1、第4章 锐角三角函数4.1正弦和余弦第1课时学习目标1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形 的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变).(重点)2.能根据正弦概念正确进行计算.(重点、难点)为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚(A)为 30，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？情境引入导入新课导入新课30讲授新课讲授新课 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ABC3035m?合作探究正弦的概念ABC3035m 如图，在 RtABC 中，C
2、=90，A=30，BC=35 m，求AB.根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”.即可得 AB=2BC=70(m).也就是说，需要准备 70 m 长的水管.12BCAB，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .归纳：12 任意画 RtABC 和 RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ABCABCBCABBCA B因为CC90，AA，所以RtABC RtABC.所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何
3、，A 的对边与斜边的比也是一个固定值ABBCA BBCBCBCABAB 如图，在 RtABC 中，C90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 sin A 即例如，当A30时，我们有；2130sinsinAABCcab对边斜边归纳：A的对边斜边sin A=.ac例1 如图，在 RtABC 中，C=90，求 sinA 和sinB 的值.ABC43图？ABC135图？典例精析解：如图，在 RtABC 中，由勾股定理得2222=435.ABACBC因此3sin5BCAAB，4sin.5ACBAB如图，在RtABC中，由勾股定理得2222=13512.ACABBC因此5sin13BCAA
4、B，12sin.13ACBABsinA=()BCABsinA=()BCAC1.判断对错A10m6mBC练一练sinB=()BCABsinA=0.6 m ()sinB=0.8 m ()2.在 RtABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ()A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定C1100例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的正弦值.解：如图，设点 A(3，0)，连接 PA.A(0，3)在APO中，由勾股定理得2222345.OPOAAP因此4sin.5APOP方法总结：结合平面直角坐标系求某
5、角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.如图，已知点 P 的坐标是(a，b)，则 sin 等于 ()OxyP(a，b)A.B.C.D.abba22aab22bab练一练D例3 如图，在 RtABC 中，C=90，BC=3，求 sinB 及 RtABC 的面积.1sin3A ABC提示：已知 sinA 及A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长.然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 RtABC 的面积.正弦的简单应用解：1sin3A，13BCAB，AB=3BC=33=9.2222=936 2.ACABBC6 22 2s
6、in.93ACBAB11=6 23=9 2.22ABCSAC BC 在 RtABC 中，C=90，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.在 RtABC 中，C=90，sinA=k，sinB=h，BC=a，则AB=ak，AC=ahk，归纳：1.在RtABC中，C=90，sinA=，BC=6，则 AB 的长为 ()D35A.4 B.6 C.8 D.102.在ABC中，C=90，如果 sinA=，AB=6，那么BC=_.132练一练例4 在 ABC 中，C=90，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长725解：设BC=7x，则AB=25x，在 RtABC中，由勾 股
7、定理得22222524.ACABBCBCx即 24x=24cm，解得 x=1 cm.故 BC=7x=7 cm，AB=25x=25 cm.所以 ABC 的周长为 AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.当堂练习当堂练习1.在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 ()A.扩大 2 倍 B.不变 C.缩小 D.无法确定B122.如图，sinA的值为 ()7ACB330A.B.C.D.123732C2 1073.在 RtABC 中，C=90 ，若 sinA=，则 A=，B=.22
8、45454.如图，在正方形网格中有 ABC，则 sinABC 的值为 .1010解析：AB ，BC ，AC ，AB2 BC2AC2，ACB90，sinABC20182210.1020ACAB5.如图，在 ABC 中，AB=BC=5，sinA=，求 ABC 的面积.D55CBA45解：作BDAC于点D，sinA=，454sin545BDABA ，2222543.ADABBD又 ABC 为等腰，BDAC，AC=2AD=6，SABC=ACBD2=12.6.如图，在 ABC 中，ACB=90，CDAB.(1)sinB 可以由哪两条线段之比表示?ACBD解：A=A，ADC=ACB=90，ACD ABC，
9、ACD=B，sinsin.ACCDADBACDABBCAC(2)若 AC=5，CD=3，求 sinB 的值.解：由题(1)知2222534.ADACCD4sinsin.5ADBACDAC课堂小结课堂小结正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长A的对边斜边sin A=观察代数式：观察代数式：它们有什么共同的地方呢？它们有什么共同的地方呢？这些代数式是由数字与字母，字母与字母这些代数式是由数字与字母，字母与字母相乘相乘得得到的到的单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式单独的一个数或字母也叫单项式。单独的一个数或字
10、母也叫单项式。如：如：2 2、-1 -1 、a a 判断：下列各式是不是单项式判断：下列各式是不是单项式是是不是不是不是不是你觉得单项式中对你觉得单项式中对字母有什么要求？字母有什么要求？字母不能在分母上，字母不能在根号里字母不能在分母上，字母不能在根号里4xy32a8s90-ab是是2233,2,4xyxaabb24a单项式中的数字因数单项式中的数字因数，叫做单项式的系数，叫做单项式的系数.在单项式中，所有字母的指数的在单项式中，所有字母的指数的和和，叫做单项式的叫做单项式的次数次数.单项式的系数单项式的系数12 +1=3单项式的次数单项式的次数1）当一个单项式的系数是）当一个单项式的系数是
11、-1或或1时，时，“1”通常省略通常省略不写不写。（2)圆周率圆周率 是常数。是常数。单项单项式式系数系数次数次数215a1524xy-153ab1322 r21 的系数分别是什的系数分别是什么？它们的次数分别是多少？么？它们的次数分别是多少？2232,4xya例例1：解：系数分别是解：系数分别是2，；次数分别是；次数分别是2、3 34 这些代数式有什么特点？这些代数式有什么特点？22234,32,3xy aaab多项式多项式:组成的代数式组成的代数式几个几个单项式相加单项式相加 在多项式中，每个单项式叫做多项式的在多项式中，每个单项式叫做多项式的项项，不含字母的项叫做不含字母的项叫做常数项常
12、数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数最高的项的次数就是这个多项式的次数次数。例：例：的项有的项有 常数项是常数项是 ，次数最高的项次数最高的项 ，这个多项式的次数是，这个多项式的次数是 ；称为称为 。2+3a-2a2,3,-2,aa2a-222+3a-2a二二次次三三项式项式注意注意：多项式的每一项都包括它前面的：多项式的每一项都包括它前面的符号符号多项式的次数不是多项式的次数不是所有项的次数之和所有项的次数之和多项式：多项式：由几个单项式由几个单项式相加相加组成的代数式组成的代数式即：单项式即：单项式+单项式单项式+（省略加号的和式）（省略加号的和式）例例2：252 aa项项:各项的
13、系数各项的系数:各项的次数各项的次数:项数项数:特殊项特殊项:次数次数:几次几项式几次几项式:2aa52 3152 2102a2 次数最高项次数最高项二次三项式二次三项式（次数最高项的次数）（次数最高项的次数）2常数项常数项不含字母的项不含字母的项项数项数:次数次数:二次三项式二次三项式1.1.下列代数式中，哪些是整式下列代数式中，哪些是整式?哪些是单项式？哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是多项式？12,2,(120%),2,.23x sabxyxababt xy解：属于整式的有：解：属于整式的有：2,23xabab，2x+y,(1-20%)x,2属于单项式的有：属于单项式的有：,(120%)
14、,22xxab属于多项式的有属于多项式的有：22,3abxy2.下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？22(1)37;(2)34;(3)1.xxxaba2363(4)7xab单项式单项式和和多项式多项式统称统称整式整式.例例3：一个花坛的形状如图，它的两端是半：一个花坛的形状如图，它的两端是半径相等的半圆，求径相等的半圆，求:（1）花坛的周长）花坛的周长L（2）花坛的面积）花坛的面积S22Lar22Sarr想一想：想一想：，分别是分别是几次几项式几次几项式？分别由？分别由哪些项哪些项组成？组成？每一项的每一项的系数系数是什么？是什么？22ar22a
15、rr例例4.有长为有长为L的篱笆，利用它和房屋的一面墙围的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图的形状的园子，园子的宽为成如图的形状的园子，园子的宽为t.(1)用关于用关于L，t的代数式表示园子的面积；的代数式表示园子的面积；(2)当当L=100m，t=30m时，求园子的面积。时，求园子的面积。t 1 1、列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数式是单项式还是多项式：式是单项式还是多项式：（1 1）一场赛车比赛的门票的价格是每张）一场赛车比赛的门票的价格是每张5050元，共售出了元，共售出了n n张。总收入为多少元？张。总收入为多少元？（2 2）某城
16、市预计明年固体污染物排放的增长率为）某城市预计明年固体污染物排放的增长率为-11.2%-11.2%。设今年该市固体污染物排放总量为设今年该市固体污染物排放总量为x x万吨，那么预计明万吨，那么预计明年该市固体污染物的排放总量为多少？年该市固体污染物的排放总量为多少？（3 3）已知一个二位数的个位数字是）已知一个二位数的个位数字是b b，十位数字是，十位数字是a a。用关于用关于a a和和b b的代数式表示这个二位数。的代数式表示这个二位数。50n，单项式，单项式（1-11.2%）x，单项式，单项式10a+b10a+b，多项式，多项式2 2、列举一个实际应用题，要求用含两个字母的一次多、列举一个
17、实际应用题，要求用含两个字母的一次多项式表示结果。项式表示结果。3.整式整式：单项式和多项式统称为整式。：单项式和多项式统称为整式。特点：字母不在分母上，字母不在根号里特点：字母不在分母上，字母不在根号里1.单项式单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式代数式.单独的一个数或字母也叫单项式单独的一个数或字母也叫单项式系数：系数：次数：次数：2.多项式多项式：由几个单项式相加组成的代数式：由几个单项式相加组成的代数式项：项：多项式的次数多项式的次数：单项式中的数字因数单项式中的数字因数单项式中所有字母的指数和单项式中所有字母的指数和在多项式中，每个单项式叫作多项式的项在多项式中，每个单项式叫作多项式的项次数最高的项的次数就是这个多项式的次数次数最高的项的次数就是这个多项式的次数
