1、 - 1 - 广东省中山市 2017-2018学年高二数学上学期第二次统测试题 文 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共 12个小题，每小题 5分） 1“ 0x? ”是“ 0x? ”是的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2在数列 1， 2， 7 ， 10 ， 13 ，?中， 219 是这个数列的第（ ） A 16项 B 24项 C 26项 D 28项 3在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 1a? ， 3b? ， 30A?，则B?（ ） A 60? 或 120? B
2、 30? C 150? D 30? 或 150? 4下列各式中最小值是 2的是（ ） A yx xy B 2214 4x x? ? C 1tan tanx x? D xx ?22 5 数列 na 满足 1 15a? 且 1 2nnaa? ?，则使 1 0kkaa?错误 !未找到引用源。 的 k 的值为（ ） A 5 B 6错误 !未找到引用源。 C 7 错误 !未找到引用源。 D 8错误 !未找到引用源。 6在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 60A?， 1b? ，这个三角形的面积为 3，则 ABC 外接圆的直径是（ ） A 39 B393C396D
3、23937在等比数列 na 中 0na? ，若7 22a ?，则 3 11aa? 错误 !未找到引用源。 的最小值为（ ） A 1 错误 !未找到引用源。 B 2 C 8 D 16 8不等式 1 11 xx ? 的解集是（ ） - 2 - A | 3xx? B 4 | 2 23xx? C | 1xx? D | 2xx? 或2 1x? ? ? 9已知正数 x ， y 满足 21xy?，则 x1 y1 的最小值为（ ） A 3 2 2? B 42? C 42 D 2 3 2? 10已知 :p x?R ， 2 10mx ? ， :q x?R ， 2 10x mx? ? ? ，若 pq? 为假命题，则
4、实数 m 的取值范围为（ ） A 2m? B 2m? C 2m? 或 2m? D 22m? ? ? 11在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2ab? ， 3c? ，则角 C的最大值为（ ） A 60? B 90? C 120? D 150? 12 定义12 nnp p p? 为 n 个正数 1p ， 2p ， ， np 的“均倒数”，若已知数列 na 的前n 项的“均倒数”为 121n? ，又 14nn ab ? ，则1 2 2 3 3 4 2 0 1 7 2 0 1 81 1 1 1b b b b b b b b? ? ? ? ? （ ） A 20
5、152016 B 20162017 C 20172018 D 12017 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，满分 20分） 13若数列 na 的前 n 项和 2nS n n?，则它的通项公式为 14 命 题 ： “ 对 任 意 0k? ， 方 程 2 0x x k? ? ? 有 实 根 ” 的 否 定是 15 已知 2z x y?，其中 x ， y 满足 2yxxyxm?，且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则实数 m的值是 _ 16已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 若 3 cos 2 cosa C c A? ， 1tan 3A? ，则
6、 B? _ - 3 - 三、解答题（本大题共 6个小题，满分 70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 在 ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c （ 1）已知 6b? ， 4cos 5B? ， 4C ? ，求 c 的大小； （ 2）已知 33a? ， 3b? ， 6C ? ，求 cosA 18（本小题满分 12分）已知 0c? ，且 1c? ，设命题 p：函数 xyc? 在 ( , )? 上单调递减；命题 q：函数 2( ) 2 1f x x cx? ? ? 在 , )2? 上为增函数， （ 1）若“ p且 q”为真，求
7、实数 c的取值范围 （ 2）若“ p且 q”为假，“ p或 q”为真，求实数 c的取值范围 19（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足c o s (2 )c o s ( )b A c a B? ? ? （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 4b? ， ABC 的面积为 3 ，求 ABC 的周长 20（本小题满分 12 分） 某种设备购买时费用为 10万元，每年的设备管理费共计 9千 元，这种设备的维修费各年为：第一年 2 千元， 第二年 4 千元， 第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增问这种设备最多使用多
8、少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少） ? 21（本小题满分 12 分） 已知数列 na 是公比为 12 的等比数列，且 21a? 是 1a 与 31a? 的等比中 项，其前 n 项和为nS ；数列 nb 是等差数列， 1 8b? ，其前 n 项和 nT 满足 1nnT n b? ?(? 为常数，且 1? ) （ 1）求数列 na 的通项公式及 ? 的值； （ 2）求1 2 31 1 1 1nT T T T? ? ? ? 22（本小题满分 12 分） 已知 nS 为数列 na 的前 n 项和且满足 22nnSa?，在数列 nb 中满足 214ab? ，- 4 - ? ? 21 1nnn
9、b n b n n? ? ? ? ?（ *n?N ） （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）证明 nbn 为等差数列； （ 3）若数列 nc 的通项公式为,24nnnnnab nc abn? ?为 奇 数， 为 偶 数，设 2 1 2n n np c c?，令 nT为 np 的前 n项的和，求 nT - 5 - 中山 市第一中学 2019届高二第二次统测 数学（文）试题参考答案 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共 12个小题，每小题 5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D C D B D A A C C
10、 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，满分 20分） 13 22nan?； 14 0k?，方程 2 0x x k? ? ? 无实根； 15 14m? ； 16 34? 三、解答题（本大题共 6个小题，满分 70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10分） 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c （ 1）已知 6b? ， 4cos 5B? ， 4C ? ， 求 c 的大小； （ 2）已知 33a? ， 3b? ， 6C ? ，求 cosA 解： （ 1） 4cos 05B ?，所以在 ABC 中 0 2B ? ， 3
11、sin 5B?， ? 2分 由正弦定理有26s in 2 523s in s in s in5b c b CcB C B? ? ? ? ?； ? 5分 （ 2）由余弦定理有 2 2 2 32 c o s 2 7 9 2 3 3 3 92c a b a b C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3c? 7分 于是 3bc?， 6BC? ? ? ， ? 9分 2()31co s2A B CA? ? ? ? ? ? ? ? 10分 18（本小题满分 12 分） - 6 - 已知 c0，且 c 1，设 p：函数 y cx在 R上单调递减； q：函数 f(x) x2 2cx 1在 1 , )2?上
12、为增函数， （ 1）若“ p且 q”为真，求实数 c的取值范围 （ 2）若“ p且 q”为假，“ p或 q”为真，求实数 c的取值范围 解 (1) 函数 y cx在 R上单调递减， 00且 c 1， ? p: c1, ? q： 12c? 且 c 1. ? 8分 又“ p或 q”为真，“ p且 q”为假， p真 q假或 p假 q真 ? 9分 p 真， q 假时， c|01 c|0c 12 ?. ? 11 分 综上所述，实数 c的取值范围是 c|12 c1 ? 12 分 19（本小题满分 12分） 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 c o s (2
13、 )c o s ( )b A c a B? ? ? （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 4b? ， ABC 的面积为 3 ，求 ABC 的周长 解：（ 1） c o s (2 )c o s ( )b A c a B? ? ?， co s (2 )( co s )b A c a B? ? ?， ? 1分 由正弦定理可得： ? ?s in c o s 2 s in s in c o sB A C A B? ? ?， ? 2分 - 7 - ? ?s in 2 s in c o s s inA B C B C? ? ? ? ? 3分 又角 C 为 ABC 内角， sin 0C? ， ? 4分 1c
14、os 2B? 又 ? ?0,B? ， ? ? 5分 23B? ? 6分 （ 2）由 1 sin 32ABCS ac B?，得 4ac? ， ? 8分 又? ? 22 2 2 16b a c a c a c a c? ? ? ? ? ? ?， ? 10分 25ac? ， ? 11分 所以 ABC 的周长为 4 2 5? ? 12分 20（本小题满分 12 分） 某种设备购买时费用为 10万元，每年的设备管理费共计 9千元，这种设备的维修费各年为：第一年 2 千元， 第二年 4 千元， 第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增问这种设备最多使用多少 年报废最合算（即使用多少年的年平
15、均费用最少） ? 解：设使用 x年的年平均费用为 y万元 由已知得： ( 1 )1 0 0 .9 ( 0 .2 0 .2 )2xxxxyx? ? ? ? ? 3分 即 10 110xy x? ? ? （ *x?N ） ? 5分 由均值不等式知： 102 1 310xy x? ? ? ? 8分 - 8 - 当且仅当 x10 =10x 即 10x? 时取 “ 等号 ” ， ? 10 分 因此使用 10 年报废最合算，年平均费用为 3万元 ?12 分 21（本小题满分 12 分） 已知数列 na 是公比为 12 的等比数列，且 21a? 是 1a 与 31a? 的等比中项，其前 n 项和为nS ；数列 nb 是等差数列， 1 8b? ，其前 n 项和 nT 满足 1nnT n b? ? (? 为常数，且 1? ) （ 1）求数列 na 的通项公式及 ? 的值； （ 2） 求1 2 31 1 1 1nT T T T? ? ? ? 解：（ 1）由题意得： 22 1 3(1 ) (1 )a a a? ? ?，即 21 1 111(1
