1、 - 1 - 河南省焦作市博爱县 2016-2017 学年高二数学上学期第二次月考试题 理 (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1命题：若 a0，则 a20 的逆命题为 ( ) A若 a0，则 a20 B若 a20，则 a0 C若 a0 ，则 a20 D若 a0 ，则 a20 2设点 B( 4,0)， C(4,0)，若 ABC 的周长为 18，则动点 A 的轨迹方程是 ( ) A.x225y29 1(y0) B.y225x29 1(y0) C.x225y216
2、 1(x0) D.y216x29 1(x0) 3在 ABC 中，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，则 “ a b” 是 “sin Asin B” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 已知1F、2是椭圆2221xab2y （ ab0）的两个 焦点，以线段1F2为边作正三角形 M12，若边 M1的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是 A312B31C312D315命题 “ ? x0 R,2x0 31” 的否定是 ( ) A ? x0 R,2x0 31 B ? x R,2x 31 C ? x R,2x 31 D ? x0 R,2x0
3、31 6 曲线1925 2 ? y与曲线)9(1925 22 ? kkykx的（） A . 长轴长相等 B . 短轴长相等 C.离心率相等 D. 焦距相等 7抛物线 y ax2的准线方程是 y 2，则 a 的值为 ( ) A18B18C 8 D 8 8 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线)0(22 ? ppxy上，则这个正三角形的边长是（） - 2 - A.p)23(2 ?B.p)32(2 C.pp )32(2)2(2 或?D. p49已知椭圆 C 的方程为x216y2m2 1(m0)，如果直线 y22 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好为椭圆的右焦点 F，则 m
4、的值为 ( ) A 1 B. 2 C 2 D 2 2 10已知 F1( 3,0)， F2(3,0)是椭圆x2my2n 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上， F1PF2 当 23时， F1PF2面积最大，则 m n 的值是 ( ) A 41 B 15 C 9 D 1 11 若直线mxy ?与曲线2415 x?只有一个公共点，则 m 的取值范围是 ( ） A. 22m? ? ?B5252 ? mC522 ? m或D55252 ? mm 或12如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB 2BB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小为 ( ) A 60 B 90 C 105 D 75 二、填空题
5、 (本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上 ) 13. 过点 P (-2, -4)的抛物线的标准方程为 _ 14 方程si n c os 1 , 0 ,xy? ? ? ? ? ? ?表示焦点在y轴上的椭圆，则?的取值范围是_ 15已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面角等于 _ 16椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点 P，使 APO 90 ，椭圆离心率的取值范围 是 _ 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17（本小题满分
6、10 分）给定两个命题， p：对任意实数 x 都有2 ax 10 恒成立； q：函数 ylogax（ a0 且 a 1）为增函数，若 p 假 q 真，求实数 a 的取值范围 - 3 - 18 (本小题满分 12 分 )在如图所示的几何体中， EA 平面 ABC， DB 平面 ABC， AC BC， AC BC BD 2AE， M 是 AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证： CM EM； (2)求 CM 与平面 CDE 所成角的大小 19 （本小题满分 12 分）设递增等比数列 na的前 n 项和为nS，且2a 3，3S 13，数列 nb满足1a，点 P（nb，1）
7、在直线 x y 2 0 上， n N （）求数列 n， 的通项公式； （）设ncnb，数列 nc的前 n 项和nT，若 2a 1 恒成立（ n N），求实数 a 的取值范围 - 4 - 20 (本小题满分 12 分 )已知 点 P 是圆 O： x2 y2 9 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D，动点 Q满足DQ23DP (1)求动点 Q 的轨迹方程； (2)已知点 E(1,1)，在动点 Q 的轨迹上是否存在不重合的两点 M， N，使OE12(OMON)(O是坐标原点 )，若存在，求出直线 MN 的方程，若不存在，请说明理由 21 (本小题满分 12 分 )如图，在四棱柱 ABC
8、D A1B1C1D1中，侧棱 A1A 底面 ABCD， AB AC， AB 1， AC AA1 2， AD CD 5，且点 M 和 N 分别 为 B1C 和 D1D 的中点 (1)求证： MN 平面 ABCD； (2)求二面角 D1 AC B1的正弦值； (3)设 E 为棱 A1B1上的点若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为13，求线段 A1E 的长 22 （本小题满分 12 分）已知椭圆的中心在坐标原点 O，长轴长为 22，离心率 e22， 过右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 P、 Q 两点 （）求椭圆的方程； - 5 - （）若 OP、 OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该
9、条件的直线 l 的方程 - 6 - 2016 2017 学年高二 上期第二 次月考 理科数学 参考答案 一、选择题：本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B C D B D D B D B 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 132 8yx?或xy14 3 .24? ? ?； 153 ； 16. 22 e1 17 题 解： 对任意实数x都有012 ?axx恒成立， 则042 ? a；即22 ? a.? 3 分 函数xy alog?，（a0 ? 且a）为则增函数， 所以1?a
10、. ? 6 分 因为 p 假 q 真，所以2 2,1,aaa ? ? ? ?或? 8 分 ?2?a. ? 10 分 18.(12 分 )解： (1)证明：分别以 CB， CA 所在直线为 x， y 轴，过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 AE a，则 M(a， a,0)， E(0， 2a， a)， D(2a,0,2a)， 所以CM (a， a,0)，EM (a， a， a)， 所以 a a ( a) a 0( a) 0， 所以 CM EM (2)CE (0， 2a， a)，CD (2a,0,2a)， 设平面 CDE 的法向量 n (x， y， z
11、)， 则有 ? 2ay az 0，2ax 2az 0， 即 ? z 2y，x z， 令 y 1，则 n ( 2,1,2)， cosCM， n n| |n| - 7 - a a 022a3 22 ， 所以直线 CM 与平面 CDE 所成的角为 45 19. 解：（）由23 1 2 33, 13 ,aS a a a? ? ? ? ?可得313或?q， 因为数列?n为递增等比数列，所 以3?q，11?a. 故a是首项为 1，公比为3的等比数列 .所以13nn ?.? 3 分 由点1( , )nnPb b?在直线20xy?上，所以1 2bb? ?. 则数列?nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列 .
12、则1 ( 1) 2 2 1n n n? ? ? ? ? ?. ? 5 分 （）因为1213nn nnb nc a ?，所以0 1 2 13 5 2 13 3 3 3n nnT ? ? ? ? ?. 则1 2 2 11 1 3 5 2 3 2 13 3 3 3 3 3n nnT ? ? ? ? ? ?,? 7 分 两式相减得： 21112 2 2 2 2 113 3 3 3 3111 ( ) 2 1 1 2 1331 2 2 ( ) .1 3 3 313n nnnnnnnT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 分 所以211 2 13 2 3 2 3n nnnT ? ? ?11
13、3 3nn ?. ? 9 分 ?,03 123 133 23 11 ? ? nnnnn nnnT?11 ?TTn. 若12. ? aTn恒成立， 则121 ? a,1?a. ? 12 分 20 解： (1)设 P(x0， y0)， Q(x， y)，依题意，得点 D 的坐标为 D(x0,0)，DQ (x x0， y)，DP (0， y0)， 又DQ23DP， ? x x0 0，y23y0，即? x0 x，y032y，- 8 - 点 P 在圆 O 上，故 x20 y20 9， x29y24 1， 动点 Q 的轨迹方程为x29y24 1 (2)假设椭圆x29y24 1 上存在不重合的两点 M(x1，
14、 y1)， N(x2， y2)满足OE12(OMON)，则 E(1,1)是线段 MN 的中点，且有? x1 x22 1，y1 y22 1，即 ? x1 x2 2，y1 y2 2， 又 M(x1， y1)， N(x2， y2)在椭圆x29y24 1 上， ? x219 y214 1，x229y224 1，两式相减， 得 x1 x2 x1 x29 y1 y2 y1 y24 0， kMNy1 y2x1 x249， 直线 MN 的方程为 4x 9y 13 0， 椭圆上存在点 M， N 满足OE12(OMON)，此时直线 MN 的方程为 4x 9y 13 0 21.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系
15、，依题意可得 A(0,0,0)， B(0,1,0)， C(2,0,0)， D(1， 2,0)， A1(0,0 ,2)， B1(0,1,2)， C1(2,0,2)， D1(1， 2,2)，又因为 M， N 分别为 B1C 和 D1D 的中点，得 M? ?1，12， 1 ， N(1， 2,1) (1)依题意，可得 n (0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量， MN ? ?0，52， 0 ， - 9 - 由此可得， MN n 0，又因为直线 MN?平面 ABCD， 所以 MN 平面 ABCD. (2)AD1 (1， 2,2)， AC (2,0,0)， 设 n1 (x1， y1， z1)为平面
16、ACD1的法向量，则 ? n1 AD 0n1 AC 0 ，即 ? x1 2y1 2z1 02x1 0 ，不妨设 z1 1， 可得 n1 (0,1,1)， 设 n2 (x2， y2， z2)为平面 ACB1的一个法向量， 则 ? n2 AB1 0n2 AC 0 ，又 AB1 (0,1,2)，得 ? y2 2z2 02x2 0 ，不妨设 z2 1，可得 n2 (0， 2,1). 因此有 cos n1， n2n1 n2|n1| n2|1010 ， 于是 sin n1， n23 1010 ， 所以二面角 D1 AC B1的正弦值为3 1010 . (3)依题意，可设 A1E A 1B1 ，其中 ，则 E(0， ， 2)，从而 NE ( 1， 2,1)，又 n (0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得 cos NE ， nNE n|NE| n|1 2
