1、初中数学竞赛专项训练（1）（实数）一、选择题1、如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a 大的一个完全平方数是（）A. a1B. a2+1C. a2+2a+1D. a+2+12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：对任意实数a、b有a*b=（ab）(b1)对任意实数a有a*2a*a。当x2时，3*（x*2）2*x1的值为（） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0。则（）A. x0、y0均为偶数B. x0、y0均为奇数C. x0是偶数y0是奇数D. x0是奇数y0是偶数4、设a、b、c、d都是非零实数，则四个数-ab、ac、b
2、d、cd（）A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式的正整数对的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p、q均为质数，且满足5p2+3q=59，由以p3、1pq、2pq4为边长的三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（）个A. 4B. 6C. 8D. 16二、填空题1、若，则S的整数部分是_2、M是
3、个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若MN恰是某正整数的立方，则这样的数共个。3、已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a、b中较大的数是。4、设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m5、满足19982m219972n2（0mn1998）的整数对（m、n）共有个6、已知x为正整数，y和z均为素数，且满足，则x的值是三、解答题1、试求出这样四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数。2、从1、2、3、4205共205个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的
4、任意三个数a、b、c（abc），都有abc。3、已知方程的根都是整数。求整数n的值。4、设有编号为1、2、3100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n100）学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。5、若勾股数组中，弦与股的差为1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式：，其中为正整数。4 初中数学竞赛专项训练（2）（代数式、恒等式、恒等变形）
5、一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元2、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-2cABCab3、在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若B60，则的值为（）A. B. C. 1D. 4、设ab0，a2+b2=4
6、ab，则的值为（）A. B. C. 2D. 35、已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 36、设a、b、c为实数，则x、y、z中，至少有一个值（）A. 大于0B. 等于0C. 不大于0D. 小于07、已知abc0，且a+b+c0，则代数式的值是（）A. 3B. 2C. 1D. 08、若（x、y是实数），则M的值一定是（）A. 正数B. 负数C. 零D. 整数二、填空题1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可用
7、p表示为2、已知-1a0，化简得3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_4、已知x1、x2、x40都是正整数，且x1+x2+x4058，若x12+x22+x402的最大值为A，最小值为B，则AB的值等于5、计算_6、已知多项式可被和整除，则三、解答题：1、已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x的值。2、如果对一切x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数（即整数的平方）。证明：2a、ab、c都是整数。a、b、c都是整数，并且c是平方数。反过来，如果成立，是否对于一切x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数？3、若，求证：a是一完全平方数，并写出a的值。4
8、、设a、b、c、d是四个整数，且使得是一个非零整数，求证：m一定是个合数。5、若的十位数可取1、3、5、7、9。求的个位数。8初中数学竞赛专项训练（3）（方程）一、选择题：1、方程有两个整数根，试求整数a的值（）A. -8B. 8C. 7D. 92、方程的所有整数解的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53、若是一元二次方程的根，则判别式与平方式的大小关系是（）A. MB. =MC. MD. 不能确定4、已知是一元二次方程的一个实数根，则ab的取值范围为（）A. abB. abC. abD. ab5、已知、是方程的两个实根，则的最大值是（）A. 19B. 18C. D. 以上答案都不对6、
9、已知为三个非负实数，且满足，则u的最大值与最小值之和为（）A. B. C. D. 7、若m、n都是正实数，方程和方程都有实数根，则m+n的最小值是（）A. 4B. 6C. 8D. 108、气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：有7个是雨天；有5个下午是晴天；有6个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则x等于（）A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题1、已知两个方程有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是2、若，则3、已知关于x的方程的两根为整数，则整数n是4、设、是方程的两个实数根，且，则k的值是5、已知a、b是方程的两个根，b、c是方程的两个根，则m6、设、是关于x的一元二
10、次方程的两个实数根，则的最大值为三、解答题1、关于x的方程有有理根，求整数k的值。2、设方程的较大根是，方程的较小根是，求的值。3、确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程的两根均为质数，并求出此两根。4、已知关于x的一元二次方程的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值。5、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时、千米，且满足0，其中，为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。（2）经过1小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？12初中数学竞赛专项训练（4）（不等式）一、选择
11、题：1、若不等式x+1+x-3a有解，则a的取值范围是（）A. 0a4B. a4C. 0a2D. a22、已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：其中正确的是（）A. B. C. D. 3、已知a、b、c满足abc，ab+bc+ac0，abc1，则（）A. a+b|c|B. |a+b|c|C. |a+b|=|c|D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定4、关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（）A. -6a-B. -6a-C. -6a-D. -6a-5、设关于x的方程有两个不等的实数根、，且1，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.6、下列命题：若a=0，b0
12、，则方程无解若a=0，b0，则不等式无解若a0，则方程有惟一解若a0，则不等式的解为，其中（）A. 都正确B. 正确，不正确C. 不正确，正确D. 都不正确7、已知不等式|x-2|1 其中解集是的不等式为（）A. B. C. D. 8、设a、b是正整数，且满足56a+b59，0.90.91，则b2-a2等于（）A. 171B. 177C. 180D. 182二、填空题：1、若方程的解是正数，则a的取值范围是2、乒乓球队开会，每名队员坐一个凳子，凳子有两种：方凳（四脚）或圆凳（三脚），一个小孩走进会场，他数得人脚和凳脚共有33条（不包括小孩本身），那么开会的队员共有名。3、已知不等式，其中解集是
13、的不等式有个。4、若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是5、在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.6元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内），如果某人寄一封信的质量为72.5g，那么他应付邮费6、若、都满足条件4且则-的取值范围是三、解答题1、有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小时内抽干，至少需水泵几台？2、已知一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，求整数k的值。3、若关于x的不等式ax+a+22有且只有一个整数解，求a的整数
14、值。4、某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？5、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？16初中数学竞赛专项训练（5）（方程应用）一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的
15、目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为（）A. 35B. 43C. 45D. 342、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R等于（）A. 5B. 7C. 9D. 103、某商店出售某种商品每件可获利m元，利润为20%（利润），若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.
16、5%4、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（cb，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（）A. B. C. D. 7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则ABC的面积为（）A. 1B. 2C. kD. k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与的大小关系是ABBDC图8-5EA2、如图8-5，AA、BB分别是EAB、DBC的平分线，若AABBAB，则BAC的度数为3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，
17、比如（3、5、7）、（5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长图8-6ABDCP4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA3，PB4，PC5，则PD5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30，此时求如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。16米20米ABCD甲乙图8-7图8-8BACP6、如图8-8，在ABC中，ABC60，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PB三、解答题1、如图8-9，AD是ABC中BC
18、边上的中线，求证：AD（AB+AC）ABDC图8-92、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、如图8-10，在RtABC中，ACB90，CD是角平分线，DEBC交AC于点E，DFAC交BC于点F。求证：四边形CEDF是正方形。CD22AEBFACFBDE图8-104、从1、2、3、4、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？31初中数学竞赛专项训练（9）（面积及等积变换）一、选择题：1、如图9-1，在梯形ABCD中，ABCD，AC与BD交于O，点P在AB的延长线
19、上，且BPCD，则图形中面积相等的三角形有（）PADCBO图9-1A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对ABCDEFG图9-22、如图9-2，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE，设AF、CE交于点G，则等于（）A. B. C. D. 3、设ABC的面积为1，D是边AB上一点，且，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为（）ABCDHGKFE图9-3A. B. C. D. 4、如图9-3，在ABC中，ACB90，分别以AC、AB为边，在ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CKAB，分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGK
20、D的面积S2的大小关系是（）ABCD图9-4A. S1S2B. S1S2C. S1S2D. 不能确定，与的大小有关5、如图9-4，四边形ABCD中，A60，BD90，AD8，AB7，则BC+CD等于（）abaabb图9-5abA. B. 5C. 4D. 36、如图9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a1，则正方形的面积为（）A. B. C. D. ABCDEM图9-67、如图9-6，矩形ABCD中，ABa，BCb，M是BC的中点，DEAM，E为垂足，则DE（）A. B. ABCDEFO84xyy40y30y35y图9-7C. D. 8、O为ABC内一点，AO、BO、CO及其延
21、长线把ABC分成六个小三角形，它们的面积如图9-7所示，则SABC（）A. 292B. 315C. 322D. 357二、填空题图9-8AEDCFB1、如图9-8，梯形ABCD的中位线EF的长为a，高为h，则图中阴影部分的面积为ACEBD图9-10AMCDBG图9-92、如图9-9，若等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于ABQRDCEP图9-113、如图9-10，在ABC中，CEEB12，DEAC，若ABC的面积为S，则ADE的面积为ABCDGFE图9-124、如图9-11，已知D、E分别是ABC的边BC、CA上的点，且BD4，DC1，AE5，
22、EC2。连结AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQCA，PRCB，它们分别与边AB交于点Q、R，则PQR的面积与ABC的面积之比为ABCDP图9-135、如图9-12，梯形ABCD中，ADBC，ADBC25，AFFD11，BEEC23，EF、CD延长线交于G，用最简单的整数比来表示，SGFDSFEDSDEC6、如图9-13，P是矩形ABCD内一点，若PA3，PB4，PC5，则PD三、解答题ADFCEB图9-141、如图9-14，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，SABESADFS矩形ABCD。求：的值。ABCDEF图9-152、一条直线截ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F。求证：3、如图9-16，在ABCD中，P1、P2、P3Pn-1是BD的n等分点，连结AP2，并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F。DBACEFP1P2Pn-2Pn-1图9-16求证：EFBD设ABCD的面积是S，若SAEFS，求n的值。图9-17ABCC1A1B1LMKNQPO4、如图9-17，ABC是等腰三角形，C90，O是ABC内一点，点O到ABC各边的距离等于1，将ABC绕点O顺时针旋转45得到A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。证明：AKL，BMN，CPQ都是等腰直角三角形。求证：ABC与A1B1
