1、 北京市朝阳区 2019-2020 学年 高二下学期期末质量检测试题 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 第一部分（选择题共 50 分） 一、选择题共 10 题，每题 5 分，共 50 分，在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项. （1）若随机变量 X 的分布列为 则 X 的数学期望 E(X)是 （A）1 4 （B）2 1 （C）1 （D）3 2 （2）某物体作直线运动，位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）满足关系式 2 21yt, 那么该物体在 t=3s 时的瞬时速度是 （A）2m/s （B）4m/s （C）7m/s （D）12m/s (3)曲线( )lnf xx在
2、点(1，0)处的切线方程为 (A)x-y-1=0 (B)x-y+1=0 ( C )10( D )10 xyxy （4） 6 1 ()x x 的二项展开式中的带数项为 （A）1 （B）6 （C）15 （D）20 （5）从 3 名男生和 4 名女生中各选 2 人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是 （A）12 （B） 18 （C）35 （D）36 （6）某射手每次射击击中目标的概率都是 4 5 ，则这名射手在 3 次射击中恰有 2 次击中目标 的概率为 12163248 ( )( )( )() 125125125125 ABCD （7）曲线( )3 x f xex上任意一点 P 处的切线斜
3、率的取值范围是 (A) (,3) (B) (3,) (C) (, 3 (D) 3,) （8）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该 程序模块的执行路径 如图是一个计算机程序模块， 则该程序模块的不同的执行路径的条数 是 （A）6 （B）14 （C）49 （D）84 (9)函数 2 ( )(2 ) x f xxx e的图象大致是 (10)已知函数( )ln , ( )1f xx g xax,若存在 0 1 x e 使得 00 ()()f xgx，则实数 a 的 取值范围是 22 2 2 11 (A) 2 , (B) ,2 11 (C) , (D) ,2 2 e
4、e ee ee ee 第二部分（非选择题共 100 分） 二、填空题共 6 题，每题 5 分，共 30 分 （11）已知函数( )sinf xx的导函数为( )fx ，则() 2 f _ (12)若随机变量 1 (3,) 4 XB.则 X 的数学期望 E(X)是_ （13） 从某校高一年级所有学生中随机选取 100 名学生， 将他们参加知识竞赛的成绩的数据 绘制成频率分布直方图，如图所示从成绩在70,80),80,90两组内的学生中，用分层抽 样的方法选取了 6 人参加一项活动， 若从这 6 人中随机选取两人担任正副队长， 则这两人来 自同一组的概率为_ （14）在 5 (21)x的二项展开式
5、中，二项式系数之和为_;所有项的系数之和为 _ （15） 某商场举行促销活动， 凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会第一次抽奖中 奖的概率是 0.5，第二次抽奖中奖的概率是 0.3，两次抽奖是否中奖互不影响，那么两次抽奖 中至少有一次中奖的概率是_ （16） 设定义在 R 上的连续函数 f （x） 的导函数为( )fx ， 已知函数( )yx fx 的图象 （如 图）与 x 轴的交点分别为（-2,0） ， （0,0） ，（2,0），给出下列四个命题： 函数 f(x)的单调递增区间是( 2,0),(2,); 函数 f(x)的单调递增区间是(, 2),(2,) ; x=-2 是函数 f（x）
6、的极小值点； x=2 是函数 f（x）的极小值点. 其中，正确命题的序号是_ 注：本题给出的命题中，有多个符合题目要求，全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分 三、解答题共 4 题，共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （17）（本小题 18 分） 新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的 100 倍.下表 是通过抽样调查得到的某地区 2014 年到 2018 年的年新生婴儿性别比. （）根据样本数据，估计从该地区 2015 年的新生儿中随机选取 1 人为女婴的概率(精确到 0.01)； （）从 2014 年到 2018 年这五年中，
7、随机选取两年，用 X 表示该地区的新生婴儿性别比 高于 107 的年数，求 x 的分布列和数学期望： （） 根据样本数据， 你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由 （18） （本小题 18 分 已知函数 322 ( )2,f xxaxa xa aR （）若 a=0，求证：当1,)x时，( )f xx恒成立； （）当 a=1 时，求 f（x）在区间0，2上的最大值和最小值； （）若函数 f（x）存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过 4，求 a 的 取值范围. (19)(本小题 18 分) 已知函数 1 ( )ln,f xaxaR x ()当 a1 时，求曲线 f
8、(x)在点(1，f(1) )处的切线方程； ()求函数 f(x)的极值； ()若 yf(x)在 x1 时取得极值，设 1 ( )( )g xf x x ，当 12 0 xx时，试比较 21 ()() 2 g xg x 与 21 21 xx xx 的大小，并说明理由 (20) (本小题 16 分) 已知集合 12 , n Sa aa中的元素都是正整数，对任意, ij a aS，定义 11 ( ,) | ij ij d a a aa 若存在正整数 k，使得对任意,() ijij a aS aa，都有 d 2 1 ( ,) ij d a a k ，则称集合 S 具有性质 Fk记 d（S）是集合 (
9、,)|, ijij d a aa aS中的最大 值 （）判断集合1,2,3,4A和集合6,8,12,16B 是否具有性质 F4，直接写出结 论； （）若集合 S 具有性质 Fk，求证： （i） 2 1 ( ) n d S k ； （ii）n2k1 参考答案 一、选择题： （本题满分 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D B D B C A B 二、填空题： （本题满分 30 分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 0 3 4 7 15 32 （3 分） 243 （2 分） 0.65 （只答对一个得 3 分，答错 0 分） 三、解答题：
10、（本题满分 70 分） 17 （本小题满分 18 分） 解： （）设“从该地区 2015 年的新生儿中随机选取 1 人为女婴”为事件A， 2 分 则 100 ( ) 100 108.0 P A 4 分 100 0.48 208 6 分 （）X的可能取值为0,1,2 7 分 2 3 2 5 3 (0) 10 C P X C ， 11 32 2 5 6 (1) 10 C C P X C ， 2 2 2 5 1 (2) 10 C P X C ， 10 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 3 10 6 10 1 10 12 分 所以X的数学期望 3614 ()012 1010105 E X 14
11、 分 （）答案一：可以否定从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5， 由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断 答案二：不能否定尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于 0.5，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿 中的比例都近似于0.5，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断 答案三：无法判断由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据 不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根 据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断 18 分 （注：1其余答案，酌情给
12、分2如果学生直接从生物学的角度，或者生活常 识等角度说明，应适当扣分，没有体现用样本估计总体 ） 18 （本小题满分 18 分） 解： （）证明：当0a 时， 3 ( )f xx 1 分 设 3 ( )g xxx，则 2 ( )31g xx 3 分 因为1,)x，所以( )0g x 所以( )g x在1,)上单调递增，所以( )(1)0g xg 5 分 所以当1,)x时，( )f xx恒成立 6 分 （）当1a 时， 32 ( )21f xxxx 所以 2 ( )341(31)(1)fxxxxx 7 分 令( )(31)(1)0fxxx得 1 3 x 或1x 8 分 当x在0,2上变化时，(
13、),( )fxf x的变化情况如下表： x 0 1 (0, ) 3 1 3 1 ( ,1) 3 1 (1,2) 2 ( )fx 0 0 ( )f x 1 极大值 31 27 极小值1 3 10 分 所以，当0,2x时，函数( )f x的最大值为(2)3f，11 分 函数( )f x的最小值为(0)(1)1ff 12 分 （）因为 322 ( )2f xxaxa xa， 所以 22 ( )34(3)()fxxaxaxa xa 令( )(3)()0fxxa xa 得 3 a x 或xa13 分 依题意，函数( )f x存在极大值和极小值，所以0a （）当0a 时， 3 a a 当x变化时，( ),
14、( )fxf x的变化情况如下表： x (,) 3 a 3 a (, ) 3 a a a ( ,)a ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以函数( )f x的极大值为 3 4 ( ) 327 aa fa，极小值为( )f aa 依题意有 3 4 ( )( )4 327 aa ff aaa，所以3a 所以(0,3a 15 分 （）当0a时， 3 a a 当x变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下表： x (, )a a ( ,) 3 a a 3 a ( ,)a ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以函数( )f x的极大值为( )f aa，极小值为 3 4
15、 ( ) 327 aa fa 依题意有 3 4 ( )( )()4 327 aa f afaa，所以3a 所以 3,0)a 17 分 综上所述， 3,0)(0,3a 18 分 19 （本小题满分 18 分） 解：（）当1a 时， 1 ( )ln0f xxx x ，(1)1f，2 分 22 111 ( ) x fx xxx ，(1)0 f ， 4 分 所以曲线( )f x在点(1,(1)f处的切线方程为1y 6 分 （）由 1 ( )lnf xax x 0 x ，得 22 11 ( ) aax fx xxx 0 x 8 分 若0a ，当 1 0,x a 时，( )0fx，所以( )f x在 1
16、0, a 上单调递减； 当 1 ,x a 时，( )0fx，所以( )f x在 1 , a 上单调递增10 分 所以，当 1 x a 时，( )f x有极小值 1 lnfaaa a ，( )f x无极大值； 11 分 若0a ，当(0,)x时， 2 1 ( )0fx x 恒成立， 所以( )f x在(0,)上单调递减，所以( )f x无极值 12 分 若0a，当(0,)x时， 2 1 ( )0 ax fx x 恒成立， 所以( )f x在(0,)上单调递减，所以( )f x无极值 13 分 综上，当0a 时，( )f x有极小值 1 lnfaaa a ，( )f x无极大值； 当0a时，( )
17、f x无极值 14 分 （）由 2 1 ( ) a fx xx ，(1)0 f ，所以1a 由 1 ( )( )lng xf xx x ， 所以 21 ()() 2 g xg x 21 21 xx xx 2 212121 2 211 1 1 lnln1 ln 22 1 x xxxxxx x xxx x 又 12 0 xx，所以 2 1 1 x x 构造函数 11 ( )ln 21 x xx x ， 16 分 则 2 222 11 (1)12(1) ( ) 2(1)2(1)2 (1) xxx x xxxxx x 当1x 时， 2 2 (1) ( )0 2 (1) x x x x 恒成立，所以(
18、) x在(1,)上单调递增， 所以当1x 时，( )(1)0 x，即 11 ln 21 x x x ， 17 分 所以 2 21 2 1 1 1 1 ln 2 1 x xx x x x 成立， 所以 2121 21 lnln 2 xxxx xx ，即 2121 21 ()() 2 g xg xxx xx 18 分 20 （本小题满分 16 分） 解： （）集合1,2,3,4A具有性质 4 F， 2 分 集合6,8,12,16B 不具有性质 4 F 4 分 （）证明：不妨设 12n aaa 5 分 （i）由 12 0 n aaa 得 12 111 n aaa 对任意1ijn ，有 11 ( ,)
19、(,) ijji ij d a ad a a aa ，6 分 因为 11 11111111 ()()()0 nijijn aaaaaaaa ， 所以 1 1111 nij aaaa 所以对任意1ijn ，都有 1 (,)( ,) nij d a ad a a，所以 1 11 ( ) n d S aa 8 分 又因为 112231 11111111 nnn aaaaaaaa 12231 2 1 (,)(,)(,) nn n d a ad a ad aa k ， 所以 2 1 ( ) n d S k 10 分 （ii）由（i）可知，对任意1,2,1in，都有 2 1112 ( ,)( ,)(,)(,) iiinnnii ni d a ad a ad aad aa k ， 所以 2 11 in ni aak ，所以 2 1 i ni ak 12 分 因为对任意1,2,1in， i ai，所以 11 i ai ，所以 2 1ni ik ， 即 2 ()i nik， 1,2,1in 14 分 若2nk， 则当ik时， 2 ()()(2)i nik nkkkkk， 矛盾 所以2nk 又因为n是正整数，所以21nk 16 分
