1、勾 股 定 理第3课时合作探究培素养合作探究培素养知识点一在数轴上表示无理数知识点一在数轴上表示无理数(P26(P26探究拓展探究拓展)【典例【典例1 1】如图所示，数轴上点如图所示，数轴上点A A所表示的数为所表示的数为a a，则，则a a的值是的值是()A.+1A.+1B.-+1B.-+1C.-1C.-1D.D.C C5555【思路点拨】【思路点拨】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据数轴上两点间的距先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据数轴上两点间的距离公式即可求出离公式即可求出A A点的坐标点的坐标.【学霸总结】【学霸总结】在数轴上表示无理数的三步法在数轴上表示无理数的三步法一一
2、“拆分拆分”：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的_等于所画线段等于所画线段(斜边斜边)长的长的_._.二二“构造构造”：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造_._.三三“画弧画弧”：以数轴原点为：以数轴原点为_，以，以_为半径画弧，即可在数为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点轴上找到表示该无理数的点.平方和平方和平方平方直角三角形直角三角形圆心圆心斜边长斜边长解：如图所示，从A点到B点的路程最短的走法共有3种，根据题意得出最短路程【思路点拨】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据数轴上两点间的距离公式即可求出A
3、点的坐标.如图，所有长度为 的线段全部画知识点二勾股定理在网格中的应用(P39T9强化)直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长的线段，然后可以找出所有这样的线段.(易错警示题)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，4).如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为()(2020铜陵期末)如图所示，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1，OBC=90，如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.(2)BC=.【变式一】(变换条件与问法)如图，数轴上点C表示的数是1，点F表示的数是(2)BC=.(2)B
4、C=.与数轴交于点E(点E位于点A右侧)，则点E表示的数为_.以点A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴交于点C，则点C的坐标为_正解：如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为【变式探究】【变式探究】(2020(2020杭州市萧山区期末杭州市萧山区期末)如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以以1 1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A A，则点，则点A A表示的数是表示的数是 ()A.1A.1B.-1B.-1C.1-C.1-D.D.C C22【多维训练】【多维训练】1.
5、1.在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点A A，B B的坐标分别为的坐标分别为(-6(-6，0)0)，(0(0，8).8).以点以点A A为圆心，为圆心，以以ABAB长为半径画弧交长为半径画弧交x x轴于点轴于点C C，则点，则点C C的坐标为的坐标为()A.(6A.(6，0)0)B.(4B.(4，0)0)C.(6C.(6，0)0)或或(-16(-16，0)0)D.(4D.(4，0)0)或或(-16(-16，0)0)D D2.(2020 2.(2020 成都市武侯区期末成都市武侯区期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2A(-2，0)0)，B(0B
6、(0，3)3)，以点，以点A A为圆心，为圆心，ABAB长为半径画弧，交长为半径画弧，交x x轴的正半轴于点轴的正半轴于点C C，则点，则点C C的横坐标介于的横坐标介于()和和1 1之间之间和和2 2之间之间和和3 3之间之间和和4 4之间之间B B3.(20203.(2020苏州期末苏州期末)如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点纸片上的点A A表示的数是表示的数是-2-2，AC=BC=BD=1AC=BC=BD=1，若以点，若以点A A为圆心、为圆心、ADAD的长为半径画弧，的长为半径画弧，与数轴交于点与数轴交于点E(
7、E(点点E E位于点位于点A A右侧右侧)，则点，则点E E表示的数为表示的数为_._.3-2-2知识点二勾股定理在网格中的应用知识点二勾股定理在网格中的应用(P39T9(P39T9强化强化)【典例【典例2 2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1 1，求网格上的三角形，求网格上的三角形ABCABC的面积和周长的面积和周长.【思路点拨】【思路点拨】求图形的面积，一般有两种方法，一是对于规则图形直接求出有求图形的面积，一般有两种方法，一是对于规则图形直接求出有关的数据，代入面积公式即可求得；二是对于一些直接用面积公式无法求得结关的数据，代入面积公式即
8、可求得；二是对于一些直接用面积公式无法求得结果或者不规则的图形进行割补果或者不规则的图形进行割补.对于本题，从题图中可以看出，用三角形的面对于本题，从题图中可以看出，用三角形的面积公式无法求得，因此用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可积公式无法求得，因此用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可.对于求三角形的周长，用勾股定理求出三边长，然后求和即可对于求三角形的周长，用勾股定理求出三边长，然后求和即可.【自主解答】【自主解答】ABCABC的面积的面积=4=44-4-1 14-4-3 32-2-2 24=16-2-3-4=74=16-2-3-4=7；由勾股定理得由勾股定理得AB=AB=，
9、BC=BC=，AC=2 AC=2 ，所以所以ABCABC的周长的周长=+2 .=+2 .1212122214172223132224131755 【学霸总结】【学霸总结】网格中的勾股定理网格中的勾股定理(1)(1)考查知识：图形的对称性、勾股定理、面积计算等考查知识：图形的对称性、勾股定理、面积计算等.(2)(2)解题思想：分类讨论、数形结合解题思想：分类讨论、数形结合.(3)(3)题目特征：任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以题目特征：任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点间的线段长度都能求得任何格点间的线段长度都能求得.【变式探究】【变式探究】
10、请在由边长为请在由边长为1 1的正三角形组成的网格中，画出的正三角形组成的网格中，画出3 3个所有顶点均在格点上，且至个所有顶点均在格点上，且至少有一条边的长为无理数的等腰三角形少有一条边的长为无理数的等腰三角形.解：解：先确定出一条长为无理数的线段，然后再找出另两边，对长为无理数的线先确定出一条长为无理数的线段，然后再找出另两边，对长为无理数的线段，根据网格中蕴含的特殊角、直角，借助勾股定理即可确定，答案不唯一段，根据网格中蕴含的特殊角、直角，借助勾股定理即可确定，答案不唯一.【多维训练】【多维训练】1.(20201.(2020达州市达川区期末达州市达川区期末)如图，已知由如图，已知由161
11、6个边长为个边长为1 1的小正方形拼成的图案的小正方形拼成的图案中，有五条线段中，有五条线段PAPA，PBPB，PCPC，PDPD，PEPE，其中长度是有理数的有，其中长度是有理数的有()条条条条条条条条B B2.(20202.(2020石家庄市裕华区期末石家庄市裕华区期末)如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1 1的正方形，则的正方形，则ABCABC中中BCBC边上的高是边上的高是()B B3.3.如图，图中的小正方形的边长为如图，图中的小正方形的边长为1 1，到点，到点A A的距离为的距离为 的格点有的格点有_个个.()B B5只用没有刻度的直尺，在这个任何格点间的线段长度都能求得
12、.【变式一】(变换条件与问法)如图，数轴上点C表示的数是1，点F表示的数是二“构造”：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造_.与数轴交于点E(点E位于点A右侧)，则点E表示的数为_.【思路点拨】求图形的面积，一般有两种方法，一是对于规则图形直接求出有a+b=_.方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在网格中按要求分别画如图，若每个小正方形的边长为1，点A，B和C都在格点上，则AB的长为_，点C到AB的距离为_.(3)点P在y轴上，当ABP的面积为3时，如图，在22的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴交于点C，则点C的坐标
13、为_(8分)如图，已知A(-2，3)，B(4，3)，C(-1，-3).果或者不规则的图形进行割补.三“画弧”：以数轴原点为_，以_为半径画弧，即可在数a+b=_.的横坐标介于()(6，0)B.4.4.如图，若每个小正方形的边长为如图，若每个小正方形的边长为1 1，点，点A A，B B和和C C都在格点上，则都在格点上，则ABAB的长为的长为_，点点C C到到ABAB的距离为的距离为_._.106 105技能培优拓思维技能培优拓思维【火眼金睛】【火眼金睛】如图是由如图是由4 4个边长为个边长为1 1的正方形构成的的正方形构成的“田字格田字格”.只用没有刻度的直尺，在这个只用没有刻度的直尺，在这个
14、“田字格田字格”中最多可以作出长度为中最多可以作出长度为 的线段的线段_条条.5如图，已知ABC中，ABC=90，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于两整数值a，b之间，则(10分)(2020哈尔滨市南岗区一模)图，图均为正方形网格，每个小正积公式无法求得，因此用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可.直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长如图，若每个小正方形的边长为1，点A，B和C都在格点上，则AB的长为_，点C到AB的距离为_.(2)BC=.三“画弧”：以数轴原点为_，以_为半径画弧
15、，即可在数以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示(3)点P在y轴上，当ABP的面积为3时，关的数据，代入面积公式即可求得；(2)BC=.(2)BC=.(2020石家庄市裕华区期末)如图，小方格都是边长为1的正方形，则ABC中BC边上的高是()直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长以点A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴交于点C，则点C的坐标为_解：如图所示，从A点到B点的路程最短的走法共有3种，根据题意得出最短路程正解：正解：如图，由于每个小正方形的边长为如图，由于每个小正方形的边长为1 1，那么根据勾股定理容易得到长度为
16、，那么根据勾股定理容易得到长度为 的线段，然后可以找出所有这样的线段的线段，然后可以找出所有这样的线段.如图，所有长度为如图，所有长度为 的线段全部画的线段全部画出，共有出，共有8 8条条.答案：答案：8 855【一题多变】【一题多变】如图，点如图，点P P是以是以A A为圆心为圆心ABAB的长为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点的长为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P P表示的表示的实数是实数是()B.-2.2B.-2.2C.-C.-D.-+1D.-+1D D1010到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的路程最短的走法共有几种？最短【思路点拨】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据
17、数轴上两点间的距离公式即可求出A点的坐标.为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于两整数值a，b之间，则图，使得每个图形的顶点均在格点上.九勾股定理(第3课时)BC=，AC=2 ，为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于两整数值a，b之间，则在数轴上表示无理数的三步法纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，积公式无法求得，因此用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可.长为 +1=2 +1.形，以数轴的原点为圆心，OP的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于两整数值a，
18、b之间，则如图，图中的小正方形的边长为1，到点A的距离为 的格点有_(6，0)B.解：如图所示，从A点到B点的路程最短的走法共有3种，根据题意得出最短路程果或者不规则的图形进行割补.P到AB的距离为：3 =1，【母题变式】【母题变式】【变式一】【变式一】(变换条件与问法变换条件与问法)如图，数轴上点如图，数轴上点C C表示的数是表示的数是1 1，点，点F F表示的数是表示的数是-2-2，CD=1CD=1，以，以CDCD，CFCF为边作长方形为边作长方形CDEFCDEF，以，以C C为圆心、为圆心、CECE的长为半径画弧交数的长为半径画弧交数轴于轴于A A，B B两点，则点两点，则点A A表示的
19、数是表示的数是_，点，点B B表示的数是表示的数是_._.10101-1-1+1+【变式二】【变式二】(变换条件与问法变换条件与问法)如图，以数轴的单位长度为边作三个竖立的正方如图，以数轴的单位长度为边作三个竖立的正方形，以数轴的原点为圆心，形，以数轴的原点为圆心，OPOP的长为半径画弧，交数轴于点的长为半径画弧，交数轴于点A A，则点，则点A A表示的数表示的数是是_._.-10课时提升作业课时提升作业九勾股定理九勾股定理(第第3 3课时课时)(30(30分钟分钟5050分分)一、选择题一、选择题(每小题每小题4 4分，共分，共1212分分)1.(20201.(2020铜陵期末铜陵期末)如图
20、所示，点如图所示，点B B，D D在数轴上，在数轴上，OB=3OB=3，OD=BC=1OD=BC=1，OBC=90OBC=90，以以D D为圆心，为圆心，DCDC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A A，则点，则点A A表示表示的实数是的实数是()A.A.B.+1B.+1C.-1C.-1D.D.不能确定不能确定101717C C2.2.如图，在如图，在2 22 2的正方形网格中，每个小正方形边长为的正方形网格中，每个小正方形边长为1 1，点，点A A，B B，C C均为格点，均为格点，以点以点A A为圆心，为圆心，ABAB长为半径作弧，交格线于点长为半径作弧，交格
21、线于点D D，则以，则以B B，C C，D D为顶点的三角形为顶点的三角形面积为面积为()A.A.B.B.C.C.D.D.1415312232D D3.3.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n n个三角形的面积为个三角形的面积为()A.nA.nB.B.C.C.D.D.nn2n2D D二、填空题二、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共1212分分)4.(4.(易错警示题易错警示题)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，点中，点A A，B B的坐标分别为的坐标分别为(3(3，0)0)，(0(0，4).4).以点以点A A为圆心，为圆心，AB
22、AB长为半径画弧，与长为半径画弧，与x x轴交于点轴交于点C C，则点，则点C C的坐标为的坐标为_._.(8(8，0)0)或或(-2(-2，0)0)5.5.如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点P P的坐标为的坐标为(-2(-2，3)3)，以点，以点O O为圆心，以为圆心，以OPOP的长的长为半径画弧，交为半径画弧，交x x轴的负半轴于点轴的负半轴于点A A，则点，则点A A的横坐标介于两整数值的横坐标介于两整数值a a，b b之间，则之间，则a+b=_.a+b=_.-7-76.6.如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ABC=90ABC=90，AB=BCAB=BC，三角
23、形的顶点在相互平行的三条，三角形的顶点在相互平行的三条直线直线l1 1，l2 2，l3 3上，且上，且l1 1，l2 2之间的距离为之间的距离为2 2，l2 2，l3 3之间的距离为之间的距离为3 3，则，则ACAC的长的长是是_._.172 2 7.(87.(8分分)如图，在如图，在6 6个边长为个边长为1 1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从A A点点到到B B点只能沿图中的线段走，那么从点只能沿图中的线段走，那么从A A点到点到B B点的路程最短的走法共有几种？最短点的路程最短的走法共有几种？最短路程为多少？路程为多少？如图，已知ABC中，A
24、BC=90，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条【变式一】(变换条件与问法)如图，数轴上点C表示的数是1，点F表示的数是三“画弧”：以数轴原点为_，以_为半径画弧，即可在数二是对于一些直接用面积公式无法求得结(6，0)B.为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于两整数值a，b之间，则一“拆分”：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的_等于所画线段少有一条边的长为无理数的等腰三角形.【自主解答】ABC的面积=44-14-32-24=16-2-3-4=7；(10分)(2020哈尔滨市南岗区一模)图，图均为正方形网格，每个小正【思路点拨】求图形的面积，一般有两种方法，一是对于规则图形直接求
25、出有长为 +1=2 +1.如图，所有长度为 的线段全部画以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示只用没有刻度的直尺，在这个(2020达州市达川区期末)如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案(2020石家庄市裕华区期末)如图，小方格都是边长为1的正方形，则ABC中BC边上的高是()对于本题，从题图中可以看出，用三角形的面解：解：如图所示，从如图所示，从A A点到点到B B点的路程最短的走法共有点的路程最短的走法共有3 3种，根据题意得出最短路程种，根据题意得出最短路程长为长为 +1=2 +1.+1=2 +1.222228.(88.(8分分)如图，已知如图，已知A(-
26、2A(-2，3)3)，B(4B(4，3)3)，C(-1C(-1，-3).-3).(1)(1)点点B B到坐标原点的距离为到坐标原点的距离为_；(2)(2)求求BCBC的长；的长；(3)(3)点点P P在在y y轴上，当轴上，当ABPABP的面积为的面积为3 3时，请直接写出点时，请直接写出点P P的坐标的坐标.解：解：(1)(1)点点B B到坐标原点的距离到坐标原点的距离=5.=5.答案：答案：5 5(2)BC=.(2)BC=.(3)(3)点点P P在在y y轴上，当轴上，当ABPABP的面积为的面积为3 3时，时，P P到到ABAB的距离为：的距离为：3 3 =1 =1，故点故点P P的坐标
27、为：的坐标为：(0(0，2)2)或或(0(0，4).4).2234224(1)3(3 ）2256611(6)2如图，若每个小正方形的边长为1，点A，B和C都在格点上，则AB的长为_，点C到AB的距离为_.-2，CD=1，以CD，CF为边作长方形CDEF，以C为圆心、CE的长为半径画弧交数纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，(10分)(2020哈尔滨市南岗区一模)图，图均为正方形网格，每个小正长为 +1=2 +1.【思路点拨】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据数轴上两点间的距离公式即可求出A点的坐标.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(
28、-2，3)，以点O为圆心，以OP的长(2)BC=.(2020石家庄市裕华区期末)如图，小方格都是边长为1的正方形，则ABC中BC边上的高是()解：先确定出一条长为无理数的线段，然后再找出另两边，对长为无理数的线段，根据网格中蕴含的特殊角、直角，借助勾股定理即可确定，答案不唯一.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.(3)题目特征：任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以(6，0)B.以点A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴交于点C，则点C的坐标为_积公式无法求得，因此用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可.任何格点间的线段长度都能求得.以D为圆心，DC长为半径画弧，与
29、数轴正半轴交于点A，则点A表示如图，所有长度为 的线段全部画【一道题培优】【一道题培优】9.(109.(10分分)(2020)(2020哈尔滨市南岗区一模哈尔滨市南岗区一模)图图，图，图均为正方形网格，每个小正均为正方形网格，每个小正方形的边长均为方形的边长均为1 1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在网格中按要求分别画，各个小正方形的顶点叫做格点，请在网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上图，使得每个图形的顶点均在格点上.(1)(1)画一个直角三角形，且三边长为画一个直角三角形，且三边长为 ，2 2 ，5 5；(2)(2)画一个边长为整数的等腰三角形，且面积等于画一个边长为整数的等腰三角形，且面积等于12.12.略略55
