1、 1 2016-2017 学年度上学期高二年级四调考试 理数试卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 0 1 2 183 4 5 21C C C C? ? ? ?的值等于（ ） A 7351 B 7355 C 7513 D 7315 2.已知椭圆 2241mx y?的离心率为 22 ，则实数 m 等于（ ） A 2 B 2 或 83 C 2 或 6 D 2 或 8 3.某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲
2、组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 mn?的值是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 4.A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 6 个同学和 1 个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫， A ， B 和 C ， D 同学分别穿着白色和黑色文化衫， E 和 F 分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为（ ） A 72 B 112 C 160 D 192 5.以椭圆 22195xy?的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 C ，其左、右焦点分别是 1F ， 2F ，已知点 M 坐标为 (2,1) ，双曲线 C
3、 上点 P 在第一象限，满足 1 1 2 1 11 2 1| | | |PF M F F F M FPF F F? ，则12PMF PMFSS? ?（ ） 2 A 2 B 4 C 1 D 1? 6.将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这 3 所大学就读，则每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为（ ） A 150 种 B 180 种 C 240 种 D 540 种 7.若 m ， n 均为非负整数，在做 mn? 的加法时各位均不进位（例如， 134 3802 3936?），则称 ( , )mn 为“简单的”有序对，而 mn? 称为有序数对 ( , )mn 的值，那
4、么值为 1942 的“简单的”有序对的个数是（ ） A 100 B 150 C 200 D 300 8.如图，在 ABC? 中， 30CBA CAB? ? ? ? ?， AC 、 BC 边上的高分别为 BD 、 AE ，则以 A 、 B 为焦点，且过点 D 、 E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A 3 B 1 C 23 D 2 9.我国古代数学名著续古摘奇算法（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1,2,3,4,5,6,7,8,9 分别填入 33? 的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为
5、不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（ ） 8 3 4 1 5 9 6 7 2 A 9 B 8 C 6 D 4 10.某中学早上 8 点开始上课，若学生小典与小方均在早上 7:40 至 8:00 之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ ） A 932 B 12 C 364 D 564 11.自圆 C ： 22( 3) ( 4) 4xy? ? ? ?外一点 ( , )Pxy 引该圆的一条切线，切点为 Q ，切线的长度等于点 P 到原点 O 的长，则 |PQ 的最小值为（ ） A 1310 B 3 C 4 D 2110 3 12.设双
6、曲线 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）的右焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A ， B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设 O 为坐标原点，若OP OA OB?（ ? ， R? ）， 316? ，则该双曲线的离心率为（ ） A 233 B 355 C 322 D 98 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题 p ： 0xR?， 20 20mx ? ，命题 q ： xR? ， 2 2 1 0x mx? ? ? ，若“ pq? ”为假命题，则实数 m 的取值范围为 14.设集合 ?
7、? ?1 2 3 4 5( , , , , ) | 1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5iA x x x x x x i? ? ? ?，那么集合 A 中满足条件“ 1 2 3 4 51 | | | | | | | | | | 3x x x x x? ? ? ? ? ?”的元素个数为 15.我校有 4 名青年教师参加说课比赛，共有 4 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有 1 道题没有被这 4 位选中的情况共 种 16.在直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 4yx? 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 是准线 l 上任一点，准线 PF 交抛物线
8、于 A ， B 两点，若 4FP FA? ，则 AOB? 的面积 S? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.（）解不等式 2886xxAA? ； （）求值 1 1710 10rrCC? 18.已知动圆 C 与定圆 221xy?内切，与直线 3x? 相切 . （）求动圆圆心 C 的轨迹方程； （）若 Q 是上述轨迹上一点，求 Q 到点 ( ,0)Pm 距离的最小值 19.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C ： 24xy? 与直线 y kx a?（ 0a? ）交于 M ， N 两点 （）当 0k? 时，分别求 C 在点 M 和 N
9、处的切线方程； （） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 OPM OPN? ? ？说明理由 4 20.已知抛物线 2 4yx? ， F 是焦点，直线 l 是经过点 F 的任意直线 （）若直线 l 与抛物线交于 A 、 B 两点，且 OM AB? （ O 是坐标原点， M 是垂足），求动点 M 的轨迹方程； （）若 C 、 D 两点在抛物线 2 4yx? 上，且满足 4OC OD? ? ，求证：直线 CD 必过定点，并求出定点的坐标 21.已知抛物线 C ： 2 4yx? 的焦点为 F ，过点 ( 1,0)K? 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，点 A 关于 x 轴的
10、对称点为 D （）判断点 F 是否在直线 BD 上，并给出证明； （）设 89FA FB?，求 BDK? 的内切圆 M 的方程 22.已知椭圆 C ： 221xyab?（ 0ab? ）的两个焦点为 1F ， 2F ，离心率为 63 ，点 A ，B 在椭圆上， 1F 在线段 AB 上，且 2ABF? 的周长等于 43 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过圆 O ： 224xy?上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 和 PN 与圆 O 交于点M ， N ，求 PMN? 面积的最大值 5 2016-2017 学年度上学期高二年级四调考试理数试卷答案 一、选择题 1-5:DDCDA 6-10:
11、ADABA 11、 12： DA 二、填空题 13.1, )? 14.130 15.144 16.322 三、解答题 17.解：（）原不等式可化为 8! 8!6(8 )! (10 )!xx?， (10 )(9 ) 6xx? ? ?，即 2 19 84 0xx? ? ?， 7 12x? ， 又 8x? 且 20x? ， 28x?， 78x?， 又 *xN? ， 8x? （）由组合数的定义知 0 1 10,0 17 10,r r? ? ? ? ? ? 79r? 又 *rN? ， 7r? ， 8 ， 9 ， 当 7r? 时，原式 8 1010 10 46CC? ? ? ； 当 8r? 时，原式 99
12、10 10 20CC? ? ? ； 当 9r? 时，原式 10 810 10 46CC? ? ? 18.解：（）设动圆 C 的圆心 ( , )Cxy ， 动圆 C 与定圆 221xy?内切，与直线 3x? 相切， 2231x x y? ? ? ?， 化简得 2 44yx? （）设 ( , )Qxy ，则 2 44yx? ， 2 2 2 2| | ( ) ( ) 4 4P Q x m y x m x? ? ? ? ? ? ? ?2( 2) 4x m m? ? ? ? 当 1m? 时， 1x? 时上式取得最小值 2( 1)m? ，即 |PQ 取得最小值 | 1|m? ； 6 当 1m? 时， 2x
13、m?时上式取得最小值 4m? ，即 |PQ 取得最小值 2 m? m in| 1 |, 1,|2 , 1 .mmPQmm? ? ? ? ? ?19.解：（）由题意可设 (2 , )M a a ， ( 2 , )N a a? 设过点 M 的切线方程是 ( 2 )y a k x a? ? ? ， 代入曲线 C ，得 2 4 8 4 0x k x k a a? ? ? ? 由 0? ，即 2( ) 0ka?，得 ka? 即曲线 C 在点 (2 , )M a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a? ? ?，即 0ax y a? ? ? 同理，曲线 C 在点 ( 2 , )N a a? 处的
14、切线方程为 ( 2 )y a a x a? ? ? ?，即0ax y a? ? ? ， 故所求切线方程为 0ax y a? ? ? ， 0ax y a? ? ? （）存在符合题意的点，证明如下： 设 (0, )Pb， 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ， 直线 PM ， PN 的斜率分别为 1k ， 2k ， 将 y kx a?代入曲线 C ，得 2 4 4 0x kx a? ? ?， 124x x k? ， 12 4xx a? ， 1212 y b y bkk xx? ? ? 1 2 1 2122 ( ) ( ) ()k x x a b x x k a bx x a? ?
15、? ? 当 ba? 时，有 120kk?， 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故 OPM OPN? ? ， (0, )Pa? 符合题意 20.解：（）设动点 M 的坐标为 (, )xy . 抛物线 2 4yx? 的焦点是 (1,0)F ， 直线恒过点 F ，且与抛物线交于两点 A 、 B ， 7 又 OM AB? ， OM FM? ，即 0OM FM?， ( , ) ( 1, ) 0x y x y? ? ?，即 22 0x y x? ? ? ， 又当 M 与原点重合时，直线 l 与 x 轴重合，故 0x? 动点 M 的轨迹方程是 22 0x y x? ? ? （ 0x? ） （
16、）设点 C ， D 的坐标分别为 11( , )xy ， 22( , )xy ， 点 C 、 D 在抛物线 2 4yx? 上， 2114yx? ， 2224yx? ， 即 221212 4yyxx ?， 221212 16yyxx?， 又 4OC OD? ? ， 1 2 1 2 4x x y y? ?，即 221212 416yy yy? ? ?， 解得 12 8yy? 设直线 CD 的方程为 x my t?， 由 2 4,yxx my t? ? ?得 2 4 4 0y my t? ? ? 则 0? ，即 2 0mt? ， 12 4yy t? ， 又 12 8yy? ， 2t? 直线 CD 恒
17、过定点，且定点坐标为 (2,0) 21.解：设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 11( , )Dx y? ， l 的方程为 1x my?（ 0m? ） （）将 1x my?代入 2 4yx? 并整理， 得 2 4 4 0y my? ? ?，由 216 16 0m? ? ? ?， 得 2 1m? ，且 124y y m? ， 124yy? ， 8 直线 BD 的方程为 212221 ()yyy y x xxx? ? ?，即 222 214 ()4yy y xyy? ? ? ?. 令 0y? ，得 12 14yyx?， 点 (1,0)F 在直线 BD 上 （）由（），知 21 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 4 2x x m y m y m? ? ? ? ? ? ?， 1 2 1 2( 1)( 1) 1x x m y m y? ? ? ?， 因为 11( 1, )FA x y? ， 22( 1, )FB x y? ， 所以 1 2 1 2( 1)( 1)F A F B x x y y? ? ? ? ? 21 2 1 2( ) 1 4 8 4x x x x m? ? ? ? ? ? ?， 故 2 884 9m?，解得 43m? 所以直线 l 的方程为 3 4 3 0xy? ? ? ， 3 4 3 0xy? ? ? ， 又由（）知， 22
