1、 - 1 - 鹤岗 2016-2017学年度下学期期末考试 高二数学 (理）试题 选择题 1. 若直线 不平行于平面 ，则下列结论成立的是 ( ) A. 内所有的直线都与 异面 B. 内不存在与 平行的直线 C. 内所有的直线都与 相交 D. 直线 与平面 有公共点 【答案】 D 【解析】 直线 a不平行于平面 ， 直线 a与平面 相交，或直线 a在平面 内 直线 与平面 有公共点 故选 D 点睛：直线 不平行于平面 包含两种情况，即直线 a与平面 相交，或直线 a在平面 内，同学们往往误认为只用一种情 况：直线 a与平面 相交，导致错误，要熟练掌握直线与平面的位置关系，包含三种情况 . 2.
2、 若 为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】 B 【解析】试题分析：对于 A，因为 c20 ，所以只有 c0 时才正确 c=0时， ac2=bc2，所以 A是假命题；对于 B， a b， a 0 a2 ab， a b， b 0 ab b2， B是真命题；对于 C，由性质定理 a b 0 ， C是假命题；对于 D，例如 -3 -2 0， ， D 是假命题 考点：不等 式的性质。 3. 已知不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：由已知可得 ，解得 ， ，代入不等式得
3、- 2 - ，从而可解得所求不等式的解集为 ，故正确答案选 B. 考点： 1.二次不等式； 2.韦达定理 . 4. 若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是 ( ) A. C. D. ( ， 62 ， ) 【答案】 D 故 a2 或 a 6. 5. 函数 的最大值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由柯西不等式可得 故选 D. 6. 已知 m， n为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. m? ， nm ?n B. m? ， nm ?n C. m? ， n? ， mn ? D. n? ， n ? 【答案】 D 【解析】在 A选项中，可
4、能有 n? ，故 A错误； 在 B选项中，可能有 n? ，故 B错误； 在 C选项中，两平面有可能相交，故 C错误； 在 D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得 D正确 故选： D 7. 如图在斜三棱柱 中， BAC 90 ， BC1AC ，则 C1在底面 ABC 上的射影 H必在 ( ) - 3 - A. 直线 AC上 B. 直线 BC上 C. 直线 AB上 D. ABC 内部 【答案】 C 【解析】 ACAB ， ACBC 1， AC 平面 ABC1， AC 平面 ABC， 平面 ABC1 平面 ABC， C 1在平面 ABC上的射影 H必在两平面的交线 AB上 故选项为： C 8. 已知
5、三棱锥 中， ，且直线 与 成 角，点 、 分别是 、 的中点 ,则直线 与 所成的角为 ( ) A. B. C. D. 或 【答案】 D 【解析】取 BD中点为 O，连接 MN、 NO、 MO AB=CD ， OM 平行且等于 CD， ON平行且等于 AB，直线 AB与 CD成 60 角， NO=MO ， MON=60 或 MON=120 ， 当 MON=60 时， MON 是等边三角形， MNO=60 ； 当 MON=120 时， MON 是等腰三角形， MNO=30 故答案为： 60 或 30 - 4 - 点睛：异面直线所成角的范围 ， 直线 与 成 角，转化为 ON与 OM所成角，我们
6、看到的 MON可能 是异面直线所成角也可能是异面直线所成角的补角，这是一个易错点，故最终答案应该是两种情况 . 9. 设等比数列 中，前 n项和为 ,已知 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：因为 是等比数列，所以 成等比数列，则，即 ，解得 ，即 ，故选 A 考点：等比数列的性质及其应用 10. 数列 中 , ，则此数列前 30项的绝对值的和为 ( ) A. 720 B. 765 C. 600 D. 630 【答案】 B 【解析】试题分析： 因为 ，所以 。所以数列 是首项为 公差为 3的等差数列。则 ，令 得 。所以数列前20项为负第 21项为 0从弟 2
7、2项起为正。数列 前 项和为。则 - 5 - 。故 B正确。 考点： 1等差数列的定义； 2等差数列的通项公式、前 项和公式。 11. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， ,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：因为 ，所以 ，则数列 是等比数列，. 故选 D. 考点：等比数列的定义和通项公式 . 12. 如图在正四棱锥 中， ， ， 分别 是 ， ， 的中点，动点 在线段 上运动时，下列四个结论： ； ； ； 中恒成立的为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A - 6 - 二 .填空题 13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则
8、此圆锥的体积为_ 【答案】 【解析】试题分析：由 ，得 ，即 ， 考点：圆锥的侧面图与体积 14. 已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为 _ . 【答案】 【解析】试题分析：由各项均为正数的等比数列 满足 ，可得 ， ， ， ， ， ， ，当且仅当时，等号成立，故 的最小值等于，故选 A 考点：等比数列的性质，基本不等式 15. 数列 满足 ，则 的前 60项和为 _ . 【答案】 【解析】试题分析：因为 ，所以， ，从而可得， ，从第一项开始，依次取 个系相邻的奇数项的和都是 ，从第二项开始，依次取 个相邻偶数的和构成以 为首项，以 为公差的等差数列，数列 的前
9、项的和为 考点：数列的求和 16. 在底面半径 为 3高为 的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为 3的大球后，再放入- 7 - 与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为 _个 【答案】 【解析】画出圆锥与大球以及小球相切的轴截面图形（如图左图）， 设小球的半径为 r则依题意（ r+3） 2=（ r 3） 2+（ 4+2 3 r） 2解得 r=1， 则小球的球心在半径为 2的圆上，并且小球的直径为 2，小球球心所在截面（如图右图）两个小球的球心距离是 2，边长为 2的正六边形恰好在半径为 2上 故能放 6个 故选： C 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解 方法 (1)求解球与
10、棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点 P， A， B， C构成的三条线段 PA， PB， PC两两互相垂直，且 PA a， PB b，PC c，一般把有关元素 “ 补形 ” 成为一个球内接长方体，利用 4R2 a2 b2 c2求解 三 .解答题 17. 已知三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面 ,AC=BC,点 D是 AB 的中点 - 8 - (1)求证： BC1 平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D 平面 AA1B1B； 【答案】 (1)证明见解析；
11、(2)证明见解析 . 【解析】试题分析：（ 1） 欲证线面平行 ,即证线线平行；（ 2） 欲证面面平行，即证线面平行 . 试题解析： 证明（ 1）连接 AC1交 A1C于点 E，连接 DE 因为四边形 AA1C1C 是矩形，则 E为 AC1的中点又 D是 AB的中点， DEBC 1， 又 DE 面 CA1D， BC1面 CA1D， BC 1 平面 CA1D. 证明（ 2） AC=BC， D是 AB的中点， ABCD ， 又 AA1 面 ABC， CD 面 ABC， AA1CD ， AA1AB=A ， CD 面 AA1B1B， CD 面 CA1D，平面 CA1D 平面 AA1B1B 点睛：垂直、
12、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 . (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行 . (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直 . (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直 . 18. 已知函数 (1)求不等式 的解集； (2)若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围 . 【答案】 (1) ； (2) 或 【解析】试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路 和问题的转化能力 .第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式 的解
13、集非空，转化为 ，利用绝对值的运算性质 ，求出函数的最小值 4，所以 ，再解绝对值不等式，得到- 9 - 的取值范围 . 试题解析：（ 1）原不等式等价于 或 3分 解得 或 或 即不等式的解集为 5分 （ 2） 8分 或 10分 . 考点： 1.绝对值的运算性质； 2.绝对值不等式的解法 . 19. 已知 且 ，若 恒成立， （ ）求 的最小值； （ ）若 对任 意的 恒成立，求实数 的取值范围 . 【答案】 ()3 ； () 或 【解析】试题分析：本题主要考查基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力 .第一问，利用基本不等式
14、先求函数 的最大值，再利用恒成立问题得到 的最小值为 ；第二问，由 ，先将“ 对任意的 恒成立 ” 转化为 “ ” ，利用零点分段法求去掉绝对值，解绝对值不等式，得到 x的取值范围 . （ 1） ， （当且仅当 时取等号） 又 ，故 ，即 的最小值为 5分 （ 2）由（ 1） 若 对任意的 恒成立，故只需 或 或 - 10 - 解得 或 10 分 考点：基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法 . 20. 已知数列 是公差不为 的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 【答案】 (1) ； (2) . 【解析】试题分析：（ 1）根据等差数列的首项和公差求通项公式；（ 2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实 质上造成正负相消是此法的根源和目的 试题解析：（ 1）设数列 的公差为 ，由 和 成等比数列，得，解得 ，或 ，当 时， ，与成等比数列矛盾，舍去 ， 即数列 的通项公式 （ 2） ， 考点：（ 1）等差数列的通项公式；（ 2）裂项求和法 21. 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD为正方形， 为直
