1、 - 1 - 湖南省岳阳县 2016-2017学年高一数学下学期末期考试卷（含解析） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 . 1. 已知集合 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：由已知 ，所以 考点：集合的运算 2. 化简的结果是 .( ) A. sin3-cos3 B. cos3-sin3 C. (sin3 -cos3) D. 以上都不对 【答案】 A 【解析】 ,选 A. 3. 已知某球的体积大小等于其表面积大小 ,则此球的半径是 ( ) A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】 B 【解析】 , 选 B. 4. 直线经过原点和点 (-1
2、,-1),则它的倾斜角是 ( ) A. 45 B. 135 C. 45 或 135 D. 0 【答案】 A 【解析】试题分析：利用斜率公式， ，设倾斜角为 ，即，则 考点：直线的倾斜角与斜率； 5. 已知 ，则 ABC 的面积是 ( ) A. 1 B. 2 C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：因为 ，所以 ， ，又 、 ，所以 、 ， 即 ，设 与- 2 - 的夹角为，易知与 为对顶角，所以. ，得 ，所以， ，所以 . 考点：平面向量的数量积、三角形面积公式 6. 在等差数列 an中 ,a3+3a8+a13=120,则 a3+a13-a8等于 ( ) A. 24 B. 22 C. 2
3、0 D. -8 【答案】 A 【解析】 , 则 ，选 A. 7. 在 ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2ccosA,c=2bcosA,则 ABC 的形状为( ) A. 直角三角形 B. 锐角 三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】 C 又 ， ， ； 所以 ， 为等边三角形，选 C. 8. 同时具有性质 “(1) 最小正周期是 .(2) 图象关于直线 对称 .(3)在 上是增函数 ” 的一个函数是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由 的图象与性质由 ，且 ，可求得 排除；由 ，将 代入 排除；函数 的增区间可得 ，即
4、，由 排除故本题答案选 - 3 - 9. 已知点 M(a,b)在圆 外 ,则直线 与圆的位置关系是 ( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】 B 【解析】试题分析 : 点 在圆 外， ， 圆心到直线距离 ， 直线 与圆相交 .故选 B 考点： 1、点与圆的位置关系； 2、直线与圆的位置关系 10. 某四面体的三视图如图所示 .该四面体的六条棱的长度中，最大的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：画出该四面体 的直观图如下图所示 由三视图及直观图可知，- 4 - ，故选C 考点：三视图 11. 如图 ,在四面体 ABCD中 ,AB=1,AD
5、=2 ,BC=3,CD=2,ABC=DCB=, 则二面角 A-BC-D的大小为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】在 中， ，则 ； 在 中， ， ，则 ； 又 ，在 中， ，则 ； 过点作 ，使 ，连接 ，则四边形 为矩形， ，因为，则 平面 ， ，则 平面 ， 则 ，在 中， ，则 ，由于 ， ，则 为二面角 的平面角，且 .选 B . 12. 设函数 则满足 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：令 ，则 ，当 时， ，由 的导数为 - 5 - ，当 时， 在 递增，即有 ，则方程无解；当 时， 成立，由 ，即 ，解得 且 ；或解
6、得 ，即为 ，综上所述实数的取值范围是 ，故选 C. 考点：分段函数的综合应用 . 【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属 于难题，本题的解答中构造新的函数 ，利用新函数的性质是解答的关键 . 二、填空题：本大题共 4个小题 ,每小题 5分 ,共 20分 . 13. 在 ABC 中 ,若 a=2,b+c=7,cosB= ,则 b=_ 【答案】 4 【解析】 ， ，代入得： ， ， ， . 14. 若直线 3x
7、+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0平行 ,则它们之间的距离为 _ 【答案】 2 【解析】试题分析：根据两直线平行对应 x,y的系数成比例即可 . 试题解析： . 考点：两直线平行 15. 数列 an的前 n项和为 Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(nN *),则 S100=_ 【答案】 2600 【解析】令 ， ， ；令 ， ，； 令 ， ， ；令 ， ， ； . - 6 - 16. 如图 ,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AD=AA1=1,AB1, 点 E在棱 AB上移动 ,小蚂蚁从点 A沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 . 则该长
8、方体外接球的表面积为 _ 【答案】 6 【解析】把长方体的侧面 和侧面 沿 展开，使两个平面共面，连接，小蚂蚁所爬的最短距离为 ， ，设长方体外接球的半径为，则 ， 该长方体外接球的表面积为. 三、解答题：本大题共 6小题 ,共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 求值：等差数列 中 ,a7=4,a19=2a9, (1)求 的通项公式 . (2)设 bn= ,求数列 的前 n项和 Sn. 【答案】 (1) an= .(2) Sn= . - 7 - 【解析】试题分析：设等差数列的首项为 ，公差为，利用等差数列的通项公式，列出方程组，解出 和，写出通项公 式；根据 ，写出
9、 ，并裂项，利用裂项相消法求数列的和 . 试题解析： (1)设等差数列 an的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 因为 所以 解得 a1=1,d=. 所以 的通项公式为 an= . (2)因为 bn= = =2 , 所以 Sn=2 = . 【点睛】求等差数列或等比数列的通项公式及数列求和问题是高考数列常见问题，要学会利用首项和公差及首项和公比表达数列的某一项及数列的和，利用方程组解出所需的量，有关数列求和问题要掌握一些常规方法，如错位相减、倒序相加、裂项相消、分组求和等 . 18. 如图 ,在四棱 锥 P-ABCD中 ,ABCD,ABAD,CD=2AB, 平面 PAD 底面 ABCD,
10、PAAD.E 和 F分别是 CD 和 PC的中点 ,求证 : (1)BE 平面 PAD. (2)平面 BEF 平面 PCD. 【答案】 (1)详见解析 ;(2)详见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）根据条件，易证四边形 是平行四边形，所以 ，平面 ， 平面 ，所以 平面 ； （ 2）由条件易证 平面 ， ，所以 平面 ， ，根据中点， ，所以 ， ，那么可证明 平面 ， 平面 ，根据面面垂直的判定定理，平面 平面 试题解析：证明：（ 1）因为平面 PAD 底面 ABCD，且 PA垂直于这两个平面的交线 AD，所以PA 底面 ABCD 因为 ABCD ， CD=2AB， E为 CD的中点，所以
11、 ABDE ，且 AB=DE 所以 ABED为平行四边形，所以 BEAD 又因为 平面 PAD， AD 平面 PAD，所以 BE 平面 PAD （ 2）因为 ABAD ，而且 ABED为平行四边形，所以 BECD ， ADCD - 8 - 由（ 1）知 PA 底面 ABCD，所以 PACD ，因为 PA AD=A， 所以 CD 平面 PAD，所以 CDPD 因为 E和 F分别是 CD 和 PC 的中点，所以 PDEF ，所以 CD EF 又 EF BE=E，所以 CD 平面 BEF 所以平面 BEF 平面 PCD 考点： 1线面垂直的判定； 2线面，面面垂直的判定 19. 在 ABC中， .
12、（ 1）求 的大小； （ 2）求 的最大值 . 【答案】 (1) ;(2)1. 试题解析： , , ,. , , , 最大值为 1,上式最大值为 1 . 20. 已知点 A(1， a)，圆 x2 y2 4. (1)若过点 A的圆的切线只有一条，求 a的值及切线方程； (2)若过点 A且在两坐标轴上截距相 等的直线被圆截得的弦长为 ，求 a的值 【答案】 (1)详见解析 ;(2) a 1. - 9 - 【解析】试题分析：若过点 A的圆的切线只有一条，说明点在圆上，点 A的坐标满足圆的方程求出；由于直线在两坐标轴上的截距相等，所以可用直线的截距式巧设直线的方程；求圆的弦长，一般先求出圆心到直线的距
13、离，然后利用勾股定理计算弦长，利用待定系数法，列方程，解方程组求出 . 试题解析： (1)由于过点 A的圆的切线只有一条，则点 A在圆上，故 12 a2 4， a . 当 a 时， A(1， )，切线方程为 x y 4 0； 当 a 时， A(1， )，切线方程为 x y 4 0， a 时，切线方程为 x y 4 0， a 时，切线方程为 x y 4 0. (2)设直线方程为 x y b， 由于直线过点 A， 1 a b， a b 1. 又圆心到直线的距离 d ， ( )2 ( )2 4. b . a 1. 21. 已知等差数列 an满足 a2 0， a6 a8 10. (1)求数列 an的通
14、项公式； (2)求数列 的前 n项和 【答案】 (1) an 2 n.(2) Sn . 【解析】 (1)设等差数列 an的公差为 d，由已知条件可得 解得 故数列 an的通项公式为 an 2 n. (2)设数列 的前 n 项和为 Sn， ， Sn 记 Tn ， 则 Tn ， - 10 - 得： Tn 1 ， Tn ，即 Tn 4 . Sn 4 4 4 22. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 (1)求函数 的解析式； (2)证明 在 上是增函数； (3)解不等式 . 【答案】 (1) ;(2)详见解析 ;(3) . 【解析】试题分析：（ 1）（由 是定义在 上的奇函数，利用 可 求得 ，再由 可求得 ，即可求得 ； （ 2）由（ 1）可得 ，即得函数 在 上是增函数； （ 3）由 ，再利用 为奇函数，可得 ，即可求得结果 . 试题解析：（ 1） 是定义在 上的奇函数， ； 又 ， ， ； （ 2） ， ，即 ， 函数 在 上是增函数 . （ 3） ，又 是奇函数， ， 在 上是增函数， ，解得 ，
