1、 类型三类型三 二次函数与图形面积问题二次函数与图形面积问题 例 1、如图，已知抛物线 2 1yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C （1）求 A、B、C 三点的坐标; （2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积; （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、 M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说 明理由 【解析】解：（1）令0y ，得 2 10x 解得1x 令0x ，得1y A( 1,0) B(1,0) C(0, 1) （2）OA=OB=OC=1 BAC=ACO=BCO
2、=45 APCB， PAB=45 过点 P 作 PEx轴于 E，则APE 为等腰直角三角形 令 OE=a，则 PE=1a P( ,1)a a 点 P 在抛物线 2 1yx上 2 11aa 解得 1 2a ， 2 1a （不合题意，舍去） PE=3 四边形 ACBP 的面积S= 1 2 ABOC+ 1 2 ABPE= 11 2 12 34 22 (3) 假设存在 PAB=BAC =45 PAAC G M C B y P A o x MGx轴于点 G， MGA=PAC =90 在 Rt AOC 中，OA=OC=1 AC=2 在 Rt PAE 中，AE=PE=3 AP= 3 2 设 M 点的横坐标为
3、m，则 M 2 ( ,1)m m 点 M 在y轴左侧时，则1m () 当AMG PCA 时，有 AG PA = MG CA AG=1m，MG= 2 1m 即 2 11 3 22 mm 解得 1 1m （舍去） 2 2 3 m （舍去） () 当MAG PCA 时有 AG CA = MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得：1m（舍去） 2 2m M( 2,3) 点 M 在y轴右侧时，则1m () 当AMG PCA 时有 AG PA = MG CA AG=1m，MG= 2 1m 2 11 3 22 mm 解得 1 1m （舍去） 2 4 3 m M 4 7 ( , ) 3 9 G M C
4、B y P A o x () 当MAGPCA 时有 AG CA = MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得： 1 1m （舍去） 2 4m M(4,15) 存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似 M 点的坐标为( 2,3)， 4 7 ( , ) 3 9 ，(4,15) 例 2、如图,在平面直角坐标系中， ABC 是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1， OC=4，抛物线 2 yxbxc经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D （1）求 b,c 的值； （2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点 E 作 x 轴的 垂
5、线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的 面积；在抛物线上是否存在一点 P，使 EFP 是以 EF 为直角边的直角三 角形? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5） 二次函数 2 yxbxc的图像经过点 A（-1，0）B(4,5) 10 1645 bc bc 解得：b=-2 c=-3 （2）如题图：直线 AB 经过点 A（-1，0） B(4,5) 直线 AB 的解析式为：y=x+1 二次函数 2 23yxx 设点 E(t， t+1),则 F（t，
6、2 23tt） EF= 2 (1)(23)ttt = 2 325 () 24 t 当 3 2 t 时，EF 的最大值= 25 4 点 E 的坐标为（ 3 2 ， 5 2 ） （3）如题图：顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 可求出点 F 的坐标（ 3 2 ， 15 4 ）,点 D 的坐标为（1，-4） S EBFD四边行 = S BEF + SDEF = 1253125 3 (4)(1) 242242 = 75 8 如题备用图：)过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P,设点 P(m, 2 23mm) 则有： 2 5 23 2 mm 解得: 1 226 2 m , 2 226 2 m 1 22
7、6 5 (, ) 22 p , 2 226 5 (, ) 22 p ）过点 F 作 bEF 交抛物线于 3 P，设 3 P（n， 2 23nn） 则有： 2 15 4 23nn 解得： 1 1 2 n ， 2 3 2 n （与点 F 重合，舍去） 3 P 115 24 （ ，） 综上所述：所有点 P 的坐标： 1 226 5 (, ) 22 p ， 2 226 5 (, ) 22 p 3 P（ 115 24 （ ，）. 能 使 EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形 例 3、 如图,已知二次函数cbxxy 2 的图象与x轴交于 A、 B 两点， 与y轴交于点 P， 顶点为 C（1，2）.
8、（1）求此函数的关系式； （2）作点 C 关于x轴的对称点 D，顺次连接 A、C、B、D.若在抛物线上存在点 E， 使直线 PE 将四边形 ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得 PEF 是以 P 为直角顶点 的直角三角形？若存在，求出点 F 的坐标及 PEF 的面积；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）cbxxy 2 的顶点为 C（1，2）， 2) 1( 2 xy，12 2 xxy （2）设直线 PE 对应的函数关系式为bkxy 由题意，四边形 ACBD 是菱形. 故直线 PE 必过菱形 ACBD 的对称中心 M 由
9、P(0，1)，M（1，0），得 0 1 bk b 从而1 xy， 设 E(x，1x)，代入12 2 xxy，得121 2 xxx 解之得0 1 x，3 2 x，根据题意，得点 E(3，2) （3）假设存在这样的点 F，可设 F(x，12 2 xx) 过点 F 作 FGy轴，垂足为点 G. 在 Rt POM 和 Rt FGP 中，OMP+OPM=90 ，FPG+OPM=90 ， OMP=FPG，又POM=PGF，POMFGP. GF GP OP OM 又 OM=1，OP=1，GP=GF，即xxx) 12(1 2 解得0 1 x，1 2 x，根据题意，得 F(1，2) 故点 F(1，2)即为所 求
10、 322 2 1 12 2 1 MFEMFPPEF SSS 例 4、如图，已知抛物线)0( 2 acbxaxy的顶点坐标为 Q1, 2 ，且与y轴交于 点 C3 , 0，与x轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是该抛物线上一动点， 从点 C 沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合），过点 P 作 PDy轴，交 AC 于点 D (1)求该抛物线的函数关系式；(2)当 ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； (3)在问题(2)的结论下，若点 E 在x轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A、P、 E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请
11、说明理由 【解析】解：（1）抛物线的顶点为 Q（2，1）设12 2 xay 将 C（0，3）代入上式，得1203 2 a 1a12 2 xy ， 即34 2 xxy （2）分两种情况： 当点 P1为直角顶点时,点 P1与点 B 重合(如图) 令y=0, 得034 2 xx 解之得1 1 x, 3 2 x 点 A 在点 B 的右边, B(1,0), A(3,0)P1(1,0) 解:当点 A 为 APD2的直角顶点是(如图) OA=OC, AOC= 90, OAD2= 45 当D2AP2= 90时, OAP2= 45, AO 平分D2AP2 又P2D2y轴, P2D2AO, P2、D2关于x轴对称
12、 设直线 AC 的函数关系式为bkxy 将 A(3,0), C(0,3)代入上式得 b bk 3 30 , 3 1 b k 3xy D2在3xy上, P2在34 2 xxy上, 设 D2(x,3x), P2(x,34 2 xx)(3x)+(34 2 xx)=0 065 2 xx, 2 1 x, 3 2 x(舍)当x=2 时, 34 2 xxy=32422=1 P2的坐标为 P2(2,1)(即为 抛物线顶点) P 点坐标为 P1(1,0), P2(2,1) (3)解: 由题(2)知,当点 P 的坐标为 P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点 P 的坐标为 P2(2,1)(即顶点 Q)时, 平移直线 AP(如图)交x轴于点 E,交抛物线于点 F. 当 AP=FE 时,四边形 PAFE 是平行四边形 P(2,1), 可令 F(x,1)134 2 xx 解之得: 22 1 x, 22 2 xF 点有两点, 即 F1(22,1), F2(22,1)
