1、 第三单元第三单元 正比例与反比例正比例与反比例 教材分析教材分析 正比例和反比例是数学课程标准 “数与代数”领域的重要内容。具体目 标有四点：1.在实际情境中理解什么是按比例分配，并能解决简单的问题；2. 通过具体问题认识成正比例、反比例的量；3.能根据给出的有正比例关系的数据 在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值；4.能找 出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。正比例和反比例历来是小 学数学里的重要内容之一。通过对正比例与反比例知识的学习，可以加深学生对 比例的理解及对数量关系的认识，初步渗透函数思想，为今后学习中学数学和物 理、化学打下基础。与教学大纲
2、比较， 标准对这部分内容的教学要求有所提 高。不仅要求学生认识正比例关系的图像，还能根据给出的有正比例关系的数据 在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计出另一个量的值。淡化 脱离现实背景判断比例关系，而通过大量的例子以及图形给学生丰富的感知经 验。 学生通过对两个数量保持商一定或积一定的变化， 理解正比例和反比例关系， 不安排应用正、反比例关系解决实际问题。 本单元主要内容有：正比例的意义，找出生活中成正比例的实例，根据正比 例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量估计另一个量的 值； 反比例的意义， 找出生活中成正比例的实例； 正、 反比例关系的字母表达式。 这些内
3、容都可使学生体会到正、 反比例的意义既是正比例知识和反比例知识的逻 辑起点，同时也分别是判断两种量是成正比例的量还是成反比例的量、学习正比 例图像、解决正比例和反比例问题的依据和基础。学习这部分知识时，学生根据 正反比例的意义判断两种量是不是成正反比例比较困难。教学时，一方面要用好 教科书提供的素材， 另一方面还可以根据学习的需要补充一些学生熟悉的生活素 材，引导学生利用生活经验更好地理解成正比例、反比例关系中的两种相关联的 量之间的变化规律。教材中相关变量之间关系用数值（表格） 、图像、解析（关 系式）三种方式来表示，更有助于学生理解成正、反比例的量的变化规律，对函 数思想获得初步的了解。
4、本单元教材在内容编排上有以下特点：本单元教材在内容编排上有以下特点： 1.重视教学内容的思想价值。在“正比例、反比例”的研究中，充满着已知 与未知、特殊与一般、具体与抽象的对立与统一，充满着运动、变化的思想。以 “正比例”为例，其图像的呈现形式，从表面上看是静止的一条线，但从列表、 描点到连线这一过程看，却是运动的、变化的。再进一步考察，画成的图像从表 面上看是完整的， 其实是局部的、 不完整的。 因为它还可以延伸， 即不断地运动、 发展、变化。 2.强调对模式与关系的体会、理解。函数是刻画现实世界数量变化规律的数 学模型。正比例、反比例中隐含的数学函数思想，对学生后续学习数学、物理、 化学等
5、学科有重要的促进作用。学习正比例、反比例，数学思维方式发生重要转 折，即思维从静止走向运动，从离散走向连续，从运算走向关系。在标准中， 通过绘图、估计值、找实例交流等不同于以往的教学活动，帮助学生体会两个变 量之间相互依存的关系，丰富关于变量的经历，为以后学习函数概念打下基础。 3.注重在具体情境中去体验、理解有关知识。第一，引导学生全面经历正比 例及其图像、反比例等内容的探索过程，如认识成正比例关系的量时，活动一只 是让学生理解路程是怎样随着时间的变化而变化的，活动二之后，教材才给出了 正比例关系的一般化描述。同样，教学正、反比例的意义后，并没有给出字母表 达式，而是在正、反比例的意义之后，
6、安排了一节练习课，在学生更好地理解了 正比例、反比例关系中的两种相关联的量之间的变化规律后总结字母表达式。第 二，选取现实生活中具有正、反比例关系的素材，让学生了解这些知识在现实生 活中的背景，知道这些内容是怎么产生的。 教学目教学目标：标： 1.通过具体情境认识成正比例、反比例的量，能找出生活中成正比例和成反 比例量的实例，并进行交流。 2.能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图， 并根据其 中一个量的值估计另一个量的值。 3.在判断成正比例或成反比例量的过程中，能进行有条理的思考，能对结论 的合理性作出有说服力的说明。 4.能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他办法。
7、5.对现实生活中成正、反比例的事物有好奇心，认识到许多实际问题可以借 助画图的方法来解决。 教学重点：教学重点： 理解正、反比例的意义，学会根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是 否成比例。用画图的方法解决正比例关系问题。 【学情分析】【学情分析】 1学生在学习本单元之前已经学习了比和比例的有关知识，会解决按比例 分配的简单数学问题。 2有一些朴素的正、反比例概念。学生在中已经积累了一些这方面的经验， 比如坐车时间越长，行走的距离就越远。 第一课时第一课时 正比例正比例 学科学科 年级年级 班级班级 课题课题 认识正比例认识正比例 课型课型 新授新授 课时课时 主备人主备人 责任人责任人 审
8、核人审核人 学习学习 目标目标 1结合具体实例，经历认识成正比例的量的过程。 2知道正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系，能找出生活中 成正比例的实例，并进行交流。 3对显示生活中成正比例关系的事物有好奇心，在判断成正比例量的过 程中，能进行有条理的思考。 学习学习 重点重点 结合具体实例，经历认识成正比例的量的过程。 学习学习 难点难点 知道正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系 学习学习 准备准备 多媒体课件 学学 习习 过过 程程 自自 主主 实实 践践 学习要点与学法指导学习要点与学法指导 课前课前 三分钟三分钟 前置前置 小研究小研究 课本第 18 页例 1 的两个里程表。
9、 1.从这两个里程表中，你了解到什么？ 2.算一算， 这辆汽车 1 小时跑了多少千米？ 3.你能将表格空白部分填写出来吗? 4.观察表格中的数据，你发现了什么？ 口述教材内容，既激 发学习兴趣，更有利 于学生理解问题，解 决问题师生共同完 成，生成课程资源， 把更多的时间用于新 知的学习。在已有经 验和知识的背景下， 初步感受时间和路程 的关系。 小组小组 交流交流 时间 （时） 2 3 4 5 6 路程 （千米） 180 270 360 小组探究: 1.写出相对应的路程和时间的比， 并求出比 值。 2.观察写出的比和比值，你发现了什么？ 3.写出一个关于路程、时间和速度的关系 式。谁来说说是
10、什么？ 4.这个关系式中，什么量是变化的，什么量 是不变的？ 5.谁来说说在速度一定的情况下， 路程和时 间有什么关系？ 1提出“写出相对应 的路程和时间的比， 并求出比值”的要求， 师生共同完成。2观 察写出的比和求出的 比值，交流发现了什 么？教师说明：90 既 是比值，又是速度， 然后得出比值都是 90 的结果。3在教师的 启发下，由学生归纳 出路程、时间和速度 的关系式：路程时 间=速度 （一定） 4 提 出“议一议”的问题， 鼓励学生用自己的语 言说明。结合行程问 题，教师参照教材上 的表述介绍路程和时 间这两种量成正比 例。 班级班级 展示展示 2.自动笔的单价为 1.6 元，请完
11、成下表。 数量 （支） 2 3 4 5 6 7 8 总价 （元） 3.2 4.8 6.4 在学生自主计算和观 察的基础上，自主总 结关系式，获得积极 的学习经验判断是否 成正比例的过程，既 1.买一支自动笔 1.6 元， 请同学们算一算买 2 支、3 支、5 支、6 支、7 支、8 支各花多 少钱？ 2.观察表中数据，你发现了什么规律？3. 写出一个式子表示总价、 数量和单价之间的 关系吗？试一试！ 3.买自动笔的总价和买自动笔的数量这两 种量成正比例吗？为什么？ 4.分析一下上面的两个例子和数量关系式， 你们发现它们有什么共同点？ 5.谁来说一说判断两个量是不是成正比例 关系需要具备哪几个条
12、件？ 是对已有知识的进一 步深化，又为认识正 比例关系提供经验。 分析归纳课例的共同 点，是由个别到一般 的概况过程。 给学生充分发现的机 会。变换方式理解正 比例的定义，有利于 应用知识解决问题。 巩固巩固 拓展拓展 1让学生看试一试中的题，先自己判断并 和同学交流。 2.让学生读练一练表中的数据， 说一说知道 了什么，然后讨论第（1）个问题。 全班交流，重点指导 学生用正比例的定义 进行判断。第（3）题 只是要学生说出“每 月支出的钱数越多 （少） ，剩下的钱数就 越少（多） ，所以不成 正比例”或说出“每 月支出的钱数和剩下 的钱数不是相除的关 系”即可。 自主自主 检测检测 1.判断下
13、面各题中的两个量是否成正比例， 并说明理由。 （1）一袋面粉的质量一定，面粉的总质量 和袋数。 （2）一个人的身高和年龄。 （3）小麦每公顷的产量一定，小麦的公顷 数和总产量。 （4）平行四边形的高一定，它的面积和底。 （5）书的总页数一定，已经看的页数和未 看的页数。 2. 正方形的周长和边长成正比例吗？面积 和边长呢？为什么？ 3.找一找生活中成正比例的例子， 并与同伴 交流。 板书设计板书设计 认识正比例认识正比例 速度（比值一定） 时间 路程 单价（一定） 数量 总价 两种相关联的的量,比值一定 教学反思教学反思 总评总评 第二课时第二课时 画图表示正比例的量画图表示正比例的量 学科学
14、科 数学数学 六六 年级年级 班级班级 课题课题 画图表示正比例的量画图表示正比例的量 课型课型 新授 课时课时 1 1 主备人主备人 责任人责任人 审核人审核人 学习学习 目标目标 1结合具体实例，经历判断两种量是否成正比例， “在方格纸上表示数据” 。 并回答问题的过程。 2能根据给出的正比例关系的数据在方格纸上画图，能根据其中一个量的值 估计另一个量的值。 3体会用图描述事物的直观性，认识到成正比例关系的问题可以借助画图解 决。 学习学习 重点重点 会判断两种量是否成正比例， “在方格纸上表示数据” 。 学习学习 难点难点 能根据给出的正比例关系的数据在方格纸上画图，能根据其中一个量的值
15、估 计另一个量的值。 学习学习 准备准备 多媒体课件，方格纸。 学学 习习 过过 自自 主主 实实 践践 学习要点与学法指导学习要点与学法指导 课前课前 三分钟三分钟 前置前置 小研究小研究 一、回顾旧知识，过渡新知识！ 1、 什么样的两个量才是成正比例的量？正 比例关系？ 2、 判断下面每题中的两种量是不是成正比 例，说明理由。 （1）小明跳绳的速度和他的体重。 【学法指导】 （独学、对学、群学、 展示等环节要求明确） 对学检查 独立完成 程程 （2） 每盒铅笔的支数相同， 盒数和铅笔的 总支数。 （3）每米彩带 4 元，填写下表。 购买彩带的长度和应付的钱数成正比例 吗？说出理由。 二、增
16、添新知识，解决新问题 1、 试着把上表的数据在方格纸上表示出来。 3、表示正比例关系的图象有什么特点？ 2、不计算，看图估计：我知道买 1.5 米彩 带要花多少元，买 5.5 米呢？ 3、提问题，并解决。 对组检查 独立完成 对组检查 组内交流 小组小组 交流交流 1 用小黑板出示空白方格图， 教师边说边 写出横轴和竖轴的数和表示的量。 2 教师 介绍数轴的名称。3采取先讲解，学生再 尝试的方法，师生共同完成。4让学生观 察描出的点，说一说发现了什么。教师连 接各点画出一条直线，再让学生观察，使 学生了解各点连线是一条直线。然后讨论 “说一说”的第（2）个问题。 教师详细介绍，让学生 明白方格
17、纸横轴和竖轴 表示数据的方法。让学 生知道数轴的名称，方 便下面的语言描述。在 教师的指导下，经历在 方格纸上表示数据的过 程。在观察点和线的过 程中，了解成正比例的 量在方格纸上画图表示 的形态。 班级班级 展示展示 1讨论：买 1.5 米、2.5 米彩带所花的钱 数是不是都可以在直线找到相应的点？得 到肯定性答案。2教师介绍看图估计买 1.5 米彩带花的钱数。 边介绍边画图。 3 让 学生看图估计买 1.5 米彩带花了多少钱， 并说一说是怎样想的？4 让学生自己看图 估计买 5.5 米彩带花了多少钱？交流时， 说一说是怎样做的？ 在问题讨论的过程中， 进一步理解数与点之间 的关系，为根据一
18、个量 估计另一个量作铺垫。 通过示范，使学生学会 根据一个量值估计另一 个值的方法。使学生获 得积极的学习体验，感 受数学学习的价值。给 学生尝试的机会，使学 生获得积极的讨论方 法。 巩固巩固 拓展拓展 三、实战练习：完成课后练一练。 先观察表格在自己试着 把表中的数据在方格纸 上表示出来,组内交流 随机抽查展示 自主自主 检测检测 【达标测评】 1.表中的数据可以用上面的图像表示。 （1） 图中的 A 点表示 1 小时行 80 千米， B 点表示 5 小时行 400 千米，其他各点呢？ （2）图中所描的点在一条直线上吗？ （3） 根据图像判断， 这辆汽车 2.5 小时行 驶多少千米，行驶
19、440 千米需要多少小 时？ 2.小李师傅生产零件的情况如下。 （1）完成下表。 2） 把上表中的数据在下面的方格纸上表示 出来。 （3）连接各点，你发现什么？ （4）估计一下，2.5 小时大约做多少个零 件？5.5 小时呢？ （5）自己提出问题，并解答。 板书设计板书设计 画图表示正比例的量画图表示正比例的量 在方格纸上画图表示成正比例关系的量，并且能根据其中一个量的值估计另一个量的 值。 教学反思教学反思 总评总评 第三课时第三课时 认识成反比例的量认识成反比例的量 学科学科 数学数学 六六 年级年级 班级班级 课题课题 认识成反比例的量认识成反比例的量 课型课型 新授 课时课时 1 1
20、主备人主备人 责任人责任人 审核人审核人 学习学习 目标目标 1结合具体问题，经历认识和判断成反比例的量的过程。 2知道反比例的意义，能判断两种量是否成反比例，能找出生活中成反比例 量的实例，并与同学进行交流。 3 对现实生活中成反比例关系的事物有好奇心， 在判断成反比例量的过程中， 能进行有条理的思考。 学习学习 重点重点 知道反比例的意义，能判断两种量是否成反比例 学习学习 难点难点 能判断两种量是否成反比例，能找出生活中成反比例量的实例，并与同学进 行交流。 学习学习 准备准备 找一本安徒生童话 ，把四个人看书表格画在小黑板上（图用文字） ，找一 张 10 元人民币。 学学 习习 过过
21、程程 自自 主主 实实 践践 学习要点与学法指导学习要点与学法指导 课前课前 三分钟三分钟 前置前置 小研究小研究 安徒生童话 选 亮亮 红红 聪聪 丫丫 每天看的页 数 12 15 18 20 需要的天数 15 12 10 9 学习指南： 1.小组交流。建议 3 分钟 2.全班交流。预计 3 分钟 描述：当书的总页数一 定，每天看的页数和要看 的天数有什么变化规律。 在学生充分发言的基础 上，教师介绍：每天看书 1.亮亮、 红红、 聪聪和丫丫各看一本 安 徒生童话选 。 2.每天看书的页数与看书天数的乘积就 是这本书的页数，你们能总结出一个数 量关系式吗？ 3.谁能用自己的话说一说，当书的总
22、页 数一定时，每天看的页数和看的天数之 间有什么变化规律？ 的页数与需要的天数这 两种量成反比例。 小组小组 交流交流 4.老师这有一张 10 张的人民币， 如果要 把它换成 5 角的，能换几张？ 5.那要换成 2 角的，5 角的，1 元的呢？ 6.仔细观察表中数据，你都发现了么？ 面 值 5 角 2 角 5 角 1 元 5 元 张 数 100 50 学生说，教师填在表格 中。 提出：分析两个例子和数 量关系式，你发现它们有 什么共同点？学生讨论 的基础上，总结、概括成 反比例的意义，并说明成 反比例的两种量他们的 关系叫做反比例关系。 班级班级 展示展示 7.观察这个数量关系式，谁能说一说什
23、 么量是一定的？什么量是变化的，怎样 变化的？ 8.通过看书的事情，我们知道了什么样 的两个量叫反比例，现在老师提一个问 题：零钱的面值与换的张数这两种量成 反比利吗？为什么？和同桌说一说 9.现在请同学们分析一下上面的两个例 子和数量关系式，你发现它们有什么共 同点？ 10.我们认识了什么叫做反比例关系的 量，你能举一个生活中反比例的例子 吗？先和同学交流一下。 提出成反比例的量具备 什么条件。给学生充分发 表意见的机会。 巩固巩固 拓展拓展 1让学生自己判断“试一试”中的三组 数量。 交流学生判断的结果，重 点说一说是怎样判断的。 自主自主 检测检测 1练一练第 1 题，先让学生自己判断，
24、 再全班交流， 重点关注第 36 题。 2 练 一练第 2 题， 先让学生自己读题并判断。 板书设计板书设计 认识成反比例的量 每天看的页数需要的天数书的总页数（一定） 钱的面值张数=10(元) 一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量相对应的积也一定，就说这两种量成反 比例，这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系称为反比例关系。 教学反思教学反思 总评总评 第四课时第四课时 整理与复习整理与复习 学科学科 数学数学 六六 年级年级 班级班级 课题课题 整理与复习整理与复习 课型课型 复习 课时课时 主备人主备人 责任人责任人 审核人审核人 学习学习 目标目标 1结合具体事例，经历讨论和总结
25、正、反比例关系式及字母表达式的过程。 2在常见数量关系的三种量中，知道某一种量一定情况下，其他两种量成什 么比例关系，理解正、反比例字母表达式和含义。 3在讨论和判断正、反比例量的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表 达判断和思考的过程与结果。 学习学习 重点重点 在常见数量关系的三种量中，知道某一种量一定情况下，其他两种量成什么 比例关系 学习学习 难点难点 在常见数量关系的三种量中，知道某一种量一定情况下，其他两种量成什么 比例关系 学习学习 准备准备 学学 习习 过过 程程 自自 主主 实实 践践 学习要点与学法指导学习要点与学法指导 课前课前 三分钟三分钟 前置前置 小研究小研究 1
26、分别提出“什么样的量是成正比例的量， 什么样的量是成反比例的量”，指导回答。 2让学生总结成正比例、反比例量的相同 点和不同点，重点了解不同点。 通过正、反比例定义 的复习，进一步形成 概念，提高语言表达 的规范化。通过分析 总结，进一步理解具 有正、反比例关系的 量的特点，培养数学 思维。 小组小组 交流交流 （一）购物问题。 1让学生观察表（1）中的数据，先说一说 给出了什么，知道了什么，要说一说是怎样 在分析数据，指出数 据变化的过程中，使 学生加深了对反比例 知道的。2让学生描述数量的变化情况， 并判断数量和总结成什么比例。 3.让学生观 察表（2）中的数据，先说一说给出了什么， 知道
27、了什么，再描述数量的变化情况，并判 断单价和数量成什么比例。 4分别讨论“议一议”中的三个问题，让 学生回答并说明判断的理由。 5教师概括：在单价、数量、总价三个量 中，只要知道其中一个量不变，就能判断出 其他两个量成什么比例关系， 并引出行程问 题。 关系的理解。给学生 充分自主归纳知识并 交流的机会，考查学 生能否进行有条理的 思考，能否对自己的 结论做出有说服力的 说明。提升学生的数 学经验，发展数学思 维。 班级班级 展示展示 （二）行程问题。 1让学生读书，然后说一说从中知道了什 么，怎样知道的。 2让学生用比例的定义判断路程和时间成 什么比例。 3鼓励学生在路程、时间、速度三个量中
28、， 找出其他成正比例的情况， 然后再找出反比 例的情况。4教师概括的在路程、时间、 速度这三个量中， 只要知道其中一个一定的 量，就能判断其他两个量成什么比例关系。 5.如果，我们用 x、y 表示两种相关联的量， 用 k 表示一定的量， 你们能写出正比例和反 比例的字母表达式吗？试一试！ 培养学生回答问题和 语言表达的能力，在 具有挑战性的数学活 动中，培养学生独立 思考，自主建构知识 的能力。提升数学经 验，发展数学思维， 提高解决问题的能 力。 巩固巩固 拓展拓展 1练一练第 1 题. 2练一练第 2 题， 4练一练第 4 题。 先让学生说一说汽车 运货问题中有哪些数 量，再提出第 2 题
29、的 要求，学生自己总结， 最后交流。 先指导学生找出相关 联的量和一定的量， 再分别解决问题。 先帮助学生理解题， 让学生明白大齿轮与 小齿轮转数的关系， 因为 3:1=3， 所以大齿 轮转 1 圈， 小齿轮转 3 圈，再提出问题，让 学生回答 自主自主 检测检测 1.填空： （1）在圆柱的侧面积、底面周长、高这三 种量中， 当底面周长一定时，（ ） 和 （ ） 成（ ）比例；当（ ）一定时， （ ） 和（ ）成（ ）比例；当（ ）一 定时， （ ）和（ ）成（ ）比例。 （2）在被除数、除数、商这三种量中，当 （ ）一定时， （ ）和（ ）成正 比例； 当 （ ） 一定时， （ ） 和 （
30、） 成反比例。 （3）ab=c，当 c 一定时 a 和 b 成（ ）比 例；当 a 一定时 b 和 c 成（ ）比例；当 b 一定时 a 和 c 成（ ）比例。 2.判断下列各题中的两种量是否成比例？ 成什么比例？ （1）分数的分母一定，分子和分数值。 （2）圆的周长和半径。 （3） 7a5b0， (a 和 b 均不为 0)， a 和 b。 （4）小明跑步的速度与年龄。 （5）一堆粮食，每次运的数量和运的次数。 （6）比的前项一定，比的后项与比值。 （7）班级人数一定，出勤人数和缺勤人数。 （8）在同一幅地图上，图上距离和实际距 离。 （9）树的高度和它生长的年数。 （10）x=5y，x 和 y 板书设计板书设计 正、反比例的复习 XY=K(一定) 教学反思教学反思 总评总评
