1、 热点专题 4 折叠问题 河南中考数学命题中，折叠问题是必考的，往往以填空题中的压轴题形式出现。题目设 置主要以三角形或特殊四边形为基础,将有关图形折叠后求满足一定条件的线段的长度或角 的度数.此题类型一般需要分情况讨论，画出图形，才能求出来。 河南省中考 考试说明要求 全面分析问题,分别画出符合题意的图形,借助图形,分类讨论,运用几何 综合知识解决问题。 考向考向 1 与三角形有关的折叠问题与三角形有关的折叠问题 1.（河南省洛阳市 2019 年中考数学二模试卷）如图，P是边长为 3的等边ABC 边 AB 上一 动点，沿过点 P的直线折叠B，使点 B落在 AC 上，对应点为 D，折痕交 BC
2、于 E，点 D 是 AC的一个三等分点，PB 的长为_. 【答案】 7 5 或 7 4 【解析】 两种情形：如图 1 中，当 AD 1 3 AC1 时，设 PBx，如图 2 中，当 AD 2 3 AC2 时，利用相似三角形的性质求解即可 【详解】解：两种情形：如图 1中，当 AD 1 3 AC1时，设 PBx， ABC是等边三角形， ABBCAC3，ABC60 ， PDEB60 ，PDCPDE+EDCA+APD， 60 +EDC60 +APD， EDCAPD， APDCDE， PAPDAD CDDECE ， 31 2 xx DECE ， BEDE 2 3 x x ，EC 2 3x ， BE+E
3、C3， 2 3 x x + 2 3x 3， x 7 5 如图 2中，当 AD 2 3 AC2时， 由APDCDE，可得 PAPDAD CDDECE ， 32 1 xx DECE ， DE 3 x x ，EC 2 3x ， BE+EC3， 2 3 x x 3， x 7 4 ， 综上所述，PB 的长为 7 5 或 7 4 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的 关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 2.（河南省外国语中学 2019 届九年级中招适应性测试卷数学试题）如图，在等腰直角三角 形ABC中，3ABBC，点P在边AB上，且1
4、BP ，点Q为边AC上的任意一点(不 与点A，C重合)，把APQ沿PQ折叠，当点A的对应点 A 落在ABC的边上时，AQ 的长为_. 【答案】3 2 6 或 2 【解析】 分两种情况：当 A点在边 AC 上时，得AQP 为等腰直角三角形，可求出 AQ 的长度；当 A 点在边 BC 上时，得 PQ 垂直平分 AA交于点 D，易求 AD的长，再通过解直角三角形 ADQ 可示 AQ 的长. 【详解】当 A点在边 AC上时，如图， PB=1，AB=3， AP=2， 由折叠得AQP 为等腰直角三角形， AQ= 2； 当 A点在边 BC 上时，如图， 由折叠得，PQ垂直平分 AA，P A=PA=2 在 R
5、tPBA中，BA= 22 3PAPB 在 RtABA中，AA= 22 2 3BAAB sinBAA= 31 22 3 BA AA BAA=30, 在 RtAPD 中，BAA=30，AP=2 DP=1，AD= 3， ABC是等腰直角三角形，BAC=45 ，DAQ=15 . 在 AD上取 G取一点 F，连接 QF，使 QF=AF，则DFQ=30 ， 设 QD=a，则 QF=2a，由勾股定理得 FD= 3a，AD=2a+3a, 2a+ 3a=3，解得，a=23-3 在 RtADQ中，由勾股定理得，AQ=( 62)a AQ=( 6 2)(2 33)3 26. 故答案为：3 26或 2 【点睛】本题考查
6、了三角形折叠问题，熟练掌握折叠性质以及勾股定理是解决此题的关键. 3. （2019 年河南省实验中学中考三模数学试卷） 如图， 在 RtABC中， C90 ， BC2 3， AC2，点 D是 BC的中点，点 E 是边 AB上一动点，沿 DE所在直线把BDE 翻折到BDE 的位置，BD 交 AB 于点 F.若ABF为直角三角形，则 AE的长为_或_ 【答案】3 或 14 5 【解析】 ABF 为直角三角形，应分两种情况进行讨论.当AFB为直角时，利用勾股定理求出 BE， 也就是 BE的长，便求出 AE当ABF 为直角时，过 A 作 ANEB，交 EB的延长线于 N， 构造 RtBEF，利用勾股定
7、理便可求出 AE. 【详解】解：当 BDAE 时，ABF 为直角三角形，如下图： 根据题意，BE=BE,BD= BD= 1 2 BC= 3. B=EBF 在 RtABC中，C=90 ，BC=2 3，AC=2 AB= 22 BCAC = 2 2 2 32 =4 B=EBF =30 . 在 RtBDF中，B=30 ，DF= 1 2 BD= 3 2 BF=BD-DF= 3- 3 2 = 3 2 在 RtBEF 中，EBF =30 ，EF= 1 2 BE, BF= 22 BEEF = 2 2 2EFEF = 3EF, 即 3 2 = 3EF,EF= 1 2 ，则 BE=1， AE=AB-BE=4-1=
8、3. 当 D BA B时，ABF 为直角三角形，如下图： 连接 AD，过 A 作 ANEB，交 EB的延长线于 N. 根据题意，BE=BE,BD=CD=BD= 1 2 BC= 3. B=EBF 在 RtABC中，C=90 ，BC=2 3，AC=2 AB= 22 BCAC = 2 2 2 32 =4 B=EBF =30 . ABF=90 ABE=ABF+EBF=120 RtABN 中，ABN=60 ，BAN=30 BN= 1 2 AB 在 RtABD 和 RtACD 中 B ADAD DCD RtABDRtACD（HL） AB=AC=2 BN=1,AN= 3 设 AE=x,则 BE= BE=4-
9、x 在 RtAEN中， 222 ANENAE ( 3) 2+(4-x+1)2=x2 x= 14 5 综上，AE 的长为 3 或 14 5 . 【点睛】本题是一道综合题，涉及到直角三角形全等的判定，30 角的直角三角形的性质， 勾股定理等知识. 4(2019-2020 学年河南省中考模拟数学试题)如图，RtABC中，ACB=90 ，AC=2，BC=4， CD 是ABC的中线，E是边 BC上一动点，将BED 沿 ED折叠，点 B落在点 F 处，EF交 线段 CD 于点 G，当DFG是直角三角形时，则 CE=_. 【答案】1 或 55 2 【解析】 根据题意分两种情形进行解答：当DGF=90 时，作
10、 DHBC于 H.当GDF=90 ，作 DHBC 于 H，DKFG 于 K. 【详解】解：如图当DGF=90 时，作 DHBC于 H. 在 RtACB 中，ACB=90 ，AC=2，BC=4， 2222 242 5ABACBC ， AD=DB CD= 1 2 AB= 5， DHAC，AD=DB， CH=BH， DH=DG= 1 2 AC=1， CG= 5 -1， DC=DB， DCB=B， cosDCB=cosB= 2 5 5 ， CE=CG cosDCB= 55 22 如图当GDF=90 ，作 DHBC 于 H，DKFG 于 K. 可得四边形 DKEH 是正方形，即 EH=DH=1， CH=
11、BH=2，CE=1， 综上，满足条件的 CE 的值为 1 或 55 22 . 【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识，掌握用分类讨论 的思想思考问题是解答本题的关键. 考向考向 2 与特殊四边形有关的折叠问题与特殊四边形有关的折叠问题 1.（2019 年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，边长为 1的正方形 ABCD， 点 P 为边 AD上一动点（不与点 A 重合）连接 BP，将ABP沿直线 BP折叠，点 A 落在点 A处，如果点 A恰好落在正方形 ABCD的对角线上，则 AP 的长为_ 【答案】 21 【解析】 根据翻折的性质和正方形的性质以及勾股定理解答
12、即可 【详解】连接 AD， 将ABP 沿直线 BP 折叠， 点 A 落在点 A处， 如果点 A恰好落在正方形 ABCD 的对角线上， APABPAD90 ，APAP，ABAB， 边长为 1 的正方形 ABCD，BD 2， 设 APx，则 PD1x， APAPx，DABDBABDAB 21， 在 RtPDA中PD2PA2+AD2， 即(1-x)2= 22 ( 21)x ，解得：x 21， 即 AP 21， 故答案为 21 【点睛】此题考查翻折的性质，关键是根据翻折的性质和正方形的性质以及勾股定理解答 2. （郑州市一中 2019 年中考三模数学试卷） 如图， 长方形 ABCD 中， AD=BC=
13、8， AB=CD=17， DAB=B=C=D=90 .点 E 为射线 DC 上的一个动点，ADE 与ADE 关于直线 AE 对 称，当ADB 为直角三角形时，DE 的长为_ 【答案】 7 13 13 或 14 3 3 【解析】 分两种情况：点 E 在 DC 线段上，点 E 为 DC 延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即 可 【详解】如图 1， 折叠，ADEADE，ADE=D=90 ，ADB=90 ，B、D、E 三点共线， 又ABDBEC，AD=BC，ABDBEC，BE=AB=17， BD= 2222 178ABAD =15，DE=DE=1715=2； 如图 2， ABD+CBE=ABD+B
14、AD=90 ，CBE=BAD， 在ABD和BEC 中， D=BCE，AD=BC，CBE=BAD， ABDBEC， BE=AB=17， DE=DE=17+15=32 综上所知，DE=2 或 32 故答案为 2 或 32 【点睛】本题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分 类探讨的思想方法是解决问题的关键 3.（2019 年河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷）如图，矩形 ABCD中，AB4，AD 6， 点 E为 AD中点， 点 P为线段 AB上一个动点， 连接 EP， 将APE沿 PE折叠得到FPE， 连接 CE，CF，当ECF 为直角三角形时，AP 的长为_ 【答
15、案】1 或 9 4 【解析】 分两种情况进行讨论：当CFE=90 时，ECF 是直角三角形；当CEF=90 时，ECF 是 直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可 【详解】分两种情况进行讨论：如图所示，当CFE=90 时，ECF是直角三角形 由折叠可得：PFE=A=90 ，AE=FE=DE， CFP=180 ， 即点 P，F，C在一条直线上 在 RtCDE和 RtCFE 中， CECE EFED ， RtCDERtCFE（HL）， CF=CD=4，设 AP=FP=x，则 BP=4x，CP=x+4 在 RtBCP 中，BP2+BC2=PC2，即（4x）2+62=（x+4）2， 解
16、得：x 9 4 ，即 AP 9 4 ； 如图所示，当CEF=90 时，ECF 是直角三角形 过 F 作 FHAB 于 H，作 FQAD于 Q，则FQE=D=90 又FEQ+CED=90 =ECD+CED， FEQ=ECD， FEQECD， FQQEEF EDDCCE ，即 3 345 FQQE ， 解得：FQ 9 5 ，QE 12 5 ， AQ=HF 3 5 ，AH 9 5 ， 设 AP=FP=x，则 HP 9 5 x RtPFH 中，HP2+HF2=PF2， 即（ 9 5 x）2+（ 3 5 ）2=x2，解得：x=1，即 AP=1 综上所述：AP 的长为 1或 9 4 4.（河南省洛阳市 2
17、019-2020 学年九年级上学期期中数学试题）如图，在矩形ABCD中， 1AB ，BCa， 将点B绕点A逆时针旋转， 点B对应点为 B .BAB的平分线交BC 于E，且 3 5 BEa.若点 B 落在矩形ABCD的边上，则a的值为_. 【答案】 5 3 或 5 3 【解析】 分两种情况：点 B落在 AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得 ABBE，即可求出 a 的值； 点 B落在 CD 边上， 证明ADBBCE， 根据相似三角形对应边成比例即可求出 a 的值 【详解】解：分两种情况：当点 B落在 AD 边上时，如图 1 四边形 ABCD 是矩形， BADB90 ， 将ABE 沿 AE 折叠，点
18、 B 的对应点 B落在 AD 边上， BAEBAE 1 2 BAD45 ， ABBE， 3 5 a1， a 5 3 ； 当点 B落在 CD 边上时，如图 2 四边形 ABCD 是矩形， BADBCD90 ，ADBCa 将ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 CD 边上， BABE90 ，ABAB1，EBEB 3 5 a， DB 22 B AAD 2 1 a ，ECBCBEa 3 5 a 2 5 a BADEBC90ABD， DC90 ， ADBBCE， DBAB CEB E ，即 2 11 23 55 a aa ， 解得 a1 5 3 ，a 2 5 3 （舍去） 综上，所求 a 的
19、值为 5 3 或 5 3 故答案为 5 3 或 5 3 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形 状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三 角形的判定与性质进行分类讨论与数形结合是解题的关键 5.（2020 年 1 月河南省郑州市一模数学试题）如图，在菱形 ABCD中，A60 ，AB3， 点 M为 AB边上一点，AM2，点 N为 AD 边上的一动点，沿 MN 将AMN 翻折，点 A落在 点 P 处，当点 P 在菱形的对角线上时，AN 的长度为_ 【答案】2 或 513 【解析】 （1）当点 P 在菱形对角线 AC 上
20、时，由折叠的性质得,ANPN AMPM，证出 60AMNANM，得出2ANAM （2）当点 P 在菱形对角线 BD 上时，设ANx，由折叠的性质得 ,2,60ANPNx AMPMMPNA ，求出 1BM ，从而证明 BPMDNP，再由相似三角形的性质可得出 DNPDPN BPBMPM ，则 AN 可求. 【详解】（1）当点 P 在菱形对角线 AC 上时，如图 由折叠的性质得,ANPN AMPM 四边形 ABCD是菱形，60BAD 30PAMPAN 903060AMNANM 2ANAM （2）当点 P 在菱形对角线 BD 上时，如图 设ANx 由折叠的性质得,2,60ANPNx AMPMMPNA
21、 3AB 1BMABAM 四边形 ABCD是菱形， 1 18060120 ,60 2 ADCPDNMBPADC 6060BPNBPMDNP BPMDNP PDNMBP DNPDPN BPBMPM 即 3 12 xPDx BP 1 2 PDx 3 1 2 3 2 xx x 解得513x 或513x （不符合题意，舍去） 513AN 综上所述，AN 的长为 2 或513 故答案为 2 或513 【点睛】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定及性质，分情况讨论是解题的关键. 6.（2019 年许昌二模）如图，已知ABCD 中，AB16，AD10，sinA，点 M 为 AB 边 上一动点，过点 M
22、作 MNAB，交 AD 边于点 N，将A 沿直线 MN 翻折，点 A 落在线段 AB 上的点 E 处，当CDE 为直角三角形时，AM 的长为 【答案】4 或 8 【解析】当CDE90 ，如图 1，根据折叠的性质得到 MNAB，AMEM，得到 AN DNAD5，设 MN3x，AN5x5，于是得到 AM4； 当DEC90 ， 如图 2， 过 D 作 DHAB 于 H， 根据相似三角形的性质得到， 由 sinA，AD10，得到 DH6，AH8，设 HEx，根据勾股定理得到 x82， x8+2（不合题意舍去），求得 AEAH+HE162，于是得到 AMAE8 ，即可得到结论 【解答】解：当CDE 为直
23、角三角形时， 当CDE90 ，如图 1， 在ABCD 中，ABCD， DEAB， 将A 沿直线 MN 翻折，点 A 落在线段 AB 上的点 E 处， MNAB，AMEM， MNDE， ANDNAD5， sinA， 设 MN3x，AN5x5， MN3， AM4； 当DEC90 ，如图 2， 过 D 作 DHAB 于 H， ABCD， HDC90 ， HDC+CDECDE+DCE90 ， HDEDCE， DHECED， ， sinA，AD10， DH6， AH8， 设 HEx， DE4， DH2+HE2DE2， 62+x216x， x82，x8+2（不合题意舍去）， AEAH+HE162， AMAE8， 综上所述，AM 的长为 4 或 8， 故答案为：4 或 8 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角 形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键
