1、 - 1 - 江苏省泰州市 2017-2018学年高二数学 12月月考试题 一、填空题（每题 5分，满分 70 分，将答案填在答题纸上） 1. 命题 “ 若 ，则 ” 的否命题为 _ 【答案】若 ，则 【解析】根据逆否命题的写法：将条件和结论互换，既否条件又否结论，原命题的逆否命题为若 ，则 . 故答案为：若 ，则 . 2. 曲线 在 处的切线方程是 _ 【答案】 【解析】 当自变量等于 0时，函数值为 2，故得到切线方程为： 。 故答案为： 。 3. 抛物线 的焦点坐标为 _ 【答 案】 【解析】由题意可得 所以焦点在 的正半轴上，且 则焦点坐标为 4. 双曲线 的渐近线方程为 _ 【答案】
2、 【解析】双曲线 ，渐近线方程为： ， 故得到方程为： . 故答案为： 。 5. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 上一点 到其左焦点的距离为 4，则点 到右准线的距离为 _ 【答案】 3 【解析】根据题意，设椭圆 的右焦点为 F ，点 P到右准线的距离为 d， - 2 - 椭圆 中 a=3， b= ， 则 c=2， 则其离心率 e= ， 若 P在椭圆上，且 P到左焦点 F的距离为 4，则 |PF|=2a 2=2， 又由椭圆的离心率 e= ， 则有 e= = ，解可得 d=3， 即点 P到右准线的距离为 3； 故答案为： 3. 6. 用反证法证明命题 “ 三角形的内角至多有一个钝角 ” 时，应假
3、设为 _ 【答案】三角形的内角至少有两个钝角 【解析】反证法证明时，需要假设反面成立，即原条件的否定。故应假设为：三角形的内角至少有两个钝角 。 故答案为：三角形的内角至少有两个钝角。 7. 设 是等腰三角形， ，则以 、 为焦点且过点 的双曲线的离心率为_ 【答案】 【解析】 由题意 2c=|AB|，所以 由双曲线的定义，有. 故答案为： . 8. 观察下列式子： ， ， ， ? ，根据以上式子可以猜想_ 【答案】 【解析】试题分析：由已知中的式子 ,? ，所以 考点：归纳推理 - 3 - 9. 已知函数 在 处取得极小值 10，则 的值为 _ 【答案】 -2 【解析】 f （ x） =x3
4、+ax2+bx a2 7a， f （ x） =3x2+2ax+b， 又 f（ x） =x3+ax2+bx a2 7a在 x=1处取得极小值 10， f （ 1） =3+2a+b=0， f（ 1） =1+a+b a2 7a=10， a 2+8a+12=0， a= 2， b=1或 a= 6， b=9 当 a= 2， b=1时， f （ x） =3x2 4x+1=（ 3x 1）（ x 1）， 当 x 1时， f （ x） 0，当 x 1时， f （ x） 0， f （ x）在 x=1处取得极小值，与题意符合； 当 a= 6， b=9时， f （ x） =3x2 12x+9=3（ x 1）（ x 3）
5、 当 x 1 时， f （ x） 0，当 1 x 3时， f （ x） 0， f （ x）在 x=1处取得极大值，与题意不符； = 2， 故答案为： 2 点睛：这个题目考查的是函数的单调性和极值问题，极值主要是研究函数的导函数的正负情况，要求极值点附近导函数的正负情况不同，原函数的单调性不同；但是注意易错点是，极值点必须是导函数的变号零点，不能只是零点。 10. 已知等差数列 中，有 ，则在此等比数列 中，利用类比推理有类似的结论： _ 【答案】 【解析】等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法， 等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论： 故答
6、案为： . 11. 若函数 （ 为自然 对数的底数）， ，若存在实数 ， ，使- 4 - 得 ，且 ，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】函数 f（ x） =ex 1+x 2的导数为 f （ x） =ex 1+1 0， f（ x）在 R上递增，由 f（ 1） =0，可得 f（ x1） =0，解得 x1=1， 存在实数 x1， x2，使得 f（ x1） =g（ x2） =0且 |x1 x2|1 ， 即为 g（ x2） =0且 |1 x2|1 ， 即 x2 ax a+3=0在 0x2 有解， 在 0x2 有解 ， 函数在 函数的值域为 点睛 ： 本题考查函数的零点，导数的综合应用 ， 在研
7、究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论 12. 用数学归纳法证明： ，在第二步证明从 到 成立时，左边增加的项数是 _（用含有 的式子作答） 【答案】 【解析】假设 n=k成立，即 ，则 n=k+1成立时有，所以左边增加得项数是： 13. 三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内解三角形已知 为椭圆 （ ）的上 顶点，若以 为直角顶点的等腰直角三角形 有且只有三解，则椭圆的离心率的取值范围是 _ 【答案】 【解析】由题意可
8、设：直线 AB的方程为 y=kx+1，（ k 0），直线 AC的方程为 y= x+1， 联立 ，化为：（ 1+a2k2） x2+2ka2x=0，解得 xB=- , yB= ,|AB|= - 5 - 同理可得： xC= ， yC= |AC|= |AB|=|AC| ， = 化为： a2（ k2 k） =k3 1， 当 k=1时是其中一个根 当 k1 时， a2= =k+ +1 3， 1 e= 故答案为： 点睛：这个题目考查的是椭圆的离心率的求法；图形特点圆锥曲线联系到一起。求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点
9、的坐标代入方程，列式子。 14. 已知函数 ， ， 表示 ， 中的最小值，若函数（ ）恰有三个零点，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 f （ x） =x3-mx+ ， f （ x） =3x2-m， 若 m0 ，则 f （ x） 0 恒成立，函数 f（ x） =x3+mx+ 至多有一个零点 ， 此时 h（ x）不可能有 3个零点，故 m 0， 令 f （ x） =0，则 x= ， g （ 1） =0， 若 h（ x）有 3个零点，则 1， f（ 1） 0， f（ ） 0， - 6 - 即 ； 解得： m 故答案为： 。 二、解答题 （本大题共 6小题，共 90分 .解答应写出文字说明
10、、证明过程或演算步骤 .） 15. 已知命题 ：函数 在 上是增函数；命题 ： ，不等式恒成立 （ 1）如果命题 为真命题，求实数 的取值范围； （ 2）命题 “ ” 为真命题， “ ” 为假命题，求实数 的取值范围 【答案】（ 1） （ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）根据题意求满足函数是增函数的 a的范围即可；（ 2） 由命题 “ ”为真命题， “ ” 为假命题知 ， 一真一假，分情况讨论求解 a的范围即可。 解析： （ 1） 对 恒成立， ，解得 （ 2）命题 为真命题 ，即 由命题 “ ” 为真命题， “ ” 为假命题知 ， 一真一假 . 若 真 假，则 解得 ； 若 假 真，则
11、 解得 . 综上所述， . 16. 试用适当的方法求证下列命题： （ 1）求证： ； （ 2）求证： ， ， 不可能是同一个等差数列中的三项 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析 【解析】试题分 析：（ 1）分析法入手，从要证的结果入手，两边移项平方即可；（ 2）反证法假设 ， ， 是同一个等差数列 （ ）中的 、 、 三项，最后推出矛盾即可。 - 7 - 解析： （ 1）要证明 ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 即证 而 显然成立，故原不等式成立 （ 2）（反证法）假设 ， ， 是同一个等差数列 （ ）中的 、 、 三项，则 ， ，三式消去 、 得 （ *） （ *）左边是
12、无理数，右边是有理数，矛盾 所以，假设不成立，即 ， ， 不可能是同一个等差数列中的三项 17. 已知函数 （ ） （ 1）若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，求 ； （ 2）设 的导函数是 ，在（ 1）的条件下，若 ， ，求 的最小值 【答案】（ 1） （ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）根据导数的几何意义，得到 ， ，即 ；（ 2） 根据题意写出 和 的表达式，分别求两者的最值即可。 解析： （ 1） ，据题意， ， ，即 （ 2）由（ 1）知 ，则 - 8 - 对于 ， 最小值为 的对称轴为 ，且开口向下， 时，最小值为 与 中较小 的 ， ， 当 时， 的最小值为 . 当 时
13、， 的最小值为 ， 的最小值为 . 18. 已知数列 满足 ， （ 为正整数） （ 1）求 ， ， 并猜想出数列 的通项公式； （ 2）用数学归纳法证明（ 1）的结论 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析 【解析】试题分析：（ 1）写出数列中的几项，通过观察找出规律，归纳出通项；（ 2）根据数序归纳法的步骤， 当 时，猜想成立 ， 假设当 （ ）时，猜想成立；证明即可。 解析： （ 1）由 ， ， ， 同理可求 ， ，猜想 （ 2）证明： 当 时，猜想成立 ； 假设当 （ ）时，猜想成立，即 ， 则 ， 所以当 时猜想成立 综合 ，猜想对任何 都成立 19. 如图是一块地皮 ，其中 ， 是直线
14、段，曲线段 是抛物线的一部分，且点 是该抛物线的顶点， 所在的直线是该抛物线的对称轴，经测量， ， ，- 9 - 现要从这块地皮中划一个矩形 来建造草坪，其中点 在曲线段 上，点 ，在直线段 上，点 在直线段 上，设 ，矩形草坪 的面积为 . （ 1）求 ，并写出定义域； （ 2）当 为多少时，矩形草坪 的面积最大？ 【答 案】（ 1） ，定义域为 （ 2）当 时，矩形草坪 的面积最大 【解析】试题分析： (1)由题意可得函数的解析式为 ，定义域为 ； (2)对函数求导，结合导函数与原函数的关系可得当 时，矩形草坪 的面积最大 . 试题解析： （ 1） 以 O为原点， OA 边所在直线为 轴，建立 如图所示的平面直角坐标系， 过点 作 于点 ， 在直角 中， ， ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，则 ， 设抛物线 OCB 的标准方程为 ， 代入点 的坐标，得 ， 所以抛物线的方程为 - 10 - 因为 ，所以 ，则 ， 所以 ，定义域为 （ 2） ，令 ，得 当 时， ， 在 上单调增； 当 时， ， 在 上单调减 所以当 时， 取得极大值，也是最大值 20. 在平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的离
