1、1.勾股定理的逆定理是什么？勾股定理的逆定理是什么？2.勾股定理内容？勾股定理内容？3.什么叫互逆命题？什么叫互逆命题？我们学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问题呢？我们一起来探究吧。17.2勾股定理逆定理人教版八年级数学 下册第2课时 勾股定理的逆定理的应用1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数。2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形。3.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。（1）证明：CD=1，BC 5，BD=2，ACD是直角三角形，直角三角形或等腰三角形先用勾股定理求出AC的长
2、度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.ABC是直角三角形x2=(x-1)2+22，C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得AB=600m,AC=800m,问此公路是否会穿过该森林公园?周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，这条公路不会穿过自然保护区.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？设正方形的边长为4a,例5 如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.A
3、BD是直角三角形。你能求出这个零件的面积吗？ABC是直角三角形在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到。12 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEP QR目标导学一：勾股定理的逆定理的应用 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？12NEP QR161.5=24121.5=1
4、830“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？实质是要求出两艘船航向所成角.勾股定理逆定理解：根据题意得PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,QPR=90.由“远航”号沿东北方向航行可知1=45.2=45，即“海天”号沿西北方向航行.NEP QR12 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.规律例2.如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53方向走了40
5、0m到达点B，然后再沿北偏西37方向走了300mA、C两点之间的距离解：如图，过点B作BEAD.DABABE53.37CBAABE180，CBA90，AC2BC2AB2300240025002，AC500m，即A、C两点间的距离为500m.341213例3 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且DAB=90.你能求出这个零件的面积吗？CD=13 ,BC=12DBC=90DBC=90在BCD中解：解：连接BD AB=3，AD=4BD=522ADAB CD2=BC2+BD2BCD是直角三角形S S四边形四边形ABCDA
6、BCD=S=SABDABD+S SBCDBCD =34+512=362121 答：这个零件的面积是答：这个零件的面积是36 dm36 dm2 2。在RtABD中3412135例、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，BC2+AB2=AC2，即ABC是直角三角形，B=90.答：C在B地的正北方向 如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的
7、逆定理判断ACD是直角三角形.ADBC341312目标导学二：勾股定理及其逆定理的综合应用解：连接AC.ADBC341312在RtABC中，在ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，ACD是直角三角形，且ACD=90.S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.2222345,ACABBC 四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.规律例例6.如图：在如图：在 ABC中，中，AB=13，BC=10，BC边上的中线边上的中线AD=12，求证：，求证：AB=AC
8、。CADB证明：证明：AD是是BC边上的中线，边上的中线，BD=CD=1/2BC=5 在在ABD中，中，AB=13，BD=5，AD=12 BD2+AD2=52+122=169=AB2 ABD是直角三角形。是直角三角形。ACD也是直角三角形。也是直角三角形。根据勾股定理得到：根据勾股定理得到：135122222CDADACAB=AC=13 如图，ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC 5，BD=2（1）求证：BCD是直角三角形；（2）求ABC的面积（1）证明：CD=1，BC 5，BD=2，CD2+BD2=BC2，BDC是直角三角形；（2）解：设腰长AB=AC=x，在RtADB中
9、，AB2=AD2+BD2，x2=(x-1)2+22，解得5.2x 11552.2222ABCSAC BD用到了方程的思想解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，解得x=3.AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)，在RtPBQ中，由勾股定理得如图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度
10、移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长22393 10(cm).PQ 周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，480400ACD是直角三角形，x2=(x-1)2+22，思考2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？例3 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.（1）求证：BCD是直角三角形；（1）证明：CD=1，BC 5，BD=2，第2课时 勾股定理的逆定理的应用目标导学一：勾股定理的逆定理的应用2=45，即“海天”号沿西北方向航行.c2=a2+b2 (3)它们离开港口一个半小时后分别
11、位于点Q,R处，且相距30海里.AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.例5 如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.同学们，本节课你收获了什么？ACD是直角三角形，（1）求证：BCD是直角三角形；勾股定理的逆定理的应用应 用航海问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定 理 来 解 决 问 题与勾股定理结合解决不规则图形等问题1.已知为已知为ABC的三边的三边,且满足且满足 a2c2 b2c2=a4 b4,试判断试判断ABC的形状的形状.解解 a2c2-b2c2=a4 b4 (1)c2(a2 b2)=(a
12、2+b2)(a2-b2)(2)c2=a2+b2 (3)ABC是直角三角形是直角三角形问问:(1)上述解题过程上述解题过程,从哪一步开始出现错误从哪一步开始出现错误?请写出请写出该步的代号该步的代号(2)错误原因是错误原因是(3)本题正确的结论是本题正确的结论是3a2-b2可能是可能是0直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形检测目标检测目标 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由 解：AFEF.理由如下：设正方形的边长为4a,则ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2.
13、在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，且AE为斜边AFE90，即AFEF.14检测目标检测目标 吗?说明理由ABC是直角三角形 n是正整数)，m,n,(m且cb,a,分别为ABC三角形的三边 已知3 n nm m=c c2 2m mn n,=b b,n n-m m =a a2 22 22 22 2.分析：分析：先来判断先来判断a,b,c三边哪条最长，三边哪条最长，可以代可以代m,n为满足条件的特殊值来试，为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则则a=9,b=40,c
14、=41,c最大。最大。2222222222)()2()(cnmmnnmba 解：ABC是直角三角形是直角三角形检测目标检测目标已知为ABC的三边,且满足 a2c2 b2c2=a4 b4,试判断ABC的形状.思考2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？过3秒时，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)，分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.CD=13 ,BC=12AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.则a=9,b=40,c=41,c最大。例7 如图，ABC中，AB=AC，D是AC边上的
15、一点，CD=1，BC 5，BD=2AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.过3秒时，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)，解 a2c2-b2c2=a4 b4 (1)例3 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.AC2BC2AB2300240025002，x2=(x-1)2+22，在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.ACD也是直角三角形。勾股定理的逆定理的应用AC2+CD2=52+122=169=AD2，4.点点A是一个圆形森林公是一个圆形森林公园的中心园的中心
16、,在森林公园附近有在森林公园附近有 B.C 两个村庄两个村庄,现要在现要在 B.C 两两村庄之间修一条长为村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通的笔直公路将两村连通,经测经测得得AB=600m,AC=800m,问此问此公路是否会穿过该森林公园公路是否会穿过该森林公园?1000600800BCA公园半径为公园半径为400m影响因素：影响因素：1.1.公园的半径公园的半径2.2.点点A A到公路的距离到公路的距离检测目标检测目标BCD是直角三角形答：这个零件的面积是36 dm2。如图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm
17、的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长这条公路不会穿过自然保护区.目标导学一：勾股定理的逆定理的应用 ABD是直角三角形。如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37方向走了300mA、C两点之间的距离在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.过3秒时，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)，c2=a2+b2 (3)BCD是直角三角形即A、C两点间的距离为500m.CD2=BC2+BD2第2课时 勾股定理的逆定理的应用例5 如图，四边形ABCD中，B
18、90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.证明：AD是BC边上的中线，（2）解：设腰长AB=AC=x，C 两个村庄,现要在 B.D过点过点A作作ADBC交交BC于点于点D.这条公路不会穿过自然保护区这条公路不会穿过自然保护区.AD=480解：在解：在ABC中中AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.ABC为直角三角形，为直角三角形，BAC=90 4804001000600800ABC检测目标检测目标课堂总结课堂总结同学们，本节课你收获了什么？解 a2c2-b2c2=a4 b4 (1)如图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点
19、A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形。证明：AD是BC边上的中线，在RtPBQ中，由勾股定理得AC2+CD2=52+122=169=AD2，（1）求证：BCD是直角三角形；AC2BC2AB2300240025002，目标导学一：勾股定理的逆定理的应用问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号人教版八年级数学 下册CD2=BC2+BD2BC2+AB2=AC2，AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.
20、ABC是直角三角形四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.标注有用信息,明确已知和所求；(2)错误原因是ACD是直角三角形，CD2+BD2=BC2，分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.我们学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问题呢？我们一起来探究吧。第2课时 勾股定理的逆定理的应用与勾股定理结合解决不规则图形等问题解 a2c2-b2c2=a4 b4 (1)过3秒时，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)，例7 如图，ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC 5，BD=22=45，即“海天”号沿西北方向航行.(3)本题正确的结论是如图：在 ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求证：AB=AC。ABC是直角三角形ABC是直角三角形解 a2c2-b2c2=a4 b4 (1)S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.C 两个村庄,现要在 B.
