1、 类型四类型四 抛物线形问题抛物线形问题 例 1、已知平面直角坐标系xOy（如图 1） ，直线mxy的经过点)0 , 4(A和点)3 ,(nB. （1）求m、n的值； （2）如果抛物线cbxxy 2 经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求ABPsin的 值； （3）设点Q在直线mxy上，且在第一象限内，直线mxy与y轴的交点为点D， 如果DOBAQO，求点Q的坐标. 【答案】 ： （1）1n （2） 10 10 sinABP （3） （4,8） 【解析】 ： （1） 直线mxy的经过点)0 , 4(A 04m 4m 直线mxy的经过点)3 ,(nB 34 n 1n （2）由可知点B的坐标为)3
2、 , 1( 抛物线cbxxy 2 经过点A、B 31 0416 cb cb 6b， 8c 抛物线cbxxy 2 的表达式为86 2 xxy 抛物线86 2 xxy的顶点坐标为) 1, 3(P 23AB,2AP,52PB 222 PBBPAB 90PAB 图 1 O x y PB AP ABP sin 10 10 sinABP （3）过点Q作xQH 轴，垂足为点H，则QHy轴 DOBAQO,QBOOBD OBDQBO OB DB QB OB 直线4 xy与y轴的交点为点D 点D的坐标为)4 , 0(,4OD 又10OB，2DB 25QB，24DQ 23AB 28AQ,24DQ QHy轴 AQ A
3、D QH OD 28 244 QH 8QH 即点Q的纵坐标是8 又点Q在直线4 xy上 点Q的坐标为)8 , 4( 例 2、如图在直角坐标平面内，抛物线3 2 bxaxy与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别 交于点 B（-1，0） 、点 C（3，0） ，点 D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）联结 AD、DC，求ACD的面积； （3）点 P 在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 点 P 的坐标 【答案】 （1） （1，-4） （2）3（3）) 5 18 , 5 6 ( 1 P或)2, 2( 2 P 【解析】 ：
4、（1） 点 B（-1，0） 、C（3，0）在抛物线3 2 bxaxy上 0339 03 ba ba ，解得 2 1 b a 抛物线的表达式为32 2 xxy，顶点 D 的坐标是（1，-4） （2）A（0，-3） ，C（3，0） ，D（1，-4） 23AC，52CD，2AD 222 ADACCD 90CAD . 3223 2 1 2 1 ADACS ACD （3）90AOBCAD，2 AO AC BO AD ， CADAOB，OABACD OA=OC，90AOC 45OCAOAC ACDOCAOABOAC，即BCDBAC 若以 O、P、C 为顶点的三角形与 ABC 相似 ，且 ABC 为锐角三角
5、形 备用图 第 2 题图 则POC也为锐角三角形，点 P 在第四象限 由点 C（3，0） ，D（1，-4）得直线 CD 的表达式是62 xy，设)62 ,(ttP（30t） 过 P 作 PHOC，垂足为点 H，则tOH ，tPH26 当ABCPOC时,由ABCPOCtantan得 BO AO OH PH ， 3 26 t t ，解得 5 6 t， ) 5 18 , 5 6 ( 1 P 当ACBPOC时,由145tantantanACBPOC得 1 OH PH ， 1 26 t t ，解得2t，)2, 2( 2 P 综上得) 5 18 , 5 6 ( 1 P或)2, 2( 2 P 例 3、已知抛
6、物线经过点(0,3)A、(4,1)B、(3, 0)C （1）求抛物线的解析式； （2）联结 AC、BC、AB，求BAC的正切值； （3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点 P 作PGAP交y轴于点G，当点G 在点A的上方，且APG与ABC相似时，求点 P 的坐标 【答案】 ： （【答案】 ： （1）解得 1 2 5 2 3 a b c （2） 21 33 2 BC tanBAC AC （3）点P的坐标为(11,36) 或 17 44 (,) 39 【解析】 ：【解析】 ： （1）设所求二次函数的解析式为 2 (0)yaxbxc a， 将A（0,3） 、B（4， ） 、C（3,0）代
7、入，得 1641, 930, 3. abc abc c （第 3 题图） y x A B C O 解得 1 2 5 2 3 a b c 所以，这个二次函数的【解析】式为 2 15 3 22 yxx （2）A（0,3） 、B（4， ） 、C（3,0） 3 2AC ，2BC ，2 5AB 222 ACBCAB 90ACB 21 33 2 BC tanBAC AC （3）过点 P 作PHy 轴，垂足为 H 设P 2 15 ( ,3) 22 xxx，则H 2 15 (0,3) 22 xx A（0,3） 2 15 22 AHxx，PHx 90ACBAPG 当 APG 与 ABC 相似时，存在以下两种可能
8、： PAGCAB 则 1 3 tanPAGtanCAB 即 1 3 PH AH 2 1 15 3 22 x xx 解得 11x 点P的坐标为(11,36) PAGABC 则3tanPAGtanABC 即3 PH AH 2 3 15 22 x xx 解得 17 3 x 点P的坐标为 17 44 (,) 39 例 4、已知抛物线 2 yxbxc经过点 A（1,0）和 B（0,3） ，其顶点为 D. （1）求此抛物线的表达式； （2）求 ABD 的面积； （3）设 P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作 PH对称轴，垂足为 H， 若 DPH 与 AOB 相似，求点 P 的坐标. 【答案】
9、： （1） 抛物线的表达式为 2 43yxx （2） 1 （3） 点 P 的坐标为 （5,8） ， 78 , 39 . 【解析】 ： （1）由题意得： 01 3 bc c 得： 4 3 b c ， 所以抛物线的表达式为 2 43yxx. （2）由（1）得 D（2，1） ， 作 DTy 轴于点 T, 则 ABD 的面积= 111 2 41 31211 222 . （3）令 P 2 ,432p ppp. 由 DPH 与 AOB 相似，易知AOB=PHD=90 ， 所以 2 43 1 3 2 pp p 或 2 43 11 23 pp p ， 解得：5p 或 7 3 p ， 所以点 P 的坐标为（5,
10、8） ， 78 , 39 . 例 5、平面直角坐标系 xOy 中（如图 8） ，已知抛物线 2 yxbxc经过点 A（1,0）和 B （3,0） ， 与 y 轴相交于点 C，顶点为 P （1）求这条抛物线的表达式和顶点 P 的坐标； （2）点 E 在抛物线的对称轴上，且 EA=EC， 求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为 直线 MN，点 Q 在直线 MN 右侧的抛物线 上，MEQ=NEB，求点 Q 的坐标 【答案】 ： （1）P 的坐标是（2，-1） （2）m=2（3）5t ，点 E 的坐标为（5，8） 【解析】 ： （1）二次函数 2 yxbxc的图像经过点 A（1
11、，0）和 B（3，0） ， 10 930 bc bc ，解得：4b，3c 这条抛物线的表达式是 2 43yxx . 顶点 P 的坐标是（2，-1） （2）抛物线 2 43yxx的对称轴是直线2x，设点 E 的坐标是（2，m） 图 5 根据题意得： 2222 (2 1)(0)(20)(3)mm，解得：m=2， 点 E 的坐标为（2，2） （3）解法一：设点 Q 的坐标为 2 ( ,43)ttt，记 MN 与 x 轴相交于点 F 作 QDMN，垂足为 D， 则2DQt ， 22 43241DEtttt , QDE=BFE=90 ，QED=BEF，QDEBFE， DQDE BFEF ， 2 241
12、12 ttt ， 解得 1 1t （不合题意，舍去） ， 2 5t 5t ，点 E 的坐标为（5，8） 解法二：记 MN 与 x 轴相交于点 F联结 AE，延长 AE 交抛物线于点 Q， AE=BE， EFAB，AEF=NEB， 又AEF=MEQ，QEM=NEB， 点 Q 是所求的点，设点 Q 的坐标为 2 ( ,43)ttt， 作 QHx 轴，垂足为 H，则 QH= 2 43tt，OH=t，AH=t-1， EFx 轴，EF QH， EFAF QHAH ， 2 21 431ttt ， 解得 1 1t （不合题意，舍去） ， 2 5t 5t ，点 E 的坐标为（5，8） 例 6、 在平面直角坐标
13、系 xOy 中， 已知点 B （8,0） 和点 C （9，3） 抛物线caxaxy8 2 （a，c 是常数，a0）经过点 B、C，且与 x 轴的另一交点为 A对称轴上有一点 M ，满足 MA=MC （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形 ABCM 的面积； （3） 如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD 是等腰梯形， 且 AD/BC，求点 D 的坐标 O y 【答案】 ： （1）抛物线的表达式：xxy 3 8 3 1 2 （2）3（3） 点 D 的坐标) 5 39 , 5 13 ( 【解析】 ： （1）由题意得：抛物线对称轴 a a x 2 8 ，即4x 点 B（8,0）关于对
14、称轴的对称点为点 A（0,0）0c， 将 C（9，-3）代入axaxy8 2 ，得 3 1 a 抛物线的表达式：xxy 3 8 3 1 2 （2）点 M 在对称轴上，可设 M（4，y） 又MA=MC，即 22 MCMA 2222 ) 3(54yy, 解得 y=-3, M（4，-3） MC/AB 且 MCAB, 四边形 ABCM 为梯形，, AB=8,MC=5,AB 边上的高 h = yM = 3 2 39 3)58( 2 1 )( 2 1 MHMCABS (3) 将点 B（8,0）和点 C（9，3）代入bkxyBC 可得 39 08 bk bk ，解得 24 3 b k 由题意得，AD/BC,
15、 3 BC k3 AD k ，xyAD3 又AD 过（0,0） ，DC=AB=8， 设 D(x,-3x) 222 8) 33()9(xx, 解得1 1 x(不合题意，舍去)， 5 13 2 x 5 39 3xy点 D 的坐标) 5 39 , 5 13 ( 例 7、如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2yaxxc与 x 轴交于 O B C y A M x C y D 点 A 和点 B（1，0） ，与 y 轴相交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标； （2）求证：DAB=ACB； （3）点 Q 在抛物线上，且 ADQ 是以 AD 为 底的等腰三角形，求 Q
16、点的坐标 【答案】 ： （1）顶点坐标 D（1，4） （2）DABACB （3）点 Q 的坐标是 341 1141 , 48 ， 3411141 , 48 【解析】 ： （1）把 B（1，0）和 C（0，3）代入 2 2yaxxc中， 得 960 3 ac c ，解得 1 3 a c 抛物线的解析式是： 2 23yxx 顶点坐标 D（1，4） （2）令0y ，则 2 230xx， 1 3x ， 2 1x ，A（3，0） 3OAOC，CAO=OCA 在Rt BOC中， 1 tan 3 OB OCB OC 3 2AC ，2DC ，2 5AD ， 22 20ACDC， 2 20AD ； 222 AC
17、DCAD，ACD是直角三角形且90ACD， 1 tan 3 DC DAC AC ， 又DAC 和OCB 都是锐角，DAC=OCB DACCAOBCOOCA ， 即DABACB （3）令(Q x，)y且满足 2 23yxx，( 3A ,0)，( 1D ，4） ADQ是以 AD 为底的等腰三角形， 22 QDQA，即 2222 (3)(1)(4)xyxy， 化简得：220xy 由 2 220 23 xy yxx ， 解得 1 1 341 4 1141 8 x y ， 2 2 341 4 1141 8 x y 点 Q 的坐标是 341 1141 , 48 ， 3411141 , 48 例 8、 如图
18、 8， 在平面直角坐标系xOy中， 直线3ykx与x轴、y轴分别相交于点A、B， 并与抛物线 2 17 42 yxbx 的对称轴交于点2,2C，抛物线的顶点是点D （1）求k和b的值； （2）点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与BCD相似，求点G的坐 标； （3）在抛物线上是否存在点E：它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上如果存在，直 接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由 【答案】 ： （1） b=1 （2） 点G有两个， 其坐标分别是0,1和 1 0, 2 （3） 点E的坐标是 9 1, 4 或 9 2, 2 【解析】 ： （1） 由直线3ykx经过点2,2C，可得 1 2
19、 k . 由抛物线 2 17 42 yxbx 的对称轴是直线2x ，可得1b . （2） 直线 1 3 2 yx 与x轴、y轴分别相交于点A、B， 点A的坐标是6,0，点B的坐标是0,3. 抛物线的顶点是点D，点D的坐标是 9 2, 2 . 图 8 x y 1 1 O 点G是y轴上一点，设点G的坐标是0,m. BCG 与 BCD 相似，又由题意知，GBCBCD ， BCG 与BCD相似有两种可能情况： 如果 BGBC CBCD ，那么 35 5 5 2 m ，解得1m，点G的坐标是0,1. 如果 BGBC CDCB ，那么 35 5 5 2 m ，解得 1 2 m，点G的坐标是 1 0, 2
20、. 综上所述，符合要求的点G有两个，其坐标分别是0,1和 1 0, 2 （3）点E的坐标是 9 1, 4 或 9 2, 2 . 例 9、已知：如图 9，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 3yaxbx的图像与 x 轴交 于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，顶点 C 在直线2x 上，将抛物线沿射线 AC 的方向平移，当 顶点 C 恰好落在 y 轴上的点 D 处时，点 B 落在点 E 处 （1）求这个抛物线的【解析】式； （2）求平移过程中线段 BC 所扫过的面积； （3）已知点 F 在 x 轴上，点 G 在坐标平面内，且以点 C、E、F、G 为顶点的四边形是矩 形，求点 F 的坐标
21、 【答案】 ： （1）抛物线的解析式为 2 43yxx （2）12（3）有 1 5 2 F （ ,0）， 2 5 2 F （-,0）， 3 5F （,0） ， 4 5F （- , 0） A B O x y 备用图 A B O x y 图 9 【解析】 ： （1）顶点 C 在直线2x 上，2 2 b x a ，4ba 将 A（3，0）代入 2 3yaxbx，得933=0ab， 解得1a，4b 抛物线的解析式为 2 43yxx （2）过点 C 作 CMx 轴，CNy 轴，垂足分别为 M、N 2 43yxx= 2 21x，C（2，1） 1CMMA，MAC=45 ，ODA=45 ， 3ODOA 抛物线
22、 2 43yxx与 y 轴交于点 B，B（0，3） ， 6BD 抛物线在平移的过程中， 线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积， 1 226 212 2 BCDEBCD SSBD CN （3）联结 CE. 四边形BCDE是平行四边形，点O是对角线CE与BD的交点， 即 5OEOC. （i）当 CE 为矩形的一边时，过点 C 作 1 CFCE，交x轴于点 1 F， 设点 1 F a（ ,0），在 1 Rt OCF中， 222 11 =OFOCCF， 即 22 (2)5aa，解得 5 2 a ，点 1 5 2 F （ ,0） 同理，得点 2 5 2 F （-,0） （ii）当 CE 为矩形
23、的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点 3 F、 4 F，可得 34 =5OF OFOC，得点 3 5F （,0）、 4 5F （-,0） 综上所述：满足条件的点有 1 5 2 F （ ,0）， 2 5 2 F （-,0）， 3 5F （,0） ， 4 5F （- , 0） 例 10、如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1，1） ，P 是抛物线上位于第一象限内的 一点，直线 OP 交该抛物线对称轴于点 B，直线 CP 交 x 轴于点 A （1）求该抛物线的表达式； （2）如果点 P 的横坐标为 m，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长； （3）如果 ABP 的
24、面积等于 ABC 的面积，求点 P 坐标 【答案】 ： （1）抛物线的表达式为：y=x2-2x （2） BC= m-2+1=m-1（3）P 的坐标为（12,1） 【解析】 ： （1）抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1，1） 1 1 2 ab b a 解得： 1 2 a b 抛物线的表达式为：y=x2-2x； （2）点 P 的横坐标为 m， P 的纵坐标为：m2-2m 令 BC 与 x 轴交点为 M，过点 P 作 PNx 轴，垂足为点 N P 是抛物线上位于第一象限内的一点， PN= m2-2m，ON=m，O M=1 由 PNBM ONOM 得 2 2 1 mmBM m BM=m-2 点 C 的坐标为（1，1） ， BC= m-2+1=m-1 （3）令 P(t，t2-2t) ABP 的面积等于 ABC 的面积 AC=AP (第 10 题图) y P O x C B A (第 10 题图) y P O x C B A 过点 P 作 PQBC 交 BC 于点 Q CM=MQ=1 t2-2t=1 12t （12t 舍去） P 的坐标为（12,1）
