1、 答案 典型例题 例 1.【分析】由题意可得ACEDCB，从而得出APB=120，依据 AB=6，符合所谓的 定长定角定辅助圆，进而解 PC 最大值问题 如图，ACD 不BCE 都为等边三角形， AC=CD，CB=CE，ACD=BCE=60 ACD+DCE=BCE+DCE，即ACE=DCB 在ACE和DCB 中， AC = CD， ACE = DCB， CE = CB， ACEDCB（SAS） AE=BD； 过 C 作 CGAE，CHBD ACEDCB，SACE=SDCB，即 1 2AECG= 1 2BDCH AE=BD，CG=CHKC 平分AKBCDB=EAC， ACP=DPA=60APB=
2、120，APQ=BPQ=60 作APB 的外接圆，延长 PC 交APB 的外接圆于 Q APB=120是定值，APQ=BPQ=60， QA=QB，点 Q 是定点当 PQAB 时，PC 的长最大 此时 PA=PB，AC=BC，PC=ACtan30=3 3 3 =3故答案为3 例2. 【分析】 （1）可设抛物线为 y=a(x+1)(x-3)，代入 C（0,1） ，可求 C 点坐标为； （2）过点 P 作 PDx 轴交 CB 于 D，可用铅垂法求得结果； （3）首先依据点 A 和点 C 的坐标可得到BQC=BAC=45，设ABC 外接圆圆心为 M， 则CMB=90， 设M 的半径为 x， 则 RtC
3、MB 中， 依据勾股定理可求得M 的半径， 然后依据外心的性质可得到点 M 为直线 y=x 不 x=1 的交点，从而可求得点 M 的坐标， 然后由点 M 的坐标以及M 的半径可得到点 Q 的坐标 （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+1） （x3） ，将 C（0，1）代入得3a=1，解得 a= 1 3，抛物线的解析式为 y= 1 3x 2+2 3x+1； 来源:Z,xx,k.Com （2）如图，过点 P 作 PDx，交 BC 不点 D 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，则3k + b = 0， b = 1. 解得k = 1 3， b = 1. 直线 BC 的解析式为 y=1 3x+1 设
4、点 P （x， 1 3x 2+2 3x+1） ， 则 D （x， 1 3x+1） PD= （ 1 3x 2+2 3x+1） （ 1 3x+1） = 1 3x 2+x， SPBC=1 2OBDP= 1 23（ 1 3x 2+x）=1 2x 2+3 2x 又SPBC=1，1 2x 2+3 2x=1，整理得：x 23x+2=0，解得：x=1 或 x=2， 来源:学。科。网Z。X。X。K 点 P 的坐标为（1，4 3）或（2，1） (3)存在，理由如下：A(-1,0)，C(0,1),OC=OA=1.BAC=45.BQC=BAC=45， 点 Q 为ABC 外接圆不抛物线对称轴在 x 轴下方的交点.设AB
5、C 外接圆圆心为 M，则 CMB=90.设M 半径为 x,在 RtCMB 中，由勾股定理得,CM2+BM2=BC2,即 2x2=10. x=5 AC 的垂直平分线的为直线 y=x，AB 的垂直平分线为直线 x=1， 点 M 为直线 y=x 不 x=1 的交点，即 M（1，1） ，Q 的坐标为（1，15） 例 3. 1 C提示图如下，当 AB 的位置如下图所示时，AOB 的面积最大 来源:学*科*网 Z*X*X*K 自我检测 1.如图，由 M，N 点的速度相同可知 BM=CN，可证ABMBCN，NBC=BAM。又 NBC+ABN=60，BAM+ABN=APN=60。APB=120。又AB 为定长
6、， 以 AB 为底边向左侧购机等腰三角形 QAB，AQB=120，则点 P 在Q 上，由知识储备 可知，当APB 为等腰三角形时，ABP 的周长最小又APB 是定角为 120的等腰三角 形，故 APBPAB=113，AB=AC=23PB=PA=2ABP 的周长最大值为 4+23 2.（1）证明：ABC 为等边三角形，AB=AC，C=CAB=60 在ABE 和CAF 中， AB = AC， BAE = ACF， AE = CF， ABECAF（SAS） AF=BE，ABE=CAF 又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60APB=180 APE=120 C=APE=60， P
7、AE=CAF， APEACF， AP AC = AE AF， 即 AP 6 = 2 AF APAF=12 （2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况来源:163文库 当 AE=CF 时，点 P 的路径是一段弧，由题目丌难看出当 E 为 AC 的中点的时候，点 P 经 过弧 AB 的中点，此时ABP 为等腰三角形，且ABP=BAP=30，来源:163文库 AOB=120，又AB=6，OA=23， 点 P 的路径是 L=nr 180= 12023 180 = 43 3 当 AE=BF 时，点 P 的路径就是过点 C 向 AB 作的垂线段的长度；因为等边三角形 ABC 的边长为 6，所以点
8、 P 的路径为62 32=33 点P经过的路径长为43 3 或33 3.(1)由抛物线 y=a(x+2)2 +c 可知，其对称轴为 x=2， 点 A 坐标为(1,0)，点 B 坐标为(3,0)，OB=OC， C 点坐标为(0,3).将 A(1,0)、C(0,3)分别代入解析式得, a+c=04a+c=3，解得 a=1，c=1 则函数解析式为 y=x24x3. (2)由题意平秱后的抛物线的解析式为 y=(xm)2 +2m， 由x4=(xm) 2 +2m,得到：x2(2m+1)x+m22m4=0. 平秱后的抛物线总有丌动点，0.4m2 +4m+14(m22m4)0.解得 m1 12. (3)如图,
9、设P(2,m),以 P 为圆心的圆不直线y=x4相切,切点为 D,直线 y=x4 交抛物线的 对称轴于 E,则 E(2,2) . PE=m+2,PD= 2 2 PE.PA=PD， （ 2） 2 =1+m2.解得 m=26.故 P(2,2+6)或(2,2 6). 4.（1）由题意得，x2=-3x1.SABC=6，1 2(x13x1)(3x1)6. x121.x10 x2，x1=-1，x2=3.A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. 设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x-3），-3=a（0+1）（0-3）.a=1. 抛物线的解析式为 y=（x+1）（x-3），即 y=x2-2x-3；
10、（2）如图 1，如图 2，若 BC 为平行四边形的一边，则 DEBC，且 DE=BC， y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的对称轴为直线 x=1. 点 E 的横坐标为 1，点 D 的横坐标为-2 或 4. D1 （-2，5），D2 （4，5），E1 （1，8），E2 （1，2）. 如图 3，若 BC 为平行四边形的一条对角线，则 BECD，来源:163文库 设 BC，DE 交于点 F，则点 F 的横坐标为3 2，点 D 的横坐标为 2，D（2，-3），CDx 轴，点 E 在 x 轴上，E3 （1，0） （3）存在点 P 的坐标使得APB=ACO 成立，来源:163文库来源:163文库ZXXK 如图 4，以 AB 为底边，作顶角为 2ACO 的等腰三角形 MAB，以 M 为圆心，MA 为半径 作M，不抛物线的交点为 P 满足APB=ACO， 当点 M 在 AB 上方时，易知 M（1，6）设 P（x，y），其中 y=x2-2x-3. 由 MP=MA，得（x-1）2+（y-6）2=（1+1）2+62，即 x2-2x+1+y2-12y+36=40. y+3+1+y2-12y=4.y2-11y=0.y=0（舍去）或 y=11.来源:163文库 由 x2-2x-3=11 解得 x115.P1 (115，11)，P2(1+15，11)
