1、 - 1 - 2017-2018 学年 上 学期 高二数学（理科）第二次月考试题 (考试时间： 120分钟 总分： 150分 ) 一、选择题（每题 5分共 60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1 抛物线 2=yax 的准线方程是 =-2y ，则 a 的值为 （ ） A.4 B.8 C. 18 D. 14 2 某单位有若干名员工，现 采用分层抽样的方式 抽取 n 人去体检，若老、中、青人数之比为4： 1： 5，已知抽到 10 位中年人，则样本 的容量 为 ( ) A. 40 B. 100 C. 80 D. 50 3 下列程序框图中，输出的 A 的值是（ ） A. 119B
2、. 118 C. 121 D.1204 若双曲线 1C 以椭圆 222 :116 25xyC ?的焦点为顶点，以椭圆 2C 长轴的端点为焦点，则 双曲线 1C 的方程为（ ） A. 2219 16xy? B.22116 25xy?C. 2219 16yx? D. 22116 25yx? 5 某小组有 3名男生和 2名女生，从中任选 2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ） A. “至少 1名男生”与“至少有 1名是女生” B. 恰好有 1名男生”与“恰好 2名女生” C. “至少 1名男生”与“全是男生” D. “至少 1名男生”与“全是女生” 6 已知双曲线 2219xym?的一
3、条渐近线方程为 23yx? ，则双曲线的焦距为 （ ） A. B. C. D. 7太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美 .按照太极图的构图方法， 在平面直角坐标系中，圆 O 被 3sin 6yx? 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 2，现在大圆内随机取一- 2 - 点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A. 136 B. 118 C. 112 D. 19 8将一枚质 地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 a 和 b ，则方 2 10ax bx? ? ? 有实数解的概率是（ ）
4、 A. 1936 B. 12 C. 736 D. 518 9下表是某单位 1 4 月 份用水量 (单位：百吨 )的一组数据： 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4 5 a 7 由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其回归方程是 3.05?yx? ，则 a 等于（ ） A. 6 B. 6.05 C. 6.2 D. 5.95 10下列四个命题： 命题 “ 若 2 3 2 0xx? ? ? ，则 1x? ” 的逆否命题为 “ 若 1x? ，则 2 3 2 0xx? ? ? ” “ 2x? ” 是 “ 2 3 2 0xx? ? ? ” 的必要不充分条件 若 pq? 为假命
5、题，则 ,pq均为假命题 对于命题 :p x R? ，使得 2 10xx? ? ? ，则 :p x R? ? ? ，使得 2 10xx? ? ? . 其中，错误的命题个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11 为了了解某校今年准备报考飞行员的学 生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1： 2： 3，第 1 小组的频数为 6，则报考飞行员的学生人数是 （ ） A.56 B. 48 C. 40 D. 32 12 设双曲线 ? ?22: 1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?的左、右焦点分别为 1
6、F ， 2F ， 122FF c? ，过 2F- 3 - 作 x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A ，已知 3,2aQc?， 22FQ FA? ，点 P 是双曲线 C 右支上的动点，且1 1 232PF PQ F F?恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 71,6?B. 10,2?C. 7 10,62?D. 101,2?二、填空题（每小题 5 分，共 20 分， .将答案填入答卷指定位置） . 13 已知向量 ( , 1 2 , 1 ) , ( 4 , 5 , 1 ) , ( , 1 0 , 1 )O A k O B O C k? ? ? ?，且 A、 B、 C三点共线， 则
7、 k = _ 14 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p?的过焦点的弦为 AB ，且 9AB? ， 6ABxx?， 则 p? 15 某校开展 “ 爱我 漳州 、爱我 华安 ” 摄影比赛， 9位评委为参赛作品 A给出的分数如下图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为 91.复核员在复核时，发现有一个数字 (茎叶图中的 x)无 法看清若记分员计算无误，则数字 x应该是 . 16设圆 ? ?2 21 25xy? ? ? 的圆心为 C ， ? ?1,0A 是 圆内一定点， Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平 分线与 CQ 的连线交于点 M ，则 M 的轨迹方程为_ 三解答题（
8、本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17 已知集合 ( x , y ) | x 0 , 2 , y 1 ,1 .Z ? ? ? ? （ 1）若 ,xy Z? ，求 0xy?的概率； （ 2）若 ,xy R? ，求 0xy?的概率 . - 4 - 18 命题 p : 2( ) 1f x x m x? ? ? 的 定 义 域 为 R；命题 q :方程 2212xym?表示焦点在 y 轴上的椭圆 .若“ p 且 q ”是假命题，“ p 或 q ”是真命题，求实数 m 的取值范围 . 19某校高三（ 1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的
9、破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题 1009080706050分数频率组距0 . 040 . 0280 . 0160 . 00885987654322198653328698765叶茎（ 1） 求全班人数及分数在 ? ?80,90 之间的频数，并估计该班的平均分数； （ 2）若要从分数在 ? ?80,100 之间的试卷中任取 两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在 ? ?90,100 之间的概率 - 5 - 20 已知 O 为坐标原点， M 是椭圆 2 2 12x y?上的点，设动点 P 满足 2OP OM? . （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）若直线
10、? ?:0l y x m m? ? ?与曲线 C 相交于 A ， B 两个不同点，求 OAB? 面积的最大值 . 21 如图， 是边长为 的正方形， 平面 ， ， ， 与平面 所成角为 （）求证： 平面 （） 求二面角 的余弦值 （）设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，使得 平面 ，并证明你的结论 22 已知椭圆 22 1( 0 )ya abab? ? ? ?过点 3,32?，离心率为 12 . （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）过椭圆的上顶点作直线 交抛物线 2 2xy? 于 ,AB两点， O 为原点 . 求证： OA OB? ； 设 OA、 OB 分别与椭圆相交于 C 、 D 两
11、点，过原点 O 作直线 CD 的垂线 OH ，垂足为 H ，- 6 - 证明 : OH 为定值 . 华安一中 2017-2018 学年 上 学期 高二数学（理科）第二次月考试题参考答案 一、选择题： CBACD DDACB BA 二、填空题： 13. 2-3 ； 14. 3 15. 1 ； 16. 22442 125 1xy? 三解答题： 17（ 1）设 “ x+y 0, x, y Z“?为事件 ,Ax y Z? ， 0,2x? ，即 0,1, 2; 1,1xy? ? ?，即 1,0,1y? .? 2分 则基本事件有： ( 0 , 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 ,1 ) , (
12、1 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 ,1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 0 ) , ( 2 ,1 )? ? ?共 9 个，其中满足的基本事件有 8 个，所以 8(A) 9p ? .故 , , 0x y Z x y? ? ?的概率为 89 .? 5分 (2)设 “x y 0, , “x y R? ? ?为事件 B ，因为 0, 2, y 1,1x? ? ?，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件 B 包括的区域为其中的阴影部分 . ? ? 7分 所以11- 1 1 2 2 - 1 1 722( B ) = = =2 2 8A B C DA B C D A B C
13、 DSSpSS? ? ? ? ?四 边 形阴 影四 边 形 四 边 形， ? 9 分 故 “ , x y 0 “x y R? ? ?， 的概率为 78.? 10分 18 命题 p : 2, 1 0x R x mx? ? ? ? ? 为真， ? 2 40m? ? ? ? 22m? ? ? ? 2分 命题 q 为真，即方程 2212xym?是焦点在 y 轴上的椭圆， 02m? ? ? ? 4分 又 “ p 且 q ” 是假命题， “ p 或 q ” 是真命题 - 7 - ? p 是真命题且 q 是假命题，或 p 是假命题且 q 是真命题 ? 6分 ? 02 -2 2mmm?或或 -2 2 02mm
14、m ?或? 10 分 ? m 的取值范围是 ? ? ? ?2,0 2? 12 分 19.（ 1）由茎叶图知，分数在 ? ?50,60 之间的频数为 2 ，频率为 0.008 10 0.08? ， 全班人数为 2 250.08? ? 3分 所以分数在 ? ?80,90 之间的频数为 25 2 7 10 2 4? ? ? ? ? ? 4分 分数在 ? ?50,60 之间的总分为 56 58 114? ； 分数在 ? ?60,70 之 间的总分为 6 0 7 2 3 3 5 6 8 9 4 5 6? ? ? ? ? ? ? ? ?； 分数在 ? ?70,80 之间的总分数为 7 0 1 0 1 2
15、3 3 4 5 6 7 8 9 7 4 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 分数在 ? ?80,90 之间的总分约为 85 4 340? ； 分数在 90,100 之间的总分数为 95 98 193? ； 所以，该班的平均分数为 1 1 4 4 5 6 7 4 7 3 4 0 1 9 3 7425? ? ? ? ? ? 7分 （ 2） 将 ? ?80,90 之间的 4 个分数编号为 1, 2, 3, 4 ， ? ?90,100 之间的 2 个分数编号为 5,6 ， 在 ? ?80,100 之间的试卷中任取两份的基本事件为： ? ?1,2 ， ? ?1,3 ， ? ?1,4 ，
16、? ?1,5 ， ? ?1,6 ， ? ?2,3 ， ? ?2,4 ， ? ?2,5 ， ? ?2,6 ， ? ?3,4 ， ? ?3,5 ， ? ?3,6 ， ? ?4,5 ， ? ?4,6 ， ? ?5,6 共 15个， 其中，至少有一个在 ? ?90,100 之间的基本事件有 9 个， 至少有一份分数在 ? ?90,100 之间的概率是 9 0.615? ? 12分 20 （ 1）设点 ， ,则由 ，得 ，即 ，因为点 在椭圆 ，所以 ，故 22184xy?，即动点 的轨迹 的方程为 22184xy?. ? 4分 - 8 - （ 2）由曲线 与直线 联立得 ，消 得 ， 因为直线 与曲线
17、 交于 ， 两点， 所以 ，又 ，所以 设 ， ，则 ， ? 8分 因为点 到直线 ： 的距离 ， ? ? 9分 ， ? 10分 当且仅当 ，即 时取等号，所以 面积的最大值为 . ? 12 分 21 （ ） 证明： 平面 ， 平面 ， ? 1分 又 是正方形， ， ? 2分 ， 平面 ? 3分 （ ） ， ， 两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系 ， 与平面 所成角为 ，即 ? 4分 由 ，可知： ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ? 6分 设平面 的 法 向 量 为 ，则 ，即- 9 - ， 令 ，则 因为 平面 ，所以 为平面 的 法向量， ， 所以 因为二面角为锐角，故二面角 的余弦
