ,f(x) = f(14 - x) 0,则 f(x) 在0, 10上有且只有两个零点.且在0, 5区间上也是只有两个零 点. 由周期性可知，在-2010, 2010上有 402 个整周期，计 804 个零点， - 1015,- 1010等同5,10无零点， 2010,2015等同0, 5 有两零点.在-2015, 2015总计 806 个零点. 2. 中心对称函数的零点问题中心对称函数的零点问题 【例题25】 B 解析由f(-x)= 2 - f(x)，知 f(x)是以（0，1）为 中心的函数，而函数 1x y x = 1 x + 1 是以（0，1）为中 心的双曲函数.与 y =(x)图像的交点(x1, y1),(x2,y2), , (xm,ym) 也 一 定 成 对 关 于 （ 0 ， 1 ） 对 称 ， 所 以 x1+x2+ +xm=m 0=0, y1+y2+ +ym = m 1= m则 1 () m ii i xy m, 答案选 B 类型题(八) 1. D. 2. - 8 3. D. 4. A. 5. B.
