1、2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质 一、指数函数的概念一、指数函数的概念 1.1.解析式：解析式：_._. 2.2.自变量：自变量：_._. 思考：思考：指数函数的解析式具有的三个结构特征是什么？指数函数的解析式具有的三个结构特征是什么？ 提示：提示：(1)(1)底数底数a a为大于为大于0 0且不等于且不等于1 1的常数的常数. . (2)(2)指数位置是自变量指数位置是自变量x x，且，且x x的系数是的系数是1.1. (3)a(3)ax x的系数是的系数是1.1. y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1) x x 二、指数函数的图象与性质二、指数函数的
2、图象与性质 1.1.指数函数的图象指数函数的图象 请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出a a1 1和和0 0a a1 1时时 的指数函数的图象的指数函数的图象 2.2.指数函数的性质指数函数的性质 定义域定义域 _ 值域值域 _ 定点定点 _,_,即即x=_x=_时时,y=_,y=_ 单调性单调性 当当0a10a1a1时时, ,在在R R上是上是_ R R (0,+)(0,+) (0,1)(0,1) 0 0 1 1 减函数减函数 增函数增函数 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)指数函数的图象一定在指数
3、函数的图象一定在x x轴的上方轴的上方.( ).( ) (2)(2)当当a a1 1时，对于任意时，对于任意xRxR总有总有a ax x1.( )1.( ) (3)(3)函数函数f(x)=2f(x)=2- -x x在在R R上是增函数上是增函数.( ).( ) 提示：提示：(1)(1)正确正确. .直接观察指数函数的图象知指数函数的图象直接观察指数函数的图象知指数函数的图象 一定在一定在x x轴的上方轴的上方. . (2)(2)错误错误. .当当a a1 1时，对于任意时，对于任意x x0 0有有a ax x1 1，但是对任意，但是对任意x0 x0 有有0 0a ax x1.1. (3)(3)
4、错误错误. .函数函数f(x)=2f(x)=2- -x x可化为可化为y=( )y=( )x x，其底数是，其底数是 所以函所以函 数数f(x)=2f(x)=2- -x x在在R R上是减函数上是减函数. . 答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3)(3) 1 2 1 2， 【知识点拨知识点拨】 1.1.指数函数中规定指数函数中规定a0,a0,且且a1a1的原因的原因 (1)(1)如果如果a=0,a=0,当当x0 x0时，时，a ax x恒等于恒等于0 0；当；当x0 x0时，时，a ax x无意义无意义. . (2)(2)如果如果a0,a0a0，且，且a1.a1. 1 1 x, 2
5、4 2.2.指数函数图象的变化趋势指数函数图象的变化趋势 3.3.指数函数值的变化规律指数函数值的变化规律 (1)(1)根据底数的不同指数函数的函数值有以下两类变化规律：根据底数的不同指数函数的函数值有以下两类变化规律： 当当a a1 1时，若时，若x x0 0，则，则y y1 1； 若若x x0 0，则，则0 0y y1.1. 当当0 0a a1 1时，若时，若x x0 0，则，则0 0y y1 1； 若若x x0 0，则，则y y1.1. (2)(2)指数函数中函数值的指数函数中函数值的“有界性有界性”： 当当a a0,0,且且a1a1时，对于任意时，对于任意xRxR总有总有a ax x0
6、.0. 4.4.指数函数图象和性质的巧记指数函数图象和性质的巧记 (1)(1)指数函数图象的记忆方法：一定二近三单调，两类单调正指数函数图象的记忆方法：一定二近三单调，两类单调正 相反相反. . (2)(2)指数函数性质的巧记方法：非奇非偶是单调，性质不同因指数函数性质的巧记方法：非奇非偶是单调，性质不同因 为为a a，分清是，分清是0 0a a1 1，还是，还是a a1 1，依靠图象记性质，依靠图象记性质. . 类型类型 一一 指数函数的概念指数函数的概念 【典型例题典型例题】 1.1.下列函数中是指数函数的有下列函数中是指数函数的有_(_(填序号填序号).). (1)y=4(1)y=4x
7、x；(2)y=x(2)y=x4 4；(3)y=(3)y=4 4x x； (4)y=(4)y=(4)4)x x；(5)y=4(5)y=4x+1 x+1； ；(6)y=x(6)y=xx x； (7)y= (8)y=(2a(7)y= (8)y=(2a1)1)x x(a (a 且且a1).a1). 2.2.若函数若函数y=(ay=(a2 2- -5a+5)a5a+5)ax x是指数函数，则实数是指数函数，则实数a=_.a=_. 2 x 4 ； 1 , 2 【解题探究解题探究】1.1.判断一个函数是不是指数函数的依据是什么？判断一个函数是不是指数函数的依据是什么？ 2.2.题题2 2中根据指数函数的定义
8、可知，实数中根据指数函数的定义可知，实数a a应满足哪些条件？应满足哪些条件？ 探究提示：探究提示： 1.1.判断一个函数是不是指数函数的依据是指数函数的解析式具判断一个函数是不是指数函数的依据是指数函数的解析式具 有的三个特征：有的三个特征： (1)(1)底数底数a a为大于为大于0 0且不等于且不等于1 1的常数，不含有自变量的常数，不含有自变量x.x. (2)(2)指数位置是自变量指数位置是自变量x x，且，且x x的系数是的系数是1.1. (3)a(3)ax x的系数是的系数是1.1. 2.2.实数实数a a应满足应满足a a2 2- -5a+5=1,a5a+5=1,a0 0且且a1.
9、a1. 【解析解析】1.(1)(8)1.(1)(8)为指数函数为指数函数. . (2)(2)不是指数函数不是指数函数, ,因为自变量不在指数上因为自变量不在指数上. . (3)(3)不是指数函数不是指数函数, ,因为因为4 4x x的系数是的系数是- -1.1. (4)(4)不是指数函数不是指数函数, ,因为底数因为底数40.41a1时，函数时，函数y=ay=ax x和和y=(ay=(a- -1)x1)x2 2的图象只可能是的图象只可能是( )( ) 2.2.图中的曲线是指数函数图中的曲线是指数函数y=ay=ax x的图象，已知的图象，已知a a的值取的值取 四个值，则相应的曲线四个值，则相应
10、的曲线c c1 1,c,c2 2,c,c3 3,c,c4 4的的a a的值依次为的值依次为( )( ) A.A. B.B. C.C. D.D. 3.(20133.(2013双鸭山高一检测双鸭山高一检测) )当当a a0 0且且a1a1时，函数时，函数f(x)=af(x)=ax x 2 2 3 3 必过定点必过定点_._. 1 4 3 3, 10 3 5 41 3 , 3, 310 5 3 14 , 3, 5 103 1 3 4 , , 3 10 5 3 4 3 1 3, , 3 5 10 【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中指数函数的图象自左向右是上升的还是中指数函数的图象自左向右是上升的
11、还是 下降的？二次函数图象的开口方向是向上还是向下？下降的？二次函数图象的开口方向是向上还是向下？ 2.2.底数不同的指数函数的图象在第一象限内是如何分布的？底数不同的指数函数的图象在第一象限内是如何分布的？ 3.3.指数函数的图象恒过哪个点？为什么？指数函数的图象恒过哪个点？为什么？ 探究提示：探究提示： 1.1.本题中本题中a a1,1,所以指数函数的图象自左向右是上升的；二次所以指数函数的图象自左向右是上升的；二次 函数函数y=(ay=(a- -1)x1)x2 2图象的开口方向向上图象的开口方向向上. . 2.(1)2.(1)当当a a1 1时，指数函数的图象从左到右是上升的，当时，指数
12、函数的图象从左到右是上升的，当0 0a a 1 1时，指数函数的图象从左到右是下降的时，指数函数的图象从左到右是下降的. . (2)(2)在第一象限内，沿直线在第一象限内，沿直线x=1x=1从下到上看，指数函数的底数从下到上看，指数函数的底数 由小变大由小变大. . 3.3.指数函数的图象恒过定点指数函数的图象恒过定点(0,1).(0,1).因为任何非负数的零次幂因为任何非负数的零次幂 等于等于1 1，即，即a a0 0=1.=1. 【解析解析】1.1.选选A.A.由由a a1 1知函数知函数y=ay=ax x的图象过点的图象过点(0,1)(0,1)，分布在，分布在 第一和第二象限，且从左到右
13、是上升的第一和第二象限，且从左到右是上升的. . 由由a a1 1知函数知函数y=(ay=(a1)x1)x2 2的图象开口向上，对称轴为的图象开口向上，对称轴为y y轴，顶轴，顶 点为原点点为原点. .综合分析可知选项综合分析可知选项A A正确正确. . 2.2.选选A. A. 因为直线因为直线x=1x=1与函数与函数y=ay=ax x的图象相交于点的图象相交于点(1,a).(1,a). 又因为又因为 所以曲线所以曲线c c1 1,c,c2 2,c,c3 3,c,c4 4的的a a的值依次为的值依次为 134 013 1053 ， 41 3 , 3, . 310 5 3.3.当当a a0 0且
14、且a1a1时，总有时，总有 f(2)=af(2)=a2 2 2 2 3=a3=a0 03=13=13=3=2 2， 所以函数所以函数f(x)=af(x)=ax x 2 2 3 3必过定点必过定点(2(2，- -2).2). 答案：答案：(2(2，- -2)2) 【互动探究互动探究】若题若题1 1中的“中的“a a1”1”改为“改为“a a0,0,且且a1”a1”， “y=(ay=(a1)x1)x2 2”改为“改为“ y=x+a”y=x+a”，则图象可能是，则图象可能是( )( ) 【解析解析】选选B.B.当当a a1 1时，函数时，函数y=ay=ax x的图象过点的图象过点(0,1)(0,1)
15、，分布在，分布在 第一、二象限，且从左到右是上升的第一、二象限，且从左到右是上升的. . 直线直线y=x+ay=x+a过第一、二、过第一、二、 三象限，与三象限，与y y轴的交点为轴的交点为(0,a),(0,a),在点在点(0,1)(0,1)的上方的上方. A. A，B B，C C， D D四项均不符合此要求四项均不符合此要求. .当当0 0a a1 1时，函数时，函数y=ay=ax x的图象过点的图象过点 (0,1)(0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的. . 直线直线 y=x+ay=x+a过第一、二、三象限过第一、二、三象限, , 与与y
16、 y轴的交点为轴的交点为(0,a)(0,a)，在点，在点(0,1)(0,1) 和点和点(0,0)(0,0)之间之间. .只有只有B B项符合此要求项符合此要求. . 【拓展提升拓展提升】 1.1.处理指数函数图象问题的两个要点处理指数函数图象问题的两个要点 (1)(1)牢记指数函数牢记指数函数y=ay=ax x的图象恒过定点的图象恒过定点(0,1)(0,1)，分布在第一和，分布在第一和 第二象限第二象限. . (2)(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数明确影响指数函数图象特征的关键是底数. . 2.2.底数变化对指数函数图象形状的影响底数变化对指数函数图象形状的影响 指数函数指数函数y=
17、ay=ax x的图象如图所示，由指数函数的图象如图所示，由指数函数y=ay=ax x的图象与直线的图象与直线 x=1x=1相交于点相交于点(1(1，a)a)可知：可知： (1)(1)在在y y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； (2)(2)在在y y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. . 如图中的底数的大小关系为如图中的底数的大小关系为 0 0a a4 4a a3 31 1a a2 2a a1 1. . 类型类型 三三 指数函数的定义域和值域问题指数函数的定义域和值域问题 【典型例题典型例题】 1.(20
18、131.(2013厦门高一检测厦门高一检测) )已知已知f(x)=3f(x)=3x x b b(2x4 (2x4，b b为常数为常数) ) 的图象经过点的图象经过点(2,1)(2,1)，则，则f(x)f(x)的值域为的值域为( )( ) A.A.9,819,81 B.B.3,93,9 C.C.1,91,9 D.D.1 1，) ) 2.2.求函数求函数 的定义域和值域的定义域和值域. . 1 x1 y2 【解题探究解题探究】1.1.已知函数图象经过某点，则此点与函数解析已知函数图象经过某点，则此点与函数解析 式的关系是什么？若函数式的关系是什么？若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是
19、增函数，则上是增函数，则 当当xxa,ba,b时，函数时，函数f(x)f(x)的值域是什么？的值域是什么？ 2.2.函数函数 与函数与函数 定义域相同吗？定义域相同吗？ 探究提示：探究提示： 1.1.因为函数图象与解析式一一对应，所以经过函数图象的点因为函数图象与解析式一一对应，所以经过函数图象的点 满足函数解析式，若函数满足函数解析式，若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是增函数，则上是增函数，则 当当xxa,ba,b时，函数时，函数f(x)f(x)的值域是的值域是f(a),f(b)f(a),f(b). . 2.2.函数函数 与函数与函数 定义域相同定义域相同. . 1 x1 y
20、2 1 y x 1 1 x1 y2 1 y x 1 【解析解析】1.1.选选C.C.因为函数因为函数f(x)=3f(x)=3x x b b的图象经过点 的图象经过点(2,1)(2,1)，所，所 以以3 32 2 b b=1 =1，所以，所以2 2b=0b=0，b=2,b=2, 所以所以f(x)=3f(x)=3x x 2 2. .由 由2x42x4得得0 x0 x- -2222， 因为函数因为函数y=3y=3x x在区间在区间0,20,2上是增函数上是增函数. . 所以所以3 30 033x x 2 23 32 2, , 即即1313x x 2 29 9，所以函数，所以函数f(x)f(x)的值域
21、是的值域是1,91,9. . 2.2.由由x x1010得得x1,x1, 所以函数所以函数 的定义域是的定义域是x|x1.x|x1. 令令 则则tt|t0.tt|t0. 根据指数函数根据指数函数y=2y=2t t的图象可知的图象可知 y=2y=2t ty|yy|y0 0且且y1y1， 所以函数所以函数 的值域是的值域是y|yy|y0 0且且y1.y1. 1 x1 y2 1 t x 1 ， 1 x1 y2 【拓展提升拓展提升】 1.1.函数单调性在求函数值域中的应用函数单调性在求函数值域中的应用 (1)(1)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是增函数，则上是增函数，则 f(a
22、)f(x)f(b)f(a)f(x)f(b)，值域为，值域为f(a),f(b)f(a),f(b). . (2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是减函数，则上是减函数，则 f(a)f(x)f(b)f(a)f(x)f(b)，值域为，值域为f(b),f(a)f(b),f(a). . 2.2.函数函数y=ay=af(x) f(x)定义域、值域的求法 定义域、值域的求法 (1)(1)定义域定义域 函数函数y=ay=af(x) f(x)的定义域与 的定义域与y=f(x)y=f(x)的定义域相同的定义域相同. . (2)(2)值域值域 换元，令换元，令t=f(x)t=f(x)； 求
23、求t=f(x)t=f(x)的定义域的定义域xDxD； 求求t=f(x)t=f(x)的值域的值域tMtM； 利用利用y=ay=at t的单调性求的单调性求y=ay=at t，tMtM的值域的值域. . 【变式训练变式训练】求函数求函数f(x)=( )f(x)=( )x x+1(x+1(x1,11,1) )的值域的值域. . 【解题指南解题指南】利用指数函数利用指数函数y=( )y=( )x x的单调性的单调性, ,先求先求( )( )x x的范的范 围，再求围，再求( )( )x x+1+1的范围的范围. . 【解析解析】因为因为xx1,11,1， 且且y=( )y=( )x x在区间在区间1,
24、11,1上是减函数，上是减函数， 所以所以( )( ) 1 1( ) ( )x x 即即2( )2( )x x 所以所以 所以所求函数的值域为所以所求函数的值域为 3 3. . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2， 1 2， x 31 ( )13 22 ， 3 , 2 【易错误区易错误区】指数函数中忽视分类讨论致误指数函数中忽视分类讨论致误 【典例典例】(2013(2013淮安高一检测淮安高一检测) )函数函数f(x)=af(x)=ax x(a(a0,0,且且a1)a1)在在 0,10,1上的最大值与最小值的差为上的最大值与最小值的差为 则则a=_.a=_.
25、 1 2， 【解析解析】(1)(1)当当a a1 1时，函数时，函数f(x)=af(x)=ax x在在0,10,1上是增函数上是增函数. .所以所以 当当x=1x=1时，函数时，函数f(x)f(x)取最大值；当取最大值；当x=0 x=0时，函数时，函数f(x)f(x)取最小值取最小值. . 由题意得由题意得f(1)f(1)f(0)= f(0)= 即即a aa a0 0= = 解得解得a=a= (2)(2)当当0 0a a1 1时，函数时，函数f(x)=af(x)=ax x在在0,10,1上是减函数上是减函数 . .所以 所以 当当x=1x=1时，函数时，函数f(x)f(x)取最小值；当取最小值
26、；当x=0 x=0时，函数时，函数f(x)f(x)取最大值取最大值. . 由题意得由题意得f(0)f(0)f(1)= f(1)= 即即a a0 0a= a= 解得解得a=a= 综上知综上知a= a= 或或 答案：答案： 或或 1 2， 1 2， 3 . 2 1 2， 1 2， 1 . 2 3 2 3 2 1 . 2 1 2 【类题试解类题试解】已知已知a0a0，且，且a1a1，若函数，若函数f(x)=2af(x)=2ax x- -4 4在区间在区间 - -1 1，2 2上的最大值为上的最大值为1010，则，则a=_.a=_. 【解析解析】(1)(1)若若a1a1，则函数，则函数y=ay=ax
27、x在区间在区间- -1 1，2 2上是递增的，上是递增的， 当当x=2x=2时，时，f(x)f(x)取得最大值取得最大值f(2)=2af(2)=2a2 2- -4=104=10， 即即a a2 2=7,=7,又又a1a1，a=a= (2)(2)若若0a10a1，则函数，则函数y=ay=ax x在区间在区间- -1 1，2 2上是递减的，上是递减的， 当当x=x=- -1 1时，时，f(x)f(x)取得最大值取得最大值f(f(- -1)=2a1)=2a- -1 1- -4=10,a=4=10,a= 综上所述，综上所述，a a的值为的值为 或或 答案：答案： 或或 7. 1 . 7 7 1 . 7
28、 7 1 7 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.加强分类讨论的意识加强分类讨论的意识 在解含字母的指数函数的有关问题时，要重视分类讨论思想在解含字母的指数函数的有关问题时，要重视分类讨论思想 的应用的应用. .如本例中的函数如本例中的函数f(x)=af(x)=ax x在在a a1 1和和0 0a a1 1两种情况下，两种情况下， 最大值和最小值的取值情况是不同的最大值和最小值的取值情况是不同的. . 2.2.重视指数函数单调性的应用重视指数函数单调性的应用 对一些常用的指数函数的性质要记准、记牢，学会适时使用对一些常用的指数函数的性质要记准、记牢，学会适时使用. . 如本例中
29、根据如本例中根据a a的大小，确定指数函数的单调性，就可以得到的大小，确定指数函数的单调性，就可以得到 最大值、最小值，进而列方程求解最大值、最小值，进而列方程求解. . 1.1.指数函数指数函数y=ay=ax x与与y=by=bx x的图象如图所示，则的图象如图所示，则( )( ) A.aA.a0,b0,b0 B.a0 B.a0,b0,b0 0 C.0C.0a a1,b1,b1 D.01 D.0a a1,01,0b b1 1 【解析解析】选选C.C.指数函数在底数大于指数函数在底数大于1 1时单调递增，底数大于时单调递增，底数大于0 0 小于小于1 1时单调递减，因而选时单调递减，因而选C.
30、C. 2.2.当当a a0,0,且且a1a1时，函数时，函数f(x)=2f(x)=2- -a ax x- -1 1必过定点必过定点_._. 【解析解析】令令x x- -1=01=0得得x=1,f(1)=2x=1,f(1)=2- -a a0 0=1,=1,故必过定点故必过定点(1(1，1).1). 答案：答案：(1(1，1)1) 3.3.集合集合A=A=1,01,0，11，B=y|y=3B=y|y=3x x,xA,xA，则，则AB=_.AB=_. 【解析解析】集合集合A=A=1,01,0，11，B=y|y=3B=y|y=3x x,xA,xA， B= 1,3B= 1,3，AB=1.AB=1. 答案
31、：答案：11 1 , 3 4.4.函数函数 的定义域是的定义域是_._. 【解析解析】要使函数解析式有意义则要使函数解析式有意义则2x2x1010， 所以所以x x 所以函数所以函数 的定义域是的定义域是 +).+). 答案：答案： +)+) 2x1 1 y() 10 1 2， 2x1 1 y() 10 1 2， 1 2， 5.5.求函数求函数f(x)=3f(x)=3 x x 1 1的定义域、值域的定义域、值域. . 【解析解析】因为因为f(x)=3f(x)=3 x x 1=( )1=( )x x1 1， 所以函数所以函数f(x)=3f(x)=3 x x 1 1的定义域为的定义域为R.R. 由由xRxR得得( )( )x x0 0，所以，所以( )( )x x- -1 1- -1 1， 所以函数所以函数f(x)=3f(x)=3 x x 1 1的值域为的值域为( (1,+).1,+). 1 3 1 3 1 3
