1、3.4直线与圆的位置关系4同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？【导入新课导入新课】P1.切线长的定义：经过圆外一点可以画圆的两经过圆外一点可以画圆的两条切线条切线,这点与其中一个切点这点与其中一个切点之间的线段的长之间的线段的长,叫作这点到叫作这点到圆的切线长圆的切线长AO切线是直线，不能度量.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量2.切线长与切线的区别在哪里？【讲授新课讲授新课】思考：PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B OB是O的一条半径吗？PB是O的切线吗？利用图形轴对称性解释 PA
2、、PB有何关系？APO和BPO有何关系？O.PABPO切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条过圆外一点所画的圆的两条切线长相等切线长相等.PA、PB分别切O于A、BPA=PBOPA=OPB几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意O.PAB，如图PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，APO=BPO.做一做证明：PA切O于点A，OAPA.同理可得OBPB.OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP，PA=PB，APO=BPO.1.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于C.1写出图中所有的垂直关系；OAPA，OB PB，AB
3、 OP.3写出图中所有的全等三角形；AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP.4写出图中所有的等腰三角形.ABP AOB2写出图中与OAC相等的角；OAC=OBC=APC=BPC.P练一练P 2.PA、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3.1假设AP=4,那么OP=;2假设BPA=60,那么OP=.56 3.如图，PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，P=40.则 DOE=.PDE的周长是 ；14OPABCED70解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，P
4、A=PB=7.PAO=PBO=90.AOB=360-PAO-PBO-P=140.又DC、DA是O的两条切线，点C、A是切点，DC=DA.同理可得CE=CB.SPDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.OPABCED121212OA=OC，OD=OD，AODCOD，DOC=DOA=AOC.同理可得COE=COB.DOE=DOC+COE=（AOC+COB）=70.切线长问题辅助线添加方法：1分别连接圆心和切点；2连接两切点；3连接圆心和圆外一点.方法归纳20 4如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,APB=40 ,则APO=,PB=.P【练习练习
5、】(1)与(2)的相似比=_,(1)与(2)的面积比=_(1)与(3)的相似比=_,(1)与(3)的面积比=_123 1 21231 4 1 31 9问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,答复以下问题：结论：相似三角形的面积比等于_相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方知识知识点点证明：设ABCABC，相似比为k,如图，分别作出ABC和ABC的高AD和AD.ABC和ABC都是直角三角形，并且B=B，ABDABD.BAABDAADABCABCDD想一想：怎么证明这一结论呢？ABCABC.ADkA D 212.12ABCA B CBCADSBCADkkkSB CA
6、 DB CA D .ABBCA BB C NoImage相似三角形面积的比等于相似比的平方.归纳总结1.ABC与ABC的相似比为2：3，那么对 应边上中线之比 ，面积之比为 .2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为_.1:32:34:9练一练NoImage例：将ABC沿BC方向平移得到DEF，ABC与DEF重叠局部的面积是ABC的面积的一半.BC=2，求ABC平移的距离.解：根据题意，可知EGAB.GEC=B,EGC=A.GECABC.222GECABCSECECSBCBC22122EC22.2.ECEC22.BEBCEC即ABC 22.解：在 ABC 和 DEF 中，AB=2D
7、E，AC=2DF，又 D=A，DEF ABC，相似比为 1:2.ABCDEF1.2DEDFABAC例 如图，在 ABC 和 DEF 中，AB=2 DE，AC=2 DF，A=D.若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5ABCDEFABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，12 5DEF 的边 EF 上的高为 6=3，12面积为 2112 53 5.2 如果两个相似三角形的面积之比为 2:7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_.NoImage练一练例 53ABADACAE ADE ABC.它们的相似比为 3:5，面积比
8、为 9:25.BCADE解：BAC=DAE，且 35AEADACAB，又 ABC 的面积为 100 cm2，ADE 的面积为 36 cm2.四边形 BCDE 的面积为10036=64(cm2).BCADE 如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB.当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED:SABC 的值.ABCDFE练一练解：DEBC，D 为 AB 中点，ADE ABC，相似比为 1:2，面积比为 1:4.12AEAD.ACABABCDFE又 EFAB，EFC ABC，相似比为 1:2，面积比为 1:4.设 SABC=4，那么 SADE=1
9、，SEFC=1，S四边形BFED=SABCSADESEFC=411=2，S四边形BFED:SABC =2:4=1.23两个相似三角形对应中线的比为 ，那么对应高的比为_.2.相似三角形对应边的比为2 3,那么对应角的角平分线的比为_.2 31两个相似三角形的相似比为 ,那么对应高的比为_,那么对应中线的比为_.1221214141随堂练习随堂练习解：ABCDEF，解得,EH3.2(cm).答：EH的长为.AGBCDEFH4.ABCDEF，BG，EH分ABC和DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.BGBCEHEF4.86,4EH5.如图，AD是ABC的高，A
10、D=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SRAD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？ASRABC (两角分别相等的两个三角形相似).解：SRAD，BCAD，BAERC1=2SRBC1=3SRBCDSSRBC.ASR=B,ARS=C.AESRADBC(相似三角形对应高的比等于相似比)，当 时，得 解得 BAERCDS.ADDESRADBC当 时，得 解得 1=2SRBC1.2hDEAD1.2DEh1=3SRBC1.3hDEAD2.3DEh选做题：选做题：6.6.一块直角三角形木板的一条直角边一块直角三角形木板的一条直角边ABAB长为长为1.5m1.5m，面积为面积为1.5m2,1.5m2,
11、要把它加工成一个面积尽可能大的正方要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图1 1、2)2)所所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好.加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最相信自己是最棒的！棒的！SRQPEDCBA7.AD是ABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.ACBD(6)ACBD(5)DCBA(4)ACBD(3)DCBA(1)ACBD(2)8.判断：(1)一
12、个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ()10.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_，面积 比等于_.1:21:49.在在 ABC 和和 DEF 中，中，AB2 DE，AC2 DF，AD，AP，DQ 是中线，假设是中线，假设 AP2，那么，那么 DQ 的值为的值为 ()A2 B4 C1 D.C2111.两个相似三角形对应的中线长分别是两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和和 18 cm，假设较大三角形的周长是假设较大
13、三角形的周长是 42 cm，面积是，面积是 12 cm2，那么，那么较小三角形的周长较小三角形的周长_cm，面积为，面积为_cm2.144312.如图，这是圆桌正上方的灯泡如图，这是圆桌正上方的灯泡(点点A)发出的光线发出的光线照照 射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为米，桌面距离地面为 1 米，假设灯泡距离地面米，假设灯泡距离地面 3 米，米，那么地面上阴影局部的面积约为多少那么地面上阴影局部的面积约为多少(结果保存两结果保存两位位 小数小数)？ADEFCBH解：FH=1 米，AH=3 米，桌面的直径为 1.2 米，AF=AHF
14、H=2(米)，DF 2=0.6(米).DFCH，ADF ACH，ADEFCBHDFAFCHAH，即0 623.CH，解得 CH=0.9米.阴影局部的面积为：220.92.54CH(平方米).答：地面上阴影局部的面积为 2.54 平方米.13.ABC 中，中，DEBC，EFAB，ADE 和和 EFC 的面积分别为的面积分别为 4 和和 9，求，求 ABC 的面积的面积.ABCDFE解：DEBC，EFAB，ADE ABC，ADE=EFC，A=CEF，ADE EFC.又SADE:SEFC=4:9，AE:EC=2:3，那么 AE:AC=2:5，SADE:SABC=4:25，SABC=25.14.如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB，AC 于 点 D，E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC.解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，那么12212ADEDCEAE DFSAESECEC DF，23AE.AC 又 DEBC，ADE ABC.ABCDE222439ADEABCSAESAC，即 SADE:SABC 4:9.ABCDE
