1、12.1曲线与方程一、教学内容分析曲线与方程是以直线方程为认识基础的解析几何的基本概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.本节在充分讨论曲线方程概念后，介绍了解析几何的思想通过直角坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质.通过本节的学习我们可以了解到解析几何的基本问题：由曲线的已知条件求曲线方程；然后通过方程研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.为后面用曲线方程研究曲线性质奠定基础. “曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨
2、迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质代数化处理几何问题.在本节的学习中可以结合已经学过的直线方程的知识帮助我们领会坐标法和解析几何的思想、学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备.作为曲线内容学习的开始， “曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时讲曲线的交点.12.1(1)（2）曲线与方程二、教学目标设计 理解曲线和方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，学会求曲线方程的一般方法和步骤，能根据
3、所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.通过积极参与、亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点. 通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊一般特殊”的认知模式，深化对求曲线方程本质的理解，完善认知结构.三、教学重点及难点重点是理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，领悟坐标法和解析几何的思想.难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.四、教学用具准备本节可以借助几何画板等绘图软件展示某些动点的轨迹.五、教学流程设计曲线和方程求曲线的方程方法步骤运用与深化(例题解析、巩固练习)概念实例引入课堂小结并布置作业六、
4、教学过程设计121（1）曲线方程的概念一、复习回顾思考并回答下列问题1、是过点且斜率为2的直线，能否说方程是直线的方程？为什么？（复习直线方程的概念）.2、在上一章我们是怎样研究两条直线的位置关系的？答：借助直线方程研究直线的位置关系.说明 曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.二、讲授新课1、概念引入（1）以定点A（1，0）为圆心以1为的圆是否可以用某个方程来表示？设原上任意一点M的坐标为，则和应当满足平方后整理得 问：能否用方程来表示圆A？为什么？用方程与方程
5、中的哪一个来表示圆A比较好？ 说明 通过对上述问题的讨论启发学生概括出曲线方程的概念.2、概念形成n 曲线方程的定义一般地，如果曲线C与方程之间有以下两个关系：曲线C上的点的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点.此时，把方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线.说明 利用集合与对应的观点可以更清楚、更深刻地理解曲线方程的概念.设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.于是，方程叫做曲线C的方程等价于，即 .3、概念深化例1 已知两点A（-1，1）和B（3，-1），求证线段AB的垂直平分线的方程是.（课本P31例1）证明：（略）例2（1）已知点
6、A（1，0）、B（0，1），问线段AB的方程是不是，为什么？（课本P31例1）（2）到两坐标轴距离相等的点的轨迹C的方程是不是，为什么？解：（略）说明 曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.教学中应紧扣概念，注意强调曲线方程的完备性和纯粹性.三、巩固练习课本P33练习12.1（1）（练习3告诉我们可以借助充要条件的概念来理解曲线的方程的概念）四、课堂小结（1）曲线方程的概念（曲线上的点与以方程的解为坐标的对应关系怎样？）.（2）如何理解曲线的方程的概念？（利用充要条件的概念理解曲线的方程的概念、利用集合的观点理解曲线的方程的概念）五、作业布置习题册P17 A组 第1、2、3题； P19
7、 B组 第2题12.1（2）求曲线的方程一、复习回顾思考并回答下列问题1提问：什么是曲线的方程和方程的曲线（学生思考并回答教师强调）2回顾与思考：坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，并通过研究方程的性质来间接地研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何. 解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程（2）通过方程，研究平面曲线的性质说明通过对上面两个问题的思考，进一步明确解析几何的学习目标和本节教学内容的学习目标.二、学习新课如何根据已知条件，求出曲线的方程？ 例1 已
8、知两定点和，求到点和的距离的平方和是16的点的轨迹方程.（课本P33例3） 例2 动点M与距离为4的两个定点A、B满足，建立适当的坐标系，并求动点M的轨迹方程.（课本P34例4） 说明分析上面两个例题的求解过程，总结出求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正. 然后结合课本归纳出以下五个步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
9、 上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明.例3 已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程（补充）.答案：说明一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.在本教材中证明不作要求，特殊情况要说明.因此上述五个步骤又可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；修正.例4 已知定点和曲线上的动点B，求线段AB的中点P的轨迹方程.（课本P34例5） 说明 例题中用到的求轨迹方程的方法通常叫做“代入法”，这类求轨迹方程的问题的特点是
10、：问题中一般含有两个（或两个以上）的相关联的动点，其中一个动点在已知曲线上运动，所以“代入法”又叫做相关点法.三、巩固练习课本P35练习12.1（2）第3、4题四、课堂小结（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系）（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？五、作业布置习题册P17-18 A组 第4、5、6题； P19 B组 第4题七、教学设计说明曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础
11、，是解析几何中承上启下的关键章节. 对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想.因此，解析几何面临两大基本问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.因此，在本节的教学中应该从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.由于曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序，所以教材安排先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.在学
12、习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做.同时不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程”.求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系.求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，学习过程具有较强的探究性，因此，教学中要注意把握好“度”.所选例题和习题都不宜太难.同时，应注重思维过程的严谨性，无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则
