1、 2020 年中考第二轮复习数学数学专题训练一：新定义题型 班级： 姓名： 制卷：赵化中学 郑宗平 一.选择题： 1.概念： f a,bb,a ,g m,nm, n ，例如： f 2,33,2 ,g1, 41,4 ，则 gf5,6 等于 （ ） A., 6 5 B., 56 C., 65 D., 5 6 2.设min, a b表示、ab这两个数中的最小值，如min, 1 11，min, 3 22，则关 于x的一次函数min,yx 2x1可以表示为 （ ） A.yx B.y2x1 C. , , xx1 y 2x1x1 D. , , xx1 y 2x1x1 3.历史上，数学家欧拉最先把关于x的多项
2、式用记号 f x来表示，把x等于某数a时的多项式 的值用 f a来表示， 例如x1时， 多项式 2 f xx3x5的值记为f1， 那么f1 等于 （ ） A.7 B.9 C.3 D.1 4.小刚用棋子摆放图形来研究数的规律，图 1 中棋子围成三角形，其颗数为3,6,9,12, 称为 三角形数；类似的，图 2 中棋子围成正方形，其颗数为4,5,12,16, 称为正方形数，下列数中 既是三角形数又是正方形数的是 （ ） A.2014 B.2016 C.2018 D.2020 5.若定义抛物线满足 2 2n 11 yxx n n 1n n 1 （n0的自然数） ； 若该抛物线与x 轴交于 nn A
3、, B ，用 n S表示这 nn A ,B两点间的距离，则 1232020 SSSS= （ ） A. 2017 2018 B. 2018 2019 C. 2019 2020 D. 2020 2021 6.定义a, b, c为函数 2 yaxbxc的特征数，下面给出特征数为 2m,1 m, 1 m的函数 的一些结论： .当m3时，函数图象的顶点坐标是 1 8 , 3 3 ；.当m0时，函数图象截x轴所得的线段 长度大于 3 2 ；.当m0时，函数在 1 x 4 时，y随x的增大而减小；.当m0时，函数图 象经过同一个点.其中正确的结论有 （ ） A. B. C. D. 7.如果三角形满足一个角是
4、另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形” 下列各 组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 （ ） A.,1 2 3 B. , ,1 12 C. , ,1 13 D. ,1 23 8.若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如：796 就是一个 “中高数”若十位上数字为 7，则从 3、4、5、6、8、9 中任选两数，与 7 组成“中高数”的 概率是 （ ） A. 1 2 B. 2 3 C. 2 5 D. 3 5 9.一次函数 5 yx15 4 的图象与x轴、y轴分别交于点、A B,O为坐标原点；若我们把横纵坐 标均为整数的点定义为整点，则在OAB内
5、部（包括边界）整点个数共有 （ ） A.90 个 B.92 个 C.104 个 D.106 个 10.对于点, x y的一次操作变换, 1 px yxy xy，且规定, n1n 1 px yP Px y （n为 大于 1 的整数） ；如, 1 p 1 231，,( .), 2111 p1 2P 1 2P 312 4，, 3 p1 2 ( , )( , )( ,) 122 P p 1 2p2 462，则( ,) 2019 p11= （ ） A. , 1009 02 B. , 1010 02 C. , 1009 0 2 D. 1010 0 2， 二.填空题： 11.我们规定：一个n边形（n为整数，
6、n4）的最短对角线与最长对角线长度的比值，叫做 这个n边形的“特征值” ，记为 n ，那么 6 = . 12.若规定: 234 356 3 25 4 365 4 3 C,C,C, 1 21 2 31 2 3 4 ,观察上面的计算过程， 寻找规律并 计算 6 10 C . 13.对于实数p,q，我们假如用符号min p,q表示p,q两数中较小的数，如min 1,21, min2,33,若 2 2 minx1, x1,则x.= . 14.若规定用符号 m表示实数m的整数部分， 例如： 2 0 3 ，3.143， 按此规定 101 的值为 . 15.若, 123 12 111 a1a1a1 maa
7、； 则 2020 a的值为 （用含m的式子表示） ， . 36124812 16.若记 2 2 x yf x 1x ，其中 f 1表示当x1时y的值，即 2 2 11 f 1 21 1 ， 1 f 2 表示当 1 x 2 时y的值，即 2 2 1 112 f, 25 1 1 2 ；则 11 f 1f 2ff 3f 23 11 f 2020ff 2021f 20202021 = 17.我们把分子为 1 的分数叫做理想分数，如, 1 1 1 2 3 4 任何一个理想分数都可以写成两个不同 理想分数的和， 如=+;=+;=+;= 1111111111 23634124520 9 ； 根据对上述式子的
8、观察思考： 如果理想分数 111 nab （n是不小于 2 的正整数） ， 那么ab= (用含n的式子表示). 18.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1,3, 9,19,33, 就是一个数列；如果一个 数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做这个等差数列的公差如2,4, 6,8,10就是一个等差数列，它的公差为2；如 果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数 列 例如数列1,3, 9,19,33, ， 它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6, 10,14,， 这是一个公差为4
9、的等差数列，所以，数列1,3, 9,19,33,，是一个二阶等差数列；那么，请 问二阶等差数列1,3, 7,13,， 的第五个数应是 _ 19.若x是不等于 1 的实数，我们把 1 1x 称为x 的差倒数，如 2 的差倒数是 1 1 12 ，1的 差倒数为 11 112 ，现已知 1 1 x 3 ， 2 x是 1 x的差倒数， 3 x是 2 x的差倒数， 4 x是 3 x的差 倒数，依次类推，则 2020 x= . 20.若定义a,bm,nam bn ，则 1 8,272, 3 = . 21.对于实数ab、，定义运算某“*”： 2 2 aab ab a b abbab *.例如4 2*，因为4
10、2，所 以 2 4 244 28 *.若 12 xx、是一元二次方程 2 x5x60的两个根，则* 12 xx= . 22.对实数ab b b aab,a0 aab,a0 ；比如23 3 1 2 8 ，计算24 42= 23.规定： x表示不大于x的最大整数， x表示不小于x的最小整数，x表示最接近x的整 数（xn 0.5，n为整数） ，例如：2.32, 2.33, 2.32 ；则下列说法正确的 是 .（写出所有正确说法的序号） .当x1.7时， xxx6； .当x2.1时， xxx7； .方程 4 x3 xx11的解为1x1.5； .当1x1 时，函数 yxxx的图象与正比例函数y4x图象有
11、两个交点. 24.P是ABC的边AB上的动点（P异于A,B）,过点P的直线截ABC截得的三角形与 ABC相似，我们不妨称这种直线为过P的ABC的相似线，简记为 x P l （x为自然数 ）. .如图， A90 , BC；当BP2PA时， 1 P l， 2 P l 都是过点P的ABC的相似线（其中 1 lBC, 2 lAC）.此外， 还有 条； .如图， C90 , B30,当 BP BA = 时，截得三角形 面积为ABC面积的 1 4 . 25.如图，正方形ABCD的边长为 2，曲线 1234 BM M M M叫“正 方形ABCD的渐开线”,其中 1122334 BMM MM MM M、的 圆
12、心依次按ADCB、 、 、循环，长度分别标记为 1234 llll、 、 、 、. 当弧线长度标记为 2020 l时， 2020 l的值为 . 26.若平面直角坐标系中， 两点关于过原点的一条直线成轴对称， 则这两点就是互为镜面点， 这 条直线叫镜面直线，如,A 2 3）和,B 3 2是以xy 为镜面直线的镜面点 .若,M 4 1和,N14 是一对镜面点，则镜面直线为 . .若以y3x为镜面直线，则,E2 0的镜面点为 27.对于平面直角坐标系中的任意两点 111222 P x ,y,P x ,y，称 1212 xxyy 为 12 P ,P两 点的直角距离，记作 12 d P ,P ；若 00
13、0 P x ,y是一定点，Q x,y是直线ykxb上一动点， 称 0 d P ,Q的最小值为 0 P到直线ykxb的直角距离；令 0 P 2, 3 ,O为坐标原点。则： . 0 d O,P= ; .P a, 3到直线yx1的直角距离为 6，则a = . 28.对于二次函数 2 yaxbxc a0，如果当x取任意整数时，函数值 y 都是整数，此时称 30 A BC l2l1 A BC P M4 M3 M2 M1 B C D A x y O 该点x,y为整点，该函数的图象为整点抛物线（例如： 2 yx2x2） .请你写出一个二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线的解 析式 （不必证明） ； .请
14、直接写出整点抛物线 2 yx2x2与直线y4围成的 图形中（不包括边界）所含的整点个数有 _ 个 三.解答题 29.对于两个不相等的实数a,b，定义一种新的运算如下， ab a bab0 ab ，如： 32 3 25 32 ，求65 4 的值. 30.我们定义 ab adbc cd ，比如： 12 162 36612 36 ；若x,y均为 整数，且满足 1x 13 y5 ，求x2y的值. 31.阅读下面的材料： 我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行 的定义： 设一次函数 111 (0)yk xb k的图象为直线 1 l， 一次函数 222 (0)y
15、k xb k的图象 为直线 2 l，若 12 kk，且 12 bb，我们就称直线 1 l与直线 2 l互相平行. 解答下面的问题： .求过点(1,4)P且与已知直线21yx平行的直线l的函数 表达式,并画出直线l 的图象； .设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m： (0)ykxt t与直线l平行且交x轴于点C，求出ABC 的面积S关于t的函数表达式. 32.如果一条抛物线 2 yaxbxc a0与x轴有两个交点， 那么以该抛物线的顶点和这两个 交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” .“抛物线三角形”一定是 _ 三角形； .若抛物线 2 yxbx b0 的“抛物线三角形
16、”是等腰直角三角形，求b的值； .如图，OAB是抛物线 2 yxb x b0 的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为 对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O CD、 、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明 理由. 33.平面直角坐标系中过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的“数 值”相等，则这个点叫做和谐点例如图中过点P分別作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成 矩形OAPB的周长与面积的“数值”相等，则点P 是和谐点. .判断点M 1,2，N 4,4）是否为和谐点，并说明理由； .若和谐点P a, 12在直线 yxb（b为常数）上， 求a,b的值 34.若两个二次函数图象的顶点
17、，开口方向都相同，则成这两个二次函数为“同簇二次函数”. .请写出两个同簇二次函数； .已知关于x的二次函数 22 1 y2x4mx2m1和 2 2 yaxbx5； 其中 1 y经过A 1,1; 若 12 yy为 1 y的同簇二次函数，求函数 2 y 的表达式，并求当0 x3时，y的最大值. 35.如图，概念：若双曲线 k yk0 x 与他的意图一条对称轴yx相交于A,B两点，则线段 AB的长度为双曲线 k yk0 x 的对径. .求双曲线 1 y x 的对径； .若双曲线 k yk0 x 的对径为10 2，求k的值； .仿照上述概念，概念双曲线 k yk0 x 的对径. 36.如图，概念：在
18、直角三角形中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作cot ，即 图中 AC cot BC ，根据上述角的余切的概念，解答下列问题： .cot30 = ； .如果，已知 3 tan A 4 ，其中A为锐角，试求cot A的值. 37.在学习锐角三角函数中，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互 唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化；类似的，可以在等腰三角形中建立边角之 间的联系， 假如我们定义： 等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对 （sad） .如图在ABC 中，ABAC,顶角A的正对记作sadA，这时sadA BC AB 底边 腰 .容易知道一个角的大小与这
19、个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： x y 1 2123456 1 2 1 2 3 4 5 6 7 O x y (6, 3) B A P O x y A B O B AC . sad60 = . .对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是 . .如图，已知 3 sin A 5 ，其中A为锐角，试求sadA的值. 38.给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为 勾股四边形. .在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形； .如图，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转 60得到DBE， 连AD,DC,CE,已知DCE30.
20、.求证：BCE是等边三角形； .求证： 222 DCBCAC,即四边形ABCD是勾股四边形. 39.定义： 到凸四边形一组对边距离相等， 到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点 如 图 1，PHPJ,PGPI，则点P就是四边形ABCD的准内点 .如图 2,AFD与DEC的角平分线相交于点P求证：点P是四边形ABCD的准内点 .分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点 （作图工具不限，不写作法，但要有必要的 说明） .判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点 （ ） 任意凸四边形一定只有一个准内点 （ ） 若点P是四边形ABCD的准内点，则PA PB
21、PCPD或PA PCPBPD（ ）. 40.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念. 概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三机型的准外心. 举例;如图 1，若PAPB ,则点P为ABC的准外心. 应用： 如图. CD为等边ABC的高， 准外心P在高CD上， 且 1 PDAB 2 ， 求APB的度数. 探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC5,AB3,准外心P在AC上，试探究PA的长. 41.在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN,取MN的中点P ,我们规定P到某点（直 线 ）的距离叫做“弦中距” ，用符号 中 d表示，以W3,0半径为 2 的圆上。 .已知弦MN的长度为 2. .如图 1，MNx轴时，直接写出到原点O的 中 d的长度； .如果MN在圆上运动，在图 2 中画出示意图，并直接写出 原点O的 中 d的取值范围； .已知M5,0，点N为W上的一动点，有直线yx2 ，求到直线 中 d的的最大值. B C A 图 B C A 图 60 D E A B C AB C P 图 D AB C 图 x y N M P WO 图1 x y WO 图3 x y WO 图2 D C A H G B P J I 图1图4图3 P G I H J B A F D E C 图2
