1、 类型二类型二 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算 例 1、如图，在 ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上，BDDC，过点 D 作 DEAC， 垂足为 E，O 经过 A，B，D 三点 (1)求证：AB 是O 的直径； (2)判断 DE 与O 的位置关系，并加以证明； (3)若O 的半径为 3，BAC60 ，求 DE 的长 【分析】 ：(1)连接 AD，证 ADBC 可得；(2)连接 OD，利用中位线定理得到 OD 与 AC 平行，可证ODE 为直角，由 OD 为半径，可证 DE 与圆 O 相切；(3)连接 BF，先证三角形 ABC 为等边三角形，再求出 BF 的长，由 DE 为
2、三角形 CBF 中位线，即可求出 DE 的长 【答案】 ：(1)连接 AD，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90 ，AB 为 圆 O 的直径 (2)DE 与圆 O 相切，证明：连接 OD，O，D 分别为 AB，BC 的中点，OD 为 ABC 的中位线，ODAC，DEAC，DEOD，OD 为圆的半径，DE 与圆 O 相切 (3)ABAC，BAC60 ，ABC 为等边三角形，ABACBC6，连接 BF， AB 为圆 O 的直径，AFBDEC90 ，AFCF3，DEBF，D 为 BC 的中 点，E 为 CF 的中点，即 DE 为 BCF 中位线，在 Rt ABF 中，AB6，AF3，根据勾 股定
3、理得 BF 62323 3，则 DE1 2BF 3 3 2 例 2、如图， ABC 内接于O，BD 为O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延 长线与过点 B 的直线相交于点 E，且AEBC. (1)求证：BE 是O 的切线； (2)已知 CGEB，且 CG 与 BD，BA 分别相交于点 F，G，若 BG BA48，FG 2， DF2BF，求 AH 的值 【分析】 ：(1)证EBD90 即可；(2)由 ABCCBG 得BC BG AB BC，可求出 BC，再由 BFCBCD 得 BC2BF BD，可求出 BF，再求出 CF，CG，GB，通过计算发现 CG AG，可证 CHCB，即可
4、求出 AC. 【答案】 ：(1)连接 CD，BD 是直径，BCD90 ，即DCBD90 ，A D，AEBC，CBDEBC90 ，BEBD，BE 是O 切线 (2)CGEB，BCGEBC，ABCG，又CBGABC， ABCCBG， BC BG AB BC， 即 BC 2BG BA48， BC4 3， CGEB， CFBD， BFCBCD， BC2BF BD， DF2BF， BF4， 在 Rt BCF 中， CF BC2FB2 4 2，CGCFFG5 2，在 Rt BFG 中，BG BF2FG23 2，BG BA48， BA8 2，AG5 2，CGAG，AACGBCG，CFHCFB90 ， CHF
5、CBF，CHCB4 3，ABCCBG，AC CG BC BG，AC CB CG BG 20 3 3 ，AHACCH8 3 3 例 3、如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂 线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF. (1)求CDE 的度数； (2)求证：DF 是O 的切线； (3)若 AC2 5DE，求 tanABD 的值 【答案】 ：(1)对角线 AC 为O 的直径，ADC90 ，EDC90 (2)连接 DO，EDC90 ，F 是 EC 的中点，DFFC，FDCFCD，OD OC，OCDODC，OCF90
6、 ，ODFODCFDCOCDDCF OCF90 ，DF 是O 的切线 (3)EDCE90 ， DCADCE90 ， DCAE， 又ADCCDE 90 ，CDEADC，DC AD DE DC，DC 2AD DE.设 DEx，则 AC2 5x，AC2 AD2DC2AD DE，即(2 5x)2AD2AD x，整理得 AD2AD x20x20，解得 AD 4x 或 AD5x(舍去)，则 DC（2 5x）2（4x）22x，故 tanABDtanACD AD DC 4x 2x2 例 4、 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 O 在对角线 AC 上， 以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD， AC 分别交于
7、点 E，F，且ACBDCE. (1)判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若 tanACB 2 2 ，BC2，求O 的半径 【答案】 ：(1)直线 CE 与O 相切. 理由如下：四边形 ABCD 是矩形，BCAD， ACBDAC，又ACBDCE，DACDCE，连接 OE，有 OAOE，则 DACAEODCE.DCEDEC90 ，AEODEC90 ，OEC 90 ，即 OECE.又 OE 是O 的半径，直线 CE 与O 相切 (2)tanACBAB BC 2 2 ， BC2，ABBC tanACB2，AC6.又ACBDCE，tanDCE tanACB 2 2 ，DEDC ta
8、nDCE1.在 Rt CDE 中，CE CD2DE2 3，设O 的半径为 r，则在 Rt COE 中，CO2OE2CE2，即( 6r)2r23，解得 r 6 4 例 5、如图，已知 AB 为O 的直径，AC 为O 的切线，OC 交O 于点 D，BD 的延 长线交 AC 于点 E. (1)求证：1CAD； (2)若 AEEC2，求O 的半径 【答案】 ：(1)AB 为O 的直径，ADB90 ，ADOBDO90 ，AC 为O 的切线，OAAC，OADCAD90 ，OAOD，OADODA， 1BDO，1CAD (2)1CAD，CC，CADCDE，CDCACECD，CD2 CA CE，AEEC2，AC
9、AEEC4，CD2 2，设O 的半径为 x，则 OA ODx，在 Rt AOC 中，OA2AC2OC2，x242(2 2x)2，解得 x 2，O 的 半径为 2 例 6、如图，已知O 是 ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，且 BDBC，延长 AD 到 E，且有EBDCAB. (1)求证：BE 是O 的切线； (2)若 BC 3，AC5，求圆的直径 AD 及切线 BE 的长 【答案】 ：(1)连接 OB，BDBC，CABBAD，EBDCAB，BAD EBD，AD 是O 的直径，ABD90 ，OAOB，BADABO，EBD ABO，OBEEBDOBDABOOBDABD90 ，点 B 在O 上，
10、BE 是O 的切线 (2)设圆的半径为 R，连接 CD，AD 为O 的直径，ACD90 ，BCBD， OBCD，OBAC，OAOD，OF1 2AC 5 2，四边形 ACBD 是圆内接四边形， BDEACB， DBECAB， DBECAB， DB CA DE CB， 3 5 DE 3， DE 3 5，OBEOFD90 ，DFBE， OF OB OD OE， 5 2 R R R3 5 ，R0，R3， AB AD2BD2 33，AC AB BD BE，BE 3 11 5 例 7、 如图， CD 是O 的直径， AB 是O 的弦， ABCD， 垂足为 G， OGOC35， AB8. (1)求O 的半径
11、； (2)点 E 为圆上一点，ECD15 ，将CE 沿弦 CE 翻折，交 CD 于点 F，求图中阴影部 分的面积 【答案】 ：(1)连接 AO，CD 为O 的直径，ABCD，AB8，AG4，OGOC 35， 设O 的半径为 5k， 则 OG3k， (3k)242(5k)2， 解得 k1 或 k1(舍去)， 5k5，即O 的半径是 5 (2)将阴影部分沿 CE 翻折， 点 F 的对应点为 M， ECD15 ， 由对称性可知， DCM 30 ，S阴影S弓形CBM，连接 OM，则MOD60 ，MOC120 ，过点 M 作 MNCD 于点 N， MNMO sin60 5 3 2 5 3 2 ， S阴影
12、S扇形OMCS OMC120 5 2 360 1 2 5 5 3 2 25 3 25 3 4 ，即图中阴影部分的面积是25 3 25 3 4 例 8、如图，在 Rt ABC 中，ABC90 ，ABCB，以 AB 为直径的O 交 AC 于 点 D， 点 E 是 AB 边上一点(点 E 不与点 A， B 重合)， DE 的延长线交O 于点 G， DFDG， 且交 BC 于点 F. (1)求证：AEBF； (2)连接 GB，EF，求证：GBEF； (3)若 AE1，EB2，求 DG 的长 【答案】 ：(1)连接 BD，在 Rt ABC 中，ABC90 ，ABBC，AC45 ， AB 为圆 O 的直径
13、，ADB90 ，即 BDAC，ADDCBD1 2AC，CBDC 45 ， AFBD， DFDG， FDG90 ， FDBBDG90 ， 又EDA BDG90 ，EDAFDB，可证 AEDBFD(ASA)，AEBF (2)连接 EF，BG，AEDBFD，DEDF，EDF90 ，EDF 是等腰直 角三角形，DEF45 ，GA45 ，GDEF，GBEF (3)AEBF，AE1，BF1，在 Rt EBF 中，EBF90 ，根据勾股定理得 EF2EB2BF2，EB2，BF1，EF2212 5，DEF 为等腰直角三角形， EDF90 ， cosDEFDE EF 2 2 ， EF 5， DE 5 2 2 10 2 ， GA， GEB AED， GEBAED， GE AE EB ED， 即 GE EDAE EB， 10 2 GE2， GE2 10 5 ， 则 GDGEED9 10 10
