1、第24章 圆24.6 正多边形与圆正多边形与圆第2课时 正多边形的性质学习目标1.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概 念.（重点）2.掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点）导入新课导入新课问题1 什么是正多边形？问题2 如何作出正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n变形.讲授新课讲授新课正多边形的性质OABCD问题1 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？EFGHEF是边AB、CD的垂直平分线，OA=OB，OD=OC.GH是边AD、BC的垂直平分线，OA=OD；OB=OC.OA=OB=OC=OD.正方形AB
2、CD有一个以点O为圆心的外接圆.观察与思考OABCDEFGHAC是DAB及DCB的角平分线，BD是ABC及ADC的角平分线，OE=OH=OF=OG.正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.想一想：OABCDEFGHRr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.内切圆的半径叫作正多边形的边心距.知识要点正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于 .360n正多边形边数内角中心角外角346n60 120 120 90 90
3、90 120 60 60(2)180nn360n360n正多边形的外角=中心角完成下面的表格：练一练如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：它的中心角等于 度；OC BC (填、或）；OBC是 三角形；圆内接正六边形的面积是 OBC面积的 倍.圆内接正n边形面积公 式：_.CDOBEFAP60=等边6正多边形的有关计算探究归纳S正多边形=周长边心距/2例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).CDOEFAP抽象成典例精析B利用勾股定理，可得边心距22422 3.r 亭子地基的面积在RtOMB中，OB4，MB4222BC，4mOABCD
4、EFM r解：过点O作OMBC于M.21124 2 341.6(m).22Sl r 例2 求边长为a的正六边形的周长和面积.解：如图，过正六边形的中心O作OGBC，垂足为G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为l和S.FABCDEOG 多边形ABCDEF为正六边形，BOC=60，BOC是等边三角形.l=6BC=6a.在BOC中，有33.22OGBCa213 36.22SBC OGa(1)正n边形的中心角怎么计算？CDOBEFAP360n(2)正n边形的边长a，半径R，边 心距r之间有什么关系？aRr222.2aRr(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？11.22Snarlr
5、其中l为正n边形的周长.想一想：如图所示，正五边形ABCDE内接于 O，则ADE的度数是 （）A60 B45 C 36 D 30 ABCDEO练一练C2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRM r圆内接正多边形的辅助线方法归纳O边心距r边长一半半径RCM中心角一半画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.要点归纳例3 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线(1)在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点
6、，使连接的线段与AG平行，并说明理由；(2)两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积(1)在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；解：连接BF，CE，则有BFAG，CEAG理由如下：ABCDEFGH是正八边形，它的内角都为135又HA=HG，HAG=22.5.GAB=135-1=112.5正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，即BAG+ABF=180，故BFAG1ABF=ABC=67.5.2同理，可得CEBF，CEAG.PNMQ解：由题意可知PHA=PAH=45，P=90，同理可得Q
7、=M=90，四边形PQMN是矩形PHA=PAH=QBC=QCB=MDE=MED=45，AH=BC=DE，PAHQCBMDE，PA=QB=QC=MD即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形(2)两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积在RtPAH中，PAH=45，AB=2，PA=ABsin452，PNMQPQ=PB+AB+BQ=2+2 2.故S四边形PQMN=22+22=128 2.（）2.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .当堂练习当堂练习正多边形边数半径边长边心距周长面积34162 331.填表216 33
8、3228422126 334.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要 cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径4 23.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 度.（不取近似值）412875.如图，四边形ABCD是 O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求 O的面积解：正方形的面积等于4，sin 452.ABog则半径为 O的面积为2(2)2.正方形的边长AB=2.ABCDEFP6.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点则点P到各边距离之和是多少？2 3点P到各边距离之和=3BD=36=18解：过P作AB的垂线，分
9、别交AB、DE于H、K，连接BD，作CGBD于G.HKP到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.六边形ABCDEF是正六边形ABDE，AFCD，BCEF，BC=CD，BCD=ABC=CDE=120，CBD=BDC=30，BDHK，且BD=HK.CGBD，BD=2BG=2BCcosCBD=6.拓广探索如图,M,N分别是O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)求图中MON=_;图中MON=;图中MON=;(2)试探究MON的度数与正n边形的边数n的关系.ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO90 72 360MONn120 图图图课堂小结课堂小结正多边形的性质正多边形的有 关 概 念正多边形的有 关 计 算添加辅助线的方法：连半径，作边心距中心半径边心距中心角正多边形的对称性
