1、2 2.2 2.3 3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法教学目标（1）经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程，能用符号语言来表述这个模型，提升数学抽象素养；（2）通过一元二次不等式实例的求解，能概括解一元二次不等式的一般步骤，提高总结归纳能力；会运用一元二次不等式知识解决有关的问题，发展数学应用意识。一、情境与问题二、尝试与发现三、典型例题四、课堂小结五、课后作业汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故的一个重要依据。在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还
2、是相碰了。事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为s甲=s乙=试判断甲、乙两车有无超速现象。v1011001v2v2012001v2 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式和6v1011001v210v2012001v202000v100600v10vv22和 一般地，形如 ax2+bx+c0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a0.一元二次不等式中的不等号也可以是“0.任意选定一些数，看它们是否是不等式的解，由此给出解这个不等式的方
3、法.注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab0当且仅当 a0，或 a0 b0，或 x0 x-11或x0，因此，不等式的解集为 （一，0）（1，+）.用类似的方法可以求得不等式 （x+1）（x-1）0 的解，但此时的依据是：ab0当且仅当 a0，b0 b0.因此，不等式可以转化为两个不等式组 x+10，x-10 x-10.不难解得x 或-1x1，因此不等式的解集为 （-1，1）一般地，如果x1x2，则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是（一，x1）（x2，+）例1 求不等式x2-x-20的解集 解：因为x2-x-2=(x+1)(x-2)，所以原不等式等价于(x+1)(x-2
4、)0，因此所求解集为（一，一1）U（2，+）.回到情境与问题中的不等式，v2-10v-6000可以化为(v+20)(v-30)0，因此甲车的车速v30；而v2-10v-20000可以化为(v+40)(v-50)0因此乙车的车速v50.由此可见，乙车肯定超速了.上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法：（1）x2-2；（3）x29.因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中（1）的解集
5、为，（2）的解集为R对于x29.来说，两边同时开根号可得，即|x|3，因此-3x3，从而得到（3）的解集为（-3，3）.这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.例2 求下列不等式的解集：（1）x2+4x+10；（2）x2-6x-10；（3）-x2+2x-10.（1）x2+4x+10解：因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3，所以原不等式可化为（x+2)2-30，即 （x+2)23，两边开平方得|x+2|，从而可知x+2-或x+2 ，因此x-2-或x-2+，所以原不等式的解集为（一，-2-2+，+）.3333333（2）x2-6x-10解：因为x2-6x-1
6、=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，所以原不等式可化为(x-3)2-100，即 (x-3)210，两边开平方得|x-3|，从而可知 -x-3 101010因此3-x3+，所以原不等式的解集为1010 3-，3+.1010（3）-x2+2x-10，又因为x2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化为 （x-1)20.注意到只要x1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为（-，1）U（1，+）（4）2x2+4x+50原不等式可化为 所以原不等式可以化为 即 02522xx因为2522xx23)1(2x023)1(2x231x2）（不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.因为
7、任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中（1）的解集为，（2）的解集为R对于x29.来说，两边同时开根号可得，即|x|3，因此-3x0（a0）通过配方总是可以变为 (x-h)2k或(x-h)20,原不等式两边同时乘以(x-2)2可得(2x+1)(x-2)(x-2)2且x-20，因此所求不等式的解集为：(-,-3U(2,+)本节课知识点总结：1.一元二次不等式的定义2.用因式分解法解一元二次不等式的步骤3.用配方法解一元二次不等式的步骤4.会将一些不等式变形后转换为一元二次不等式求解数学素养：1.数学建模2.数学运算3.逻辑推理必做：1.课本71页练习A,练习B 1，2，42.导学案课后巩固选做练习B 3,5
